.定积分与微积分基本定理练习题及答案

上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx.2．(2010·山东日照模考)a＝eq\i\in(0,2,)xdx，b＝eq\i\in(0,2,)exdx，c＝eq\i\in(0,2,)sinxdx，则a、b、c的大小关系是()A．a<c<b B．a<b<cC．c<b<a D．c<a<b[答案]D[解析]a＝eq\i\in(0,2,)xdx＝eq\f(1,2)x2|02＝2，b＝eq\i\in(0,2,)exdx＝ex|02＝e2－1>2，c＝eq\i\in(0,2,)sinxdx＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,12)[答案]A[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2,y＝x3))得交点为(0,0)，(1,1)．∴S＝eq\i\in(0,1,)(x2－x3)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,4)x4))))01＝eq\f(1,12).[点评]图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·湖南师大附中)设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(16,9))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(16,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(15,7))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(13,7)))[答案]AA．4 B.eq\f(4,3) C.eq\f(18,5) D．6[答案]A[解析]S＝eq\i\in(0,2,)x3dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x4,4)))02＝4.5．(2010·湖南省考试院调研)eq\i\in(,1,)－1(sinx＋1)dx的值为()A．0 B．2C．2＋2cos1 D．2－2cos1[答案]B[解析]eq\i\in(,1,)－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是()A．2π B．3πC.eq\f(3π,2) D．π[答案]A[解析]如右图，S＝∫02π(1－cosx)dx＝(x－sinx)|02π＝2π.[点评]此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))，则对称性就无能为力了．7．函数F(x)＝eq\i\in(0,x,)t(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－eq\f(32,3)的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)，＋∞)) B．(0，e21)C．(e－11，e) D．(0，e11)[答案]D[解析]f(x)＝eq\i\in(1,x,)eq\f(1,t)dt＝lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()A.eq\f(1,π) B.eq\f(2,π) C.eq\f(3,π) D.eq\f(π,4)[答案]A[解析]由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝eq\i\in(0,π,)sinxdx＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P＝eq\f(S,S矩形OABC)＝eq\f(2,2π)＝eq\f(1,π).10．(2010·吉林质检)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2－2≤x<0,2cosx0≤x≤\f(π,2)))的图象与x轴所围成的图形面积S为()的图象交点的个数记为n，则eq\i\in(m,n,)g(x)dx的值是()A．－eq\f(5,2) B．－eq\f(4,3)C．－eq\f(5,4) D．－eq\f(7,6)[答案]A[解析]由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x－1，所以当x∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m＝1，n＝4，则eq\i\in(m,n,)g(x)dx＝eq\i\in(1,4,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,3)))dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(x2,6)))14＝－eq\f(5,2).11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)，若关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)[答案]A[解析]方程x2＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝eq\f(\i\in(0,1,)b2db,1×1)＝eq\f(1,3).12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2(x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,5)[答案]C[解析]如图，正方形面积1，区域M的面积为S＝A．2eq\r(3) B．2－eq\r(3)C.eq\f(32,3) D.eq\f(35,3)[答案]C[解析]图中阴影部分面积为S＝eq\i\in(-3,1,)(3－x2－2x)dx＝(3x－eq\f(1,3)x3－x2)|eq\o\al(1,－3)＝eq\f(32,3).3.eq\i\in(0,2,)eq\r(4－x2)dx＝()A．4π B．2πC．π D.eq\f(π,2)4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x，y)|－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(π,2)－1 D.eq\f(2,π)[答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是eq\f(π,2)，在这个区6．(sinx－cosx)dx的值是()A．0B.eq\f(π,4)C．2D．－2[答案]D＝________.[答案]－1或eq\f(1,3)[解析]∵eq\i\in(,1,)－1f(x)dx＝eq\i\in(,1,)－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|eq\o\al(1,－1)＝4，eq\i\in(,1,)－1f(x)dx＝2f(a)，∴6a2＋4a＋2＝4，∴a＝－1或eq\f(1,3).9．已知a＝∫eq\f(π,2)0(sinx＋cosx)dx，则二项式(aeq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))6的展开式中含x2项的系数是________．[答案]－192[解析]由已知得a＝∫eq\f(π,2)0(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|eq\f(π,2)0＝(sineq\f(π,2)－coseq\f(π,2))－(sin0－cos0)＝2，(2eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)r×Ceq\o\al(r,6)×26－r×x3－r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数为(－1)1×Ceq\o\al(1,6)×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y＝x2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于eq\f(4,3)，求线段AB的中点P的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A(a，a2)，B(b，b2)，不妨设a<b，则直线AB的方程为y－a2＝eq\f(b2－a2,b－a)(x－a)，即y＝(a＋b)x－ab.则直线AB与抛物线围成图形的面积为S＝eq\i\in(a,b,)[(a＋b)x－ab－x2]dx＝(eq\f(a＋b,2)x2－abx－11.(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝eq\i\in(0,3,)4xdx，则公比q的值为()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)[答案]C[解析]因为S3＝eq\i\in(0,3,)4xdx＝2x2|eq\o\al(3,0)＝18，所以eq\f(6,q)＋eq\f(6,q2)＋6＝18，化简得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－eq\f(1,2)，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx＋1，则eq\i\in(1,e,)lnxdx＝()A．1B．eC．e－1D．e＋1[答案]A[解析]由(xlnx)′＝lnx＋1，联想到(xlnx－x)′＝(lnx＋1)－1＝lnx，于是eq\i\in(1,e,)lnxdx＝(xlnx－x)|eq\o\al(e,1)＝(elne－e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y＝4－x，))解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量x＝eq\f(y2,2)、x＝4－y，14.已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案](eq\r(e)－1)2[解析]由题意得S1＋S2＝eq\i\in(0,t,)(et－1－ex＋1)dx＋eq\i\in(t,1,)(ex－1－et＋1)dx＝eq\i\in(0,t,)(et－ex)dx＋eq\i\in(t,1,)(ex－et)dx＝(xet－ex)|eq\o\al(t,0)＋(ex－xet)|eq\o\al(1,t)＝(2t－3)et＋e＋1，令g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et＋(2t－3)et＝(2t－1)et，令g′(t)＝0，得t＝eq\f(1,2)，∴当t∈[0，eq\f(1,2))时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t∈(eq\f(1,2)，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(eq\f(1,2))＝e＋1－2eeq\f(1,2)＝(eq\r(e)－1)2.故阴影部分的面积的最小值为(eq\r(e)－1)2.15．求下列定积分．(1)eq\i\in(,1,)－1|x|dx;(2)eq\i\in(0,π,)cos2eq\f(x,2)dx；(3)∫eq\o\al(e＋1,2)eq\f(1,x－1)dx.[解析](1)eq\i\in(,1,)－1|x|dx＝2eq\i\in(0,1,)xdx＝2×eq\f(1,2)x2|eq\o\al(1,0)＝1.且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为eq\f(1,12)，求a的值．[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．∴S阴影＝eq\i\in(a,0,)[0－(－x3＋ax2)]dx＝(eq\f(1,4)x4－eq\f(1,3)ax3)|eq\o\al(0,a)＝eq\f(1,12)a4＝eq\f(1,12)，∵a<0，∴a＝－1.1．(2011·龙岩质检)已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f(x)dx的值，结果是()A.eq\f(1,6)＋eq\f(π,2)B．πC．1D．0[答案]B2．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1－1≤x<0，,cosx0≤x<\f(π,2)，))的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a，则a的值为()A.eq\f(2＋π,4) B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\f(3,2)[答案]D[解析]由图可知a＝eq\f(1,2)＋eq\i\in(0,eq\f(π,2),)cosxdx＝eq\f(1,2)＋sinx|eq\f(π,2)0＝eq\f(3,2).3．对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则eq\r(2)⊗eq\i\in(0,π,)sinxdx＝________.∴eq\r(2)⊗e