【完】数学运算含基本题型全解析

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２011.11。1数学运算第1期（基本题型全解析）我现在觉得,这部分怎么去准备，应该是取决于你自己当前的水平和行测考试给自己定的目标.之前出的资料分析专题里面我也有谈过，如果说资料分析的意义是保平的话,那数学这部分的战略意义就应该是争胜.如果是普通的过关考试，无所谓,我这部分不行还有那边帮我补着呢,只要能考到60就行;但是择优类考试，你就必须强迫自己去会那些别人不会的东西，因为试题是会有区分度的，不然那种全卷都是１+1=？的考试，如何从1000人中挑出最优秀的1个？当你的竞争者越优秀,职位竞争越激烈，这一点的意义就越大。当然换过来说，按正常的试卷难度，如果觉得自己考个60多点的行测就很满足、就足够了的话,那对试卷的整体把握还是更为重要些的。ﻫ

行测中６5分是个槛，以下的要提到这个分数只要花段时间多做些真题还是不难的,但后面想再提高,细节就更为关键，而且上了70分以后每提1分都不是简单的事，越高的分数就越要求你在任何一个题型上都不能偏。所以我还是想提醒一下那些不得已一定得冲高分（职位报考比例很高的那种)的朋友,这一部分必然是决胜的筹码，不然如果在这15道左右的题目中错误率过高或者直接选择全蒙，我敢保证你永远都是炮灰命，特别是国考.

因此还是好好静下来思考下自己的现状，需要一个什么样的结果，然后再给自己的备考做些规划吧.

下面进入正题，这一期主要还是从基本题型开始,然后后面渐渐加深。因为数学运算，你如果连最基本的题型都不会,是真的很难去再做更深层次的题目。现在真题几乎很少会直接出这种比较基本类型的题目，但它始终是基础，只是在这之上的千姿百态各种变化而已.我会拿一些简单的题目来做例子,希望大家在学习这些基本题型的时候多思考多尝试拓展，而不是简单地去把公式背下来，或者只局限于记某道题的解法，那样是绝对没用的.其实很多时候真的不是不会,而是懒得去钻研去思考罢了。就像电脑刚普及的那会,５86的机器wｉndows9８进系统读进度条读了半天我们都不嫌慢,但是换作在今天，打开个软件如果要等个1０几秒,估计都有种砸电脑的冲动了，这也许就是习惯了快节奏所形成的一种浮躁心态吧,很缺乏耐性.。．所以想学好数量关系的题目,信心和耐心非常重要。2011.1１．08数学运算第2期——（行程问题)培训结束后，立马回单位,新的环境,新的领导，新的同事，都要尽快适应，上班很忙,没有想象的那么轻松，新的操作平台，新的系统，必须短时间上手，没有给自己找借口的理由.一个人在外，我觉得我啥都会做了。其实作为单位年纪最小的，同事和领导还是很照顾，有时候吃饭的时候晚了食堂的阿姨都会帮我另外开小灶，今天早上办公室的黄姐大清早上班给我送了早点和水果，感动的有点想哭。答应了猴子mm来做帮帮团数学运算这块,其实心里很没底，第一同时也在做浙版帮帮团的数学运算,粤版的又是一个新的模式，第二知道筱月妞是楷模,无法超越。不过既然接下这块，茶茶出贴前也会反复推敲，希望能做好，给大家实质的帮助,如果有不好的,希望大家多多谅解，提出意见,谢谢筱月妞帮我出贴，也谢谢大家！对于数学运算这块，其实很经不起推敲的，像我在浙版出题,几次自己算的都和给出的答案对不到，不确定自己算的，然后问很多人，最终发现是自己做对了,而答案错了，由此，应该相信自己

前面筱月妞把基本题型全解析了，大家对于一些模块一定还是有疑问的，茶茶在接下来的每一期都会给大家仔细拆分开来说，这是我在浙版开的数学运算讨论帖，，在粤版就不另外开了,大家平时练习时不懂的或是对答案有疑问的都可以直接发到这个贴来,茶茶会及时更新，谢谢了！ﻫﻫ这一期就来个大块吧，行程问题。

有些考友谈行程色变。为何行程问题难住了我们?原因是过程过于复杂和动态。解决问题的总方针就是动中找静。化动态为静态,化复杂为简单,化抽象为具体，化陌生情境为熟悉情境是我们解决行程问题的不二法门。其实在公考中没有那么多时间去考虑或是列方程,处理行程问题的时候都是以画线段图为主来解题的。但是对于完全依赖线段图的做法我是不赞成的.对于动态的东西本来就难以理解,如多次相遇问题两次以内还好，当次数多于３的时候画图都画不清楚的。我认为解决行程问题就需要２大理念，一是整体的思想，二是抓住运动过程中的不变的静止的量。一般的辅导资料解题就是过于纠结于局部,使得我们做题缺乏大局观，往往被繁杂的细节转昏了头.接下来我谈谈如何解决行程问题。ﻫ走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米,移动了多少米等等；

速度在单位时间内（例如1小时内)行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.

这三个数量之间的关系,可以用下面的公式来表示:

距离=速度×时间

很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，这样的数量关系也是最常见的,例如ﻫ总量＝每个人的数量×人数.

工作量=工作效率×时间。ﻫ因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点,行程问题的内容最丰富多彩,饶有趣味。当然也是一个重点内容.

先给大家看看直接利用行程问题基本关系解决的行程问题:

ﻫ【例1】龟、兔进行1000米的赛跑。小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想:“我小兔每分钟能跑１０0米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手。”比赛开始后,当小兔跑到全程的一半时,发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了。当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了,拔腿就跑。

请同学们解答两个问题：（１)它们谁胜利了？为什么?ﻫ(2）胜者到终点时,另一个距终点还有几米？ﻫ

分析:(１)乌龟胜利了。因为兔子醒来时，乌龟离终点只有４0米,乌龟需要40÷10=4(分钟)就能到达终点，而兔子离终点还有50０米,需要500÷１０0=5(分钟）才能到达,所以乌龟胜利了。

（2)乌龟跑到终点还要（4０÷10)＝4(分钟）,而小兔跑到终点还要10００÷2÷１00＝5（分钟），慢1分钟.ﻫ当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有:1０0×１＝100(米）。ﻫ

【例2】解放军某部开往边境,原计划需要行军18天，实际平均每天比原计划多行12千米,结果提前3天到达，这次共行军多少千米？ﻫ

分析：“提前３天到达”可知实际需要18-3=15天的时间，而“实际平均每天比原计划多行12千米”,则15天内总共比原来１5天多行的路程为：12×15=18０千米,这18０千米正好填补了原来３天的行程，因此原来每天行程为18０÷3=60千米，问题就能很容易求解.原来的速度为:（１8-3）×１2÷３=60（千米/天)，因此总行程为:60×１８=１０8０(千米）ﻫ

其实最常遇到的就是关于平均速度的计算,平均速度的计算需要知道整个过程的总路程与总时间，平均速度=总路程÷总时间

ﻫ【例３】摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了９0千米到达某地，返回时每小时行驶45千米，求摩托车驾驶员往返全程的平均速度。

分析：要求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时间。摩托车“往”行了90千米，“返"也行了９０千米，所以摩托车的总路程是：90×2=１80（千米）,摩托车“往”的速度是每小时30千米，所用时间是：90÷30＝３（小时)，摩托车“返”的速度是每小时45千米,所用时间是:９０÷45=２（小时)，往返共用时间是：３+2=5(小时)，由此可求出往返的平均速度,列式为：９0×2÷（90÷3０+90÷45)＝18０÷5=36（千米／小时）ﻫ

【例4】甲、乙两地相距6720米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行60米。问他走后一半路程用了多少分钟？ﻫﻫ

分析：(方法1)由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间。而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了。ﻫ

应指出,如果前一半时间平均速度为每分钟80米，后一半时间平均速度为每分钟6０米,则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走（80＋6０）÷2=７０米。这是因为一分钟８0米，一分钟60米,两分钟一共140米，平均每分钟70米。而每分钟走８0米的时间与每分钟走60米的时间相同,所以平均速度始终是每分钟70米.

这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6７２０÷70=96分钟。由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于６７２0÷2＝3360米。则前一个３360米用了3３60÷８0=4２分钟；后一半路程所需时间为96-42=5４分钟。ﻫﻫ

（方法2)设走一半路程时间是x分钟,则80x＋60ｘ＝6７20，解方程得：x＝48分钟，因为80×48＝３８40（米)，大于一半路程3３60米,所以走前一半路程速度都是80米,时间是3360÷8０=42(分钟），后一半路程时间是48＋（４8-42）=54（分钟）。

解决难题需要我们对简单模型的深刻认识而不是简单的套公式。将行程大方向分类就是追及问题和相遇问题。

ﻫ一、追及问题

有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他．这就产生了“追及问题”．实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，

ﻫ甲走的距离-乙走的距离=甲的速度×时间—乙的速度×时间＝（甲的速度—乙的速度)×时间.

ﻫ通常,“追及问题”要考虑速度差。

ﻫ【例５】小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米,小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离开城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米?

解：先计算，从学校开出,到面包车到达城门用了多少时间.

此时,小轿车比面包车多走了9千米,而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时,因此所用时间＝９÷6＝１。5（小时）.

小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时,小轿车离城门9千米,说明小轿车的速度是9/(10/60）=５4千米/小时ﻫ面包车速度是５４－6=４8（千米/小时）。

城门离学校的距离是48×1.５＝７2(千米)。

所以学校到城门的距离是72千米。

ﻫ【例6】小张从家到公园，原打算每分种走50米。为了提早１0分钟到,他把速度加快,每分钟走７５米.问家到公园多远？ﻫ

解一:可以作为“追及问题”处理．ﻫ

假设另有一人,比小张早10分钟出发.考虑小张以７5米／分钟速度去追赶，追上所需时间是50×1０÷（７5－50）=20（分钟)

因此,小张走的距离是７5×20=1５00(米)。所以从家到公园的距离是１500米。

还有一种不少人采用的方法.

解二:小张加快速度后,每走一米，可节约时间(1／７5—１/50)分钟,因此家到公园的距离是10/(1/75-1/５0）＝1500，米

一种解法好不好,首先是“易于思考”,其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.ﻫﻫ二、相遇问题

小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇,实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离．如果两人同时出发,那么ﻫ甲走的距离＋乙走的距离=甲的速度×时间+乙的速度×时间=(甲的速度+乙的速度）×时间．ﻫ“相遇问题”,常常要考虑两人的速度和.

【例7】小张从甲地到乙地步行需要36分钟,小王骑自行车从乙地到甲地需要１2分钟.他们同时出发,几分钟后两人相遇？ﻫ解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的36÷1２＝３（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段,小张走了1段，小张花费的时间是36÷(３+1）=9（分钟）。ﻫ所以两人在9分钟后相遇.ﻫ

【例６】小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米．两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离。

解：画一张示意图ﻫﻫ离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少１千米。从出发到相遇,小张比小王多走了2千米ﻫ小张比小王每小时多走(5-4)千米，从出发到相遇所用的时间是ﻫ2÷(５-4）＝2（小时）。

因此,甲、乙两地的距离是ﻫ（５+4）×2=18（千米）．

本题表面的现象是“相遇"，实质上却要考虑“小张比小王多走多少?”岂不是有“追及"的特点吗？其实，不要简单地说这是什么问题．重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差,还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想。千万不要“两人面对面”就是“相遇"，“两人一前一后”就是“追及”。ﻫﻫ请再看一个例子.

【例7】甲、乙两车分别从Ａ，Ｂ两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于Ｃ点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A,B两地同时出发相向而行，则相遇地点距Ｃ点12千米;如果乙车速度不变,甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点1６千米.求A,B两地距离．ﻫ解:先画一张行程示意图如下ﻫﻫ设乙加速后与甲相遇于Ｄ点，甲加速后与乙相遇于Ｅ点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速,它们的速度和比原来都增加5千米，因此,不论在D点相遇,还是在Ｅ点相遇,所用时间是一样的，这是解决本题的关键.ﻫ下面的考虑重点转向速度差。ﻫ在同样的时间内，甲如果加速,就到E点，而不加速，只能到Ｄ点．这两点距离是12＋16＝28（千米)，加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在Ｄ点

(或Ｅ点）相遇所用时间是ﻫ28÷５=５.６（小时）。

比C点相遇少用6-５.６=0.4（小时）。

甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0。4小时,少走12千米,因此甲的速度是ﻫ１2÷0．4＝３０(千米／小时）.ﻫ同样道理,乙的速度是ﻫ16÷0.4=40（千米/小时）。ﻫＡ到B距离是(３０+4０)×６=４20(千米)．

答：A,B两地距离是420千米.ﻫ很明显，例７不能简单地说成是“相遇问题”.

ﻫ

任何复杂的问题都是一些列简单的问题组成的,简单的追及和相遇又会衍变成相对复杂的行程问题,例如电梯,行船等等，难题做不出实际上就是对于基础知识点没吃透。茶茶在做浙版帮帮团的时候也总结过此类题型，共有五个延伸块。我一一道来.

一、环形路上的行程问题ﻫ人在环形路上行走,计算行程距离常常与环形路的周长有关。

环形周长＝(大速度+小速度)x反向运动的两个人两次相遇的时间间隔

环形周长＝（大速度—小速度）x同向运动的两个人两次相遇的时间间隔ﻫﻫ【例８】小张和小王各以一定速度,在周长为５０0米的环形跑道上跑步．小王的速度是1８0米/分.

（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇,小张的速度是多少米/分？ﻫ（２）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步,小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ﻫ解：（1）75秒-１.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程．小张的速度是

500÷１。25－180＝2２0(米/分）。

（2）在环形的跑道上，小张要追上小王,就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是ﻫ50０÷（22０－18０)=12。５(分）。ﻫ2２0×１２。5÷５0０=5。5（圈）．ﻫ所以(1）小张的速度是2２０米／分;（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.ﻫ

【例9】如图，A、B是圆的直径的两端,小张在Ａ点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米;在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.ﻫﻫﻫﻫ解:第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈。从出发开始算,两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍,那么从A到D的距离,应该是从A到Ｃ距离的3倍,即A到Ｄ是

80×３＝24０（米).

240-60=１8０（米）．ﻫ180×2＝360（米）。

答：这个圆的周长是360米.

在一条路上往返行走，与环行路上行走,解题思考时极为类似,因此也归入这一节.

ﻫ【例１0】绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行．小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟;小张以６千米／小时速度每走50分钟后休息１０分钟。问：两人出发多少时间第一次相遇?

解:小张的速度是6千米/小时,5０分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：

ﻫ

12＋1５=27比２4大,从表上可以看出，他们相遇在出发后2小时1０分至3小时１5分之间.ﻫ出发后2小时10分小张已走了１0+5x（10/50)=11千米

ﻫ此时两人相距2４-(８＋1１）=5（千米）.

由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这５千米所需时间是5÷(4+6）=0．5（小时)。ﻫ２小时10分再加上半小时是2小时４0分。

所以他们相遇时是出发后2小时40分．

ﻫ二、电梯问题

能看到的电梯级数=（人速+电梯速度)x沿电梯运动方向运动所需时间

能看到的电梯级数＝(人速—电梯速度）ｘ逆电梯运动方向运动所需时间

【例１１】在商场里甲开始乘自动扶梯从一楼到二楼，并在上向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层.当甲乙处于同一高度时,甲反身向下走，结果他一共走了６０级,如果他一直走到顶端再反身向下走，则一共要走80级,那么,自动扶梯不动时从下到上要走多少级?ﻫ

分析：向上走速度为甲和自动扶梯的速度和，向下走速度为甲和自动扶梯的速度差。

ﻫ当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他一共走了６0级,如果他一直走到顶端再反身向下走,则一共要走80级，60÷80＝3/4,这说明甲乙处于同一高度时，甲的高度是两层总高度的3/4

则甲和自动扶梯的速度和与自动扶梯的速度之比是3/4:（1-3/4)＝3：1，即甲的速度与自动扶梯速度之比2：１，甲和自动扶梯的速度差与自动扶梯的速度相等。向下走速度向上走速度的1／3，所用时间为向上走的3倍,则甲向下走的台阶数就是向上走台阶数的３倍.因此甲向上走了8０÷（3+1）＝20级台阶。甲的速度与自动扶梯速度之比2：１，甲走20级台阶的同时自动扶梯向上移动了10级台阶，因此如果自动扶梯不动，甲从下到上要走20+10＝3０级台阶。

三、流水行船问题（风中飞行问题类似)

顺流路程=顺流速度x顺流时间=（船速+水速）x顺流时间

逆流路程=逆流速度ｘ逆流时间=(船速—水速）x逆流时间ﻫ流水问题:顺水速度＝船速+水流速度；逆水速度=船速－水流速度ﻫ水流速度=（顺水速度-逆水速度)÷2

船速=(顺水速度-逆水速度)÷2

ﻫ【例12】江上有甲、乙两码头，相距1５千米，甲码头在乙码头的上游,一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船.又行驶了１小时,货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），６分钟后货船上的人发现了,便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米?ﻫ

此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段是一个追及问题。在货舱追上游船的过程中，两者的追及距离是1５千米,共用了５小时,故两者的速度差是15÷5=3千米.由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是3千米.在紧接着的1个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距3*1=3千米。这时货船上的东西落入水中，6分钟后货船上的人才发现。此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度＊1/10千米；ﻫ

从此时算起,到货船和落入水中的物体相遇，又是一个相遇问题，两者的速度之和刚好等于货船的静水速度,所以这段时间是货船的静水速度＊１/10÷货船的静水速度=1/10小时.ﻫﻫ

按题意,此时也刚好遇上追上来的游船。货船开始回追物体时,货船和游船刚好相距3+3＊１/１0＝33／10千米，两者到相遇共用了1/1０小时，帮两者的速度和是每小时33/１0÷1/10=33千米，这与它们两在静水中的速度和相等。

（解释一下)又已知在静水中货船比游船每小时快３千米，故游船的速度为每小时（3３-3）÷２=15千米。ﻫﻫ四、队伍行进问题

队伍长度=（人速+队伍速度）x从队头到队尾所需时间ﻫ队伍长度＝（人速—队伍速度）x从队尾到队头所需时间ﻫ

【例１３】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行６0米，队尾的王老师以每分钟步行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾,共用１0分钟。求队伍的长度。

解题：设队伍的长度为x米ﻫx/（150—６０）+x/（1５0+６0）＝10ﻫx=630ﻫ所以答案为630米ﻫ

ﻫ五、时钟问题

ﻫ

时钟问题是研究钟面上时针和分针的关系的问题。钟面的一周分为60格，当分针走60格的时候，时针正好走5格，所以时针的速度是分针的5/60=1/１2.分针每走6０/(1—5/６0）=65又5/１1分,与时针重合一次，时钟问题变化多端，也存在不少的学问，这里列出一个基本的公式：在初始时刻需追赶的格数/（１—1/12)=追及时间（分钟),其中１/12为分针每分钟比时针多走的格数。

举个例子，现在是三点,什么时候时针与分针第一次重合？分析，3点时,分针指12,时针指３，分针在时针后5x３=1５（格)每分钟分针比时针多走(1—5/６0）格，要是分针与时针重合，即使分针比时针多走15格，需要1５/((1—1/12）＝１６又4/１１分钟,所以，所求的时刻应为3点16又４/11分ﻫ

一些基本原理：

钟面12个大格(30°），６0小格（6°）

时针速度:1/12(小格/分)=0.5°/分

分针速度：1小格/分=6°/分

时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人"分别是时钟的分针和时针。ﻫ但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这个需要我们分析而来解答。ﻫﻫ时针和分针的角度问题:解这类问题的关键在于判断题目中的分针和时针是在做什么运动，追及或者相遇．

“怪钟”问题这类问题又可分为两小类：ﻫ一类是坏钟,就是说这个钟比正常的走得快或者走得慢,处理这类问题经常用到的方法是比例.

另一类是不准的钟,这类钟没有坏,只是指的时间不对。ﻫ做题的时候注意抓住不变量——钟虽然不准，但是走过的时间却是和正常的钟一样的。ﻫ

【例1４】小明上午8点要到学校上课,可是家里的闹钟早晨6点1０分就停了，他上足发条但忘了对表就急急忙忙上学去了，到学校一看还提前了10分。中午1２点放学，小明回到家一看钟才11点整。如果小明上学、下学在路上用的时间相同,那么，他家的闹钟停了多少分?

ﻫ解题：根据题意可知，小明从上学到放学一共经过的时间是２90分钟（1１点减去６点10分），

在校时间为250分钟（8点到１2点，再加上提前到的1０分钟）,所以上下学共经过２90—2５0=４0（分钟),

即从家到学校需要2０分钟，所以从家出来的时间为7:３0(8：００—10分—20分）

即他家的闹钟停了1小时2０分钟，即８0分钟。

ﻫ复杂行程问题、ﻫ接下来说下2个经典的多人行程问题ﻫ【例1５】甲乙两人分别从AB两地同时开车出发相向而行,ＡＢ的距离是80千米,甲的速度是18千米/小时，乙的速度是22千米/小时.已知狗从Ａ出发开始和甲同向不断往返于甲乙之间。狗的速度是50千米/小时,求甲乙相遇时候狗走的路程？ﻫ

这个问题如果我们把狗与甲乙相遇逐次看会异常复杂，在初等数学范围内都不好解决，但如果我们整体把握问题就简单很多.我们不管狗。此题的不变量是三人的时间.只要求出相遇时间就好办了。可是我们只要把握了两人开车的时间以及狗的时间是一致问题很容易了。这个时间就是相遇时间为80÷（１8+2２）=2小时

狗跑了５0x２=1０0千米

ﻫ【例1６】甲乙丙三人，甲从Ａ，乙丙从B。同时出发相向而行，甲乙相遇6分钟后，甲丙相遇。甲的速度是1０0米每分,乙是80米每分,丙是75米每分。求ＡＢ的路程?

这是典型的多人相遇问题.我们化3人为2人化2人为1人来等效处理.此题不变量全程.相遇对象甲乙,甲丙我们可以把甲乙看为1人的速度是1８0米每分,相遇时间是合成1人的所行全程对应时间。把甲丙看为１人速度是175米,所要时间多６分钟。就变为经典的追击问题了一人以1７５米每分速度先走6分后另一人以1８0米每分追,追上时候他们走的路程是多少？1７5乘以6除以5=210分钟，所以全程就是18０乘以2１0=３7800米ﻫ

在解决相遇和追击问题的时候我们都运用了合二为一的方法，在学习多次相遇的时候我们可以结合一分为二与合二为一来理解。ﻫ

解决多次相遇问题关键点在于抓住相邻两次相遇的时候两人走的路程和是一个周期.直线型一个周期是一个来回。封闭型是一圈。直线型一个周期是两全程.这个问题由于过于动态我们可以从最简单情况来理解就是小明往返于ＡＢ,小明从A出发,小军在B不动。很明显小明每次在Ｂ与小军相遇且小明每次相遇走的路程是一个周期2全程。规律就是路程和按1,3，5，7……２n—1排列.同样的追击就是每次追一个周期。也是按1,３,５,7……2n-1个全程排列。此外如果开始如果是起点一样就是按２，4，6,８……2n排列的规律了.

接下来看一个电车发车问题

【例17】小明在ＡB两站间的公路上行驶，每隔一定时间时间开出一辆车，他每隔4分钟迎面遇到一辆车，每12分钟有一辆车背后追上小明，求汽车隔多久发车?ﻫﻫ

分析：此题没有具体数量,看似无从下手不管相遇还是追击路程都是等于相邻两辆车的车间距。这个不变量就是车间距。我们把车间距看为１．汽车与小明速度和=1/4汽车与小明速度差是1/１２．由和差关系知道汽车速度是(1/4+1/12）÷2＝1/6发车时间就是车间距离÷汽车速度=1÷1/6=6分钟ﻫ

反思：此题本质和下题是一样的。小明在A，汽车在Ｂ.他们同时出发相向而行，4分钟相遇。沿着BA方向同向而行12分钟汽车追上小明。求从Ｂ到A汽车要多久？(一个重复模型)ﻫ

此题也可以改编为平均速度问题小军上山速度4千米每小时，下山12千米每小时。求整个过程的平均速度？ﻫ

接下来我们看几个没有具体数量，运用比解决的问题

ﻫ【例18】汽车从A到Ｂ如果每小时速度提高1/5就可以提早0.5小时到。如果按原速行驶45千米后把速度降低1／5后就迟到０．5小时。求AB的路程？

分析:我们用逆推的思想思考。只要知道计划速度和计划时间问题就解决了。从第一个条件知道提速前后速度比是5:６那么时间比是6：5,不变量是全程。0.５小时是1份时间所以走完全程计划是6份时间是３小时。再看走完４5千米后的局部路程不变。降速前后速度比是5:4,那么时间比4：５，0．5小时是1份时间，所以计划走后面的路要4份时间2小时，所以走完45千米只要3—２＝１小时,４5x3=135千米问题就从容解决了。ﻫﻫ【例19】有甲乙丙三辆车,各以一定速度从Ａ到B,乙比丙晚出发10分钟，4０分钟（以乙为起）后追上丙,甲比乙晚出发20分钟,1小时40分钟追上丙。甲出发多久后追上乙？

分析：乙走４0分钟相当于丙走50分钟，抓路程不变所以乙和丙速度比是5:4，甲比丙晚出发3０分钟，所以丙走1３０分钟路程相当于甲走１0０分钟。甲与丙速度比是1３：１0，我们把丙的份数统一为20，甲乙丙速度比是26：2５:20，所以甲乙的时间比是25：2６，甲比乙晚出发２０分钟所以甲走了２0ｘ（26—2５)ｘ25=500分钟追上乙

【例２０】龟兔赛跑10000米全程，兔子速度是乌龟的5倍,跑了一段兔子睡了，等兔子醒了，乌龟超过兔500０米，乌龟到终点时兔子还有10０米到终点，兔子睡觉的时候乌龟跑了多少米？

分析:我们不要拘泥于局部。最后的结果是乌龟跑了10000米兔子9９00米.只要兔子不睡觉走的路是乌龟的5倍兔子没睡觉乌龟走的路是1980米所以睡觉的时候就是10000－1９80=８0２0米ﻫ

猎狗追兔，复杂的钟面角问题注意抓住不变量运用正比例和反比例即可。列车过桥,错车等问题都可以化归为基本的相遇和追击问题了.ﻫ最后说下解决行程问题就是如下几个思路。1、化多人为１人(减少人数)ﻫ2、化多次为1次（减少次数）ﻫ３、整体把控（分为睡觉时和不睡觉时)

４、把握不变量(一般来说从整体和局部均可）ﻫ5、深刻认识相遇和追击问题的内涵（速度差＊T=路程差，速度和*T＝路程和)６、只有两个比，以一个为基准.２011。11．1５数学运算第3期——(排列组合概率）排列组合问题也是公考中一个比重较大的问题,也是公考的重点和难点之一,也是进一步解答概率的基础。事实上,许多概率问题也可归结为排列组合问题。这一类问题不仅内容抽象,解法灵活,而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来,所以解题时要注意不断积累经验,总结解题规律,掌握若干技巧,最终达到能够灵活运用。

先说排列组合，分类用加法,分步用乘法,排列Ｐ与顺序有关，排列Ｃ与顺序无关ﻫ两个大类：

1、分类计数原理(加法原理)

ﻫ完成一件事,有n类办法，在第1类办法中有m１种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法,…,在第ｎ类办法中有mｎ种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2＋…+ｍn种不同的方法.ﻫ2、分步计数原理(乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤,做第1步有m１种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有：N=m1.m2…mn种不同的方法．ﻫ分类计数原理和分步计数原理区别：ﻫ1、分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

2、分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．ﻫ解决排列组合综合性问题的一般过程如下ﻫ1。认真审题弄清要做什么事ﻫ2。怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合(无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素。ﻫ排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣,但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径ﻫﻫ以下是解解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略。

排列组合从解法上看，大致有以下几种:ﻫ（１)有附加条件的排列组合问题,大多需用分类讨论的方法；

(２）排列与组合的混合型问题，需分步骤，要用乘法原理解决；ﻫ(3）不相邻问题插空法,相邻问题捆绑法;ﻫ（4）排除法，将不符合条件的排列或组合剔除掉；

（5）枚举法,将符合条件的所有排列或组合一一写出来，或写出一部分发现规律；ﻫ（6）定序问题“无序化"，即若某几个元素必须保持一定的顺序，则可按通常排列后再除以这几个元素的排列数；ﻫ(7)隔板法，例如：10个相同的小球分给三人,每人至少１个，有多少种方法？可将１0个球排成一排，再用２块“隔板”将它们分成三个部分，有C92种方法。

整个解题过程遵循的基本原则是：“特殊对象优先考虑”、先“分类”后“分步”、先“取”后“排"等原则.突出分类相加，分步相乘；有序排列，无序组合；除了上述方法外，有时还可以通过设未知数，借助方程来解答,简单一些的问题可采用列举法等.解此类题常用的数学思想是：分类讨论的思想，转化思想和对称思想等三种。ﻫ排列组合问题经典题型与通用方法ﻫ

１．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列．ﻫ例1.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、Ｂ必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有多少

根据题意，Ａ、B必须相邻且B在A的右边,视Ａ、B为一个元素,且只有一种排法；将A、Ｂ与其他3个元素，共4个元素排列，由乘法计数原理可得答案．

解答：根据题意,A、B必须相邻且B在Ａ的右边，视Ａ、Ｂ为一个元素,且只有一种排法;

将A、B与其他3个元素,共4个元素排列，ﻫ即Ａ44＝24，

则符合条件的排法有1×２４=24种；ﻫﻫ２.相离问题插空排:元素相离(即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（)ﻫ由于甲、乙两人必需不相邻，先排列其它５个人，共有Ａ55种结果,出现6个空,从这6个空中选出2个空排上甲、乙即可写出结果．

解答：因为甲、乙两人必需不相邻,ﻫ所以先排列其它5个人,共有A５５种结果,

再在五个人形成的6个空中选２个位置排列，共有A62种结果，

∴不同的排法的种数是Ａ55A62=3６00

3.定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

ﻫ例3.A,B，C,D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻）那么不同的排法有多少ﻫ根据题意,首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．ﻫ解答:根据题意，使用倍分法，

五人并排站成一排，有A55种情况,ﻫ而其中B站在A的左边与B站在Ａ的右边是等可能的,

则其情况数目是相等的,ﻫ则B站在Ａ的右边的情况数目为１／2×Ａ５5=６0,ﻫﻫ4．标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去,依次即可完成.

ﻫ例４．将数字1，2,３,４填入标号为１，2,３,4的四个方格里,每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少?

首先计算４个数字填入４个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有１个数字相同的情况，有２个数字相同情况,有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案.

解答:根据题意,数字1,2，3,４填入标号为1，2，３,4的四个方格里,共A44＝24种填法,

其中,四个数字全部相同的有1种，ﻫ有1个数字相同的有4×2=8种情况,

有2个数字相同的有C４２×１=6种情况,

有3个数字相同的情况不存在，ﻫ则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有２４－1-8-6=９种,ﻫﻫ5．有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。ﻫ

例５.有甲乙丙三项任务,甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出４人承担这三项任务，不同的选法种数是多少?

首先分析题目求不同的选法种数，故可先从10人中选出4个人，再在这４个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙或丙任务，即可列出式子，求解得到答案．ﻫ解答：分析题目先从10人中选出4个人,再在这4个人中选两个从事甲任务,剩下的两个人从事乙丙任务。

故可列出：C1０４•C4２•Ａ22=２52０。

6．全员分配问题分组法：ﻫ

例6.5本不同的书,全部分给４个学生,每个学生至少一本，不同的分法种数为（）

由题意知先把5本书中的两本捆起来看做一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘得到结果。

解答:由题意知先把５本书中的两本捆起来看做一个元素共有C５2,

这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有A44,ﻫ所以分法种数为Ｃ52•A4４=2４０．ﻫ

7．名额分配问题隔板法：

例７：10名优秀学生全部保送到７所学校去，每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种？ﻫ由题意知十个报送名额之间没有区别，可将原问题转化为1０个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空,使用插空法,相当于用6块档板插在9个间隔中，计算可得答案．ﻫ解答:根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，

可以转化为1０个元素之间有9个间隔，要求分成７份，每份不空;ﻫ相当于用6块档板插在9个间隔中,ﻫ共有C96=８4种不同方法.

所以名额分配的方法共有8４种．ﻫ

ﻫ8。限制条件的分配问题分类法：

例8。某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案？

解析：因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况:ﻫ①若甲乙都不参加，则有派遣方案Ａ84种

②若甲参加而乙不参加，先安排甲有３种方法,然后安排其余学生有A83种方法，所以共有3A83种方法;ﻫ③若乙参加而甲不参加同理也有3A8３种

④若甲乙都参加,则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有Ａ8２种，共有７A8２方法。所以共有不同的派遣方法总数为４0８8种。

9．多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。ﻫ例９（1）由数字０，1，２,3，４,５组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有多少？ﻫ由题意知本题是一个分类计数问题,由题意知个位数字小于十位数字,个位数字只能是0,１，2,3，4共5种类型，每一种类型分别有A55个、A4１Ａ31Ａ3３个、A31A31A33个、Ａ21A３1Ａ３3个、A31A33个，根据分类计数原理得到结果．

解答:由题意知本题是一个分类计数问题

由题意知个位数字小于十位数字,

所以个位数字只能是0，1，2,3,4共5种类型,

每一种类型分别有Ａ55个、A41A31A3３个、A３1Ａ31A３3个、A21A31A3３个、Ａ31A33个

所以共有A55＋A41Ａ３１A３３+Ａ31A3１A33+A2１A3１A３3+Ａ3１A３3个=300,ﻫ

（2）在1，２，3,…,100０中，能被5整除的数一共有多少个ﻫ解题:由１,2,3,…,1000中,能被5整除的数，第一个数是5，最后一个数是１０00，所有的这些数构成了一个公差为5的等差数列,由等差数列的性质计算出项数即可解答：解：由题意1,2，３，…，1000中,能被５整除的数,第一个数是５，最后一个数是10０0，所有的这些数构成了一个公差为5的等差数列,ﻫ故有1000=5＋5（ｎ-1)

解得n＝200

所以答案为200ﻫﻫ10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式

例10。从６名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

本题可以用两种不同的方法来解,第一种方法问题分成甲、乙两人均不参加，甲、乙两人有且仅有一人参加,甲、乙两人均参加，列出结果数，根据分类计数原理得到结果．ﻫ第二种解法是先做出所有的情况六人中取四人参加的种数,减去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的种数,这样就重复剪掉了两个人同时不合题意的结果数,再加上。ﻫ解答:法一：有题意知本题是一个分类计数问题,

问题分成三类:(1）甲、乙两人均不参加,有A４4种;

（2）甲、乙两人有且仅有一人参加,有2C43（A４4—Ａ3３）种；

（３)甲、乙两人均参加,有C４2(A４4—２A3３+Ａ22）种.

故共有252种．

法二：六人中取四人参加的种数为A6４,ﻫ除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有C21Ａ53种，

因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A42减去了两次.ﻫ故共有Ａ6４-Ｃ２1A53+A４2=２52种．ﻫ

ﻫ注意：对于带有限制条件的排列、组合计数原理综合题,一般用分类讨论或间接法两种方法处理.比如五个人站成一排,甲不在排头，乙不在排尾的方法数.

ﻫ１1.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素;再排其它的元素.

例11。若４名男生,4名女生排成一排，女生不排两端,则有多少种不同排法?

本题是一个有限制条件的站队问题，根据4名男生,４名女生排成一排,女生不排两端，可以先从4个男生中选２个排在两端,其余6个人在中间的6个位置上全排列，得到结果.解答：解：由题意知4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，

可以先从4个男生中选2个排在两端,

其余6个人在中间的6个位置上全排列,ﻫ共有A42A６6＝８6４０种结果，

故答案为:8640

ﻫ注意:站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素,把限制条件比较多的元素排列后,再排没有限制条件的元素，最后要用计数原理得到结果．

ﻫ12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.

例12。有两排座位，前排4个座位，后排5个座位,现安排２人入座，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻)，那么不同坐法的种数为多少ﻫ按两人在前排、后排、前后各一人，三种情况，一一求解即可．ﻫ解答：解：两人都在前排，方法是３×2=６种,

两人都在后排,方法是６×2＝１２种;ﻫ前、后各一人,方法是5×4×2=40种；

符合题意的方法是:６+12+4０＝58种ﻫﻫ１3。“至少"“至多"问题用间接排除法或分类法：

例13．从４台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有多少?ﻫ分步乘法计数原理。分析：本题既有分类计数原理也有分步计数原理。

解答:甲型1台与乙型电视机2台共有4•C52＝40；甲型２台与乙型电视机1台共有C42•５=３0；不同的取法共有70种

注意:注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步。ﻫ1４.选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上,可用先取后排法。

例14.（1)四个不同球放入编号为1，2,3,４的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种？ﻫ由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有２个小球,从４个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列,根据分步计数原理得到结果。ﻫ解答:四个不同的小球放入编号为１，2,3，4的四个盒子中，ﻫ恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，

从4个小球中选两个作为一个元素,同另外两个元素在三个位置全排列ﻫ故共有C4２A43=144种不同的放法.ﻫ所以答案为１44．

注意：本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列.

15．部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.ﻫ例15。以正方体的顶点为顶点的四面体共有多少？

以一个正方体的顶点为顶点中任意选4个除去在同一个平面上的点,可得四面体的个数．

解答：正方体的8个顶点中任取４个共有Ｃ84=70个不能组成四面体的4个顶点有，已有的６个面，对角面有6个所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有:70—1２＝58个ﻫﻫ

1６.圆排问题单排法:把个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列ｎ个普通排列：ﻫ在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有n!/ｍ种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的n-1元素全排列。ﻫ

例16。一环形花坛分为A、B、Ｃ、Ｄ四块,要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花。ﻫ(1）若在三种花种选择两种花种植,有多少种不同的种法?ﻫ(２)若有四种花可供选择，种多少种花不限，有多少种不同的种法？

（1)本题是一个分步计数问题,三种花中选择2种花有C3２种方法．对应每一种选法有两种种法．得到结果。ﻫ（2)本题是一个分步计数问题，A有4种选择，Ｂ有3种选择，若C与A相同,则Ｄ有3种选择，若C与A不同,则C有2种选择,D也有２种选择,得到结果.ﻫ

ﻫ解答：(１）由题意知本题是一个分步计数问题，

三种花中选择2种花有C3２＝３种方法．ﻫ对应每一种选法有两种种法．ﻫ依据分步计数原理，共有2C3２=6种种法．

（2）由题意知本题是一个分步计数问题,ﻫA有4种选择，B有3种选择，ﻫ若Ｃ与A相同,则D有3种选择,

若C与A不同，则C有2种选择，D也有2种选择

故共有4×3×（3+2×2）＝84（种）

注意：本题解题的关键是看清条件中对于元素的限制，相邻两块地所中的花要不同．ﻫ１7。可重复的排列求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置,一般地n个不同元素排在ｍ个不同位置的排列数有多少种方法.ﻫ例1７。把６名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ﻫ解析：完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有７种不同方案，第二步:将第二名实习生分配到车间也有７种不同方案，依次类推,由分步计数原理知共有７6种不同方案。ﻫﻫ18.复杂排列组合问题构造模型法：ﻫ例１８.某城市新修建的一条道路上有１2盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的３盏灯，但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有多少种?ﻫ根据题意,先将亮的9盏灯排成一排，分析可得有8个符合条件的空位，用插空法,再将插入熄灭的3盏灯插入８个空位,用组合公式分析可得答案．

解答:本题使用插空法,先将亮的9盏灯排成一排，ﻫ由题意,两端的灯不能熄灭,则有8个符合条件的空位，

进而在８个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，ﻫ有C83种方法,

注意：本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法.ﻫ

１9。元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：

例１9.设有编号为1,2，3，4,5的五个球和编号为1，2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法？

本题投放球有两种方法，一种是投入到与编号相同的盒子内，另一种是投入到与编号不同的盒子内,故应分步完成。先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子，剩下的三个球投放球的方法要注意列举,根据分步计数原理得到结果.ﻫ解答：由题意知本题投放球有两种方法,一种是投入到与编号相同的盒子内，ﻫ另一种是投入到与编号不同的盒子内,故应分步完成．

因为先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内有C5２种;

剩下的三个球，不妨设编号为３,4，5,投放3号球的方法数为C21，

则投放４，5号球的方法只有一种，ﻫ根据分步计数原理共有C５２•C２1=2０种.

注意:五个球分别投放到五个盒子内，恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则其他三个球必不能投放到与球的编号相同的盒子内,此时,这三个球与对应的三个盒子，就成了受限的特殊元素与特殊位置．

20．复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:ﻫ例2０。以正方体的顶点为线段的端点,则这8个点可构成的异面直线的对数为多少？ﻫ通过对异面直线的两条线进行分类分了4类,每一类中求得异面直线的对数,再求出四类的和即可．

解答:解：正方体任意两条对角线必相交；包含一条对角线的异面直线对数有,(6+6)×4＝48对;

不含任何一条对角线的，即都位于6个面上的，两条面对角线的有（5×12)÷2=30对,

一条面对角线和一条边的有6×１2=7２，

两条边的有（４×1２）÷2=２4，ﻫ所以共有48＋30+72＋24＝1７4对异面直线ﻫ注意：这个就和几何联系在一起，判断两条直线是否是异面直线,一般利用异面直线的判定定理:过平面外一点与平面内不过该点的直线是异面直线.ﻫﻫ21。利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

例２1。在一个圆周上有10个点,把它们两两相连，问共有多少条不同的线段?ﻫ顺次连接各点得到一个10边形，其边数为10，再计算出其对角线条数即可。

解答：解:顺次连接各点，得到一个证10边形．ﻫ正10边形有１０条边,１0个顶点，每个顶点有7条对角线，故共有7×1０条对角线,ﻫ由于每条对角线被重复计算了两次，ﻫ所以有对角线７0÷２＝35条。ﻫ故共有线段10+35=４5条．

注意：此题实质是考查正多边形的边数和对角线的条数的计算,要注意对角线不可重复计算.

22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题（贺卡问题,信封问题）记住公式即可

瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、ｂ、c……表示n份相应的写好的信纸.把错装的总数为记作f(n）。假设把ａ错装进B里了,包含着这个错误的一切错装法分两类：ﻫ(1）b装入A里,这时每种错装的其余部分都与A、B、ａ、b无关,应有f（n-2）种错装法。

(2)ｂ装入Ａ、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把(除a之外的)份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、Ｃ……,显然这时装错的方法有f（n－１）种。

总之在a装入B的错误之下，共有错装法f（n-２）+f（n—1）种。a装入C，装入D……的n-２种错误之下，同样都有f(ｎ-2）+f（n-１)种错装法，因此：得到一个递推公式：ｆ(n）＝(n—１）｛ｆ(n－１)＋f(n—2）},分别带入n＝2、3、４等可推得结果。

也可用迭代法推导出一般公式：ﻫ

应该指出的是，以上介绍的各种方法是解决一般排列组合问题常用方法,并非绝对的。数学是一门非常灵活的课程，同一问题有时会有多种解法,这时,要认真思考和分析,灵活选择最佳方法．还有像多元问题“分类法”、环排问题“线排法”、“等概率法”等在此不赘述了。ﻫ概率是排列组合的衍射，概率分母永远是你要取的数字

比如10件产品2件次品,从中取2件，恰好是合格的概率

你先想是排列还是组合

没有顺序就是组合题中说到从中取２件就是10个取2所以分母就是C102

分子永远都是他所提的要求

题中说都要求是合格的

你想合格一共有8个那就是８个里面取2个,

C８２

概率做成表格更加清楚明白

ﻫﻫﻫﻫﻫﻫ2011。11．２2数学运算第4期-—（十字交叉法)如果题目中给出两个平行的情况A，Ｂ，满足条件a,b；然后A和B按照某种条件混合在一起形成的情况Ｃ，满足条件c．而且可以表示成如下的表达式.那么这个时候就可以用十字交叉法.ﻫ判断式:A＊ａ+B＊b=(A+B）＊c=C＊c

原理:

1、重量分别为Ａ与B的溶液，其溶度分别为a、b混合后溶度为rﻫ2、A个男生的考试成绩平均分为a,B个女生平均分为ｂ，总体平均分为rﻫ3、数量分别为A与B的人口，分别增长a与ｂ,总体增长率为ｒﻫ要解出以上三个例题，都可以列出下列式子

Aａ+Ｂb=（Ａ＋Ｂ)r式子转化为A/Ｂ=（r—ｂ）/（a—r）ﻫ一般图列形式为

ﻫA

a

r-b

ﻫ

r

-—转化为A／Ｂ=（r—b)/（a-r）ﻫB

b

a—r

1.十字交叉法的实质ﻫ

很多考友由于对该方法的实质不是很清楚,所以往往不能熟练运用，甚至还容易出错。其实，涉及到几者的平均数问题，那么对平均数而言,几者中一定有些多，有些少，多出的量和少的量一定是相等的.

如，考试中有1０人得80分，１0人得60分,他们的平均分是７0分。这是因为80分的比平均分多１0×1０=１00,而6０分的比平均分少（70-6０）×10=10０，ﻫ多的１00刚好弥补不足的100.ﻫ

2.涉及两者的十字交叉法

这是该方法运用最多的情况。注意两者中必有一大一小.

例1：某车间进行季度考核，整个车间平均分是85分，其中2/３的人得80分以上(含８0分)，他们的平均分是90分,则低于80分的人的平均分是多少？

解析:设低于８０分的人的平均分是m,

所以90↘↗８5—m

2／3ﻫ

ﻫ

8５

ﻫ

ｍ↗↘90-85

1/3

即(８5-m）×１／3＝（90-85）×２/３,m=７５ﻫ例２:甲容器中有浓度为4%的盐水１５0克，乙容器中有某种浓度的盐水若干,从乙中取出450克盐水,放入甲中混合成浓度为8．2%的盐水，那么乙容器中的浓度是多少？ﻫ解析：设乙容器中的浓度是ｍ，ﻫ所以４％↘↗ｍ—８.2％

150

ﻫ

8．2%

m↗↘8．２%-4％

450ﻫ即（m-8.2%)×450＝（8。２％-4%）×15０,ｍ=9．6%ﻫ3．涉及三者的运用

根据所有多出量之和等于所有少的量之和.ﻫ例3:把浓度为20％、30％和50％的某溶液混合在一起，得到浓度为36％的溶液50升.已知浓度为３０％的溶液用量是浓度为20%的溶液用量的2倍，浓度为30％的溶液的用量是多少升？

解析：设浓度为30％的溶液的用量是m，所以ﻫ20%↘

↗5０％-36％

50－m—m/2

30％→

36%

→36%－30％

m

50％↗

↘36％-２0%

m/2

即（50％—36％）×(50－m—m/2）=（３6％-3０％）×m+（36%—20％）×（m／2）,m＝20ﻫ只要掌握了十字交叉法的实质,对于三者以上的相关问题都可以迎刃而解.在解体中就能做到速度快而且不易出错。

十字交叉法适用的解两种整体的混合的相关例题ﻫ

基本原理如下:混合前，整体一「数量ｘ,指标量a」；整体二「数量y,指标量b(ａ＞b）」。ﻫ混合后，整体「数量（x＋y），指标量c」。可得到如下关系式:x×a+y×b＝（x＋y）ｃ。

推出：x×(a-c)＝y×(c-ｂ），得到公式：（a－c）：（c—ｂ）＝ｙ:xﻫ则任意知道x、ｙ、a、b、c中的四个，可以求出未知量。不过，求ｃ的话,直接计算更为简单.当知道x＋y时,x或y任意知道一个也可采用此法；知道ｘ:ｙ也可以。相关的指标量可以是平均值、浓度等等。举例如下：

1．求指标量ａ、ｂ之一

例1：器中有浓度为4%的盐水１５０克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水放入甲中混成浓度为８.２％的盐水，问乙容器中盐水的浓度是多少？

A。9。６%B.9.８％C．９.９%D。10%ﻫ

解析:已知从乙容器中取出的盐水量x=4５0,甲容器中原有盐水量y＝1５０，甲容器中原有盐水浓度ｂ＝4%，混合后盐水浓度c=8。2％,可得到（ａ—8.2％）：（8.2％—4%）=150:４50,则ｂ—8.2%=4.２％÷3＝1。4％，即乙容器中盐水浓度b=9.6%

正确答案：Ａﻫ

例２:某车间进行季度考核，整个车间平均分是85分,其中2／３的人得8０分以上（含8０分），他们的平均分是90分，则低于８0分的人的平均分是多少？

A.６8B。7０C.７５D.78ﻫﻫ解析：已知得80分以上（含80分）的人的平均分ａ=9０，总平均分c=85,得８0分以上(含８0分）的人数与低于80分的人数比例x：y=(2/3）:(１-2／3)＝2:1，（９0－8５)：（85—ｂ）=2:１,则85-b=10÷2=5，即低于80分的人数为b=80。

正确答案：Cﻫ

2．求数量x、ｙ之一ﻫ例１：车间共4０人,某次技术操作考核的平均成绩为８0分，其中男工平均成绩是83分，女工平均成绩为７8分，该车间有女工多少人?ﻫA。1６人B.1８人C。2０人D。２4人ﻫ解析：已知男工平均成绩a＝８3,女工平均成绩ｂ=78,总平均成绩c=80,车间总人数ｘ+ｙ=4０，则y：x=（83-８０）：（８0—78）=３：2，则女工人数ｙ=4０×３÷（3+2)=24人.

正确答案：Ｄ

ﻫ例2:有浓度为4％的盐水若干克，蒸发了一些水分后浓度变成10％，再加入300克4%的盐水后，浓度变为6。4%的盐水，问最初的盐水多少克？

A.20０克B．300克C。400克Ｄ．500克ﻫ

解：析已知原有盐水蒸发后浓度a=1０%,加入的盐水浓度为b＝4％，重量为y=３00克,混合后盐水浓度c＝６．4%，则y:ｘ＝(10%－6。4％)：（６.4%－４％）=3:２,则原有盐水蒸发后为300÷３×２=200克，最初盐水为2０0×10%÷4%=5００克。ﻫ正确答案:Ｄ

ﻫ十字相乘法使用时要注意几点：ﻫ第一点：用来解决两者之间的比例关系问题.ﻫ第二点:得出的比例关系是基数的比例关系.ﻫ第三点：总均值放中央,对角线上，大数减小数，结果放对角线上。ﻫ

【例１】一杯含盐15％的盐水200克，要使盐水含盐20%,应加盐()克。

Ａ.1４。５B。1０C。12．５D。１5

【解析】假设加盐x克，1５％的盐水２00克,100％的盐x克,混合成２0%的20０+x.满足:

１5％＊2０0+100％＊x=20％＊(２00+ｘ),所以可以用十字交叉法。

ﻫ２00

1５％

100%-20%ﻫ

２0%,

2０0/x=(１00％－２0％）/（20％－15％)=80/5ﻫx

100％

20%－15%

解出x=12。５克．ﻫ【例２】一块试验田,以前这块地所种植的是普通水稻。现在将该试验田的1/３种上超级水稻，收割时发现该试验田水稻总产量是以前总产量的1。5倍。如果普通水稻的产量不变，则超级水稻的平均产量与普通水稻的平均产量之比是（)。

A。５∶２B。4∶3C。3∶１D。２∶1

【解析】假设超级水稻的产量是x，普通水稻的产量是1；超级水稻是1/3,普通水稻是2/3；产量分别是x,1；那么混合就是１,产量是1.5,满足1/3＊x+2/3＊1=(1/3+2/３)*1。5，所以可以利用十字交叉法.

1/3

ｘ

1.５—1

１。５，

（1／３）/（2/３)=（１.5-１）/(x—1.5).解出x=2．5,比是２。5:1=5:２.ﻫ2/3

1

ｘ-1．5

【例3】在一次法律知识竞赛中,甲机关20人参加，平均8０分，乙机关30人参加，平均70分，问两个机关参加竞赛的人总平均分是多少？

A。７6Ｂ。75C．７4D．73

【解析】假设总平均成绩是x，满足20＊８0＋３0＊７0＝（20+30）＊x，所以可以用十字交叉法做。ﻫ2０

80

x-70ﻫ

x，

20/30=（x—７０)/８0-x）．解出ｘ=74分.

３0

7０

80—ｘ

ﻫ【例4】某市现有人口70万，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%,则全市人口将增加４.8％,那么这个市现有城镇人口多少万？

Ａ。30万Ｂ.31．2万C。4０万D.41。6万ﻫ【解析】假设现有城镇人口ｘ万，农村人口70—ｘ万，满足：4%＊x＋5。4%*（７0—x)=(ｘ+7０-x）*4.8%

所以可以用十字交叉法。ﻫx

4％

5．4%—4.8％

4．8%,

ｘ/(70-x）=（5.４％—4．８%)/（4．８％－4%）．解出ｘ＝30．

70-x

5.4%

4。8％—４%ﻫ

对于十字交叉法要多加练习，这样熟能生巧，在公考中，其实最常用十字交叉法的应该是溶度，但是很多题目类型暗藏着十字交叉法的解法，比较容易计算或是可以有秒杀法，下面将出些溶液混合问题，增长率问题,收益率问题，平均数问题等．帮助大家更好地掌握。ﻫ

1.

某体育训练中心,教练员中男占90％,运动员中男占80%，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是多少?

ﻫ

A。2:5

Ｂ．１：３

Ｃ．1：4

D.1：５

答案:Ｃ

分析：

男教练：

9０％

2％

ﻫ

8２%

男运动员：8０％

8%ﻫ男教练：男运动员＝2%：8%=1：４ﻫﻫ２.

某公司职员25人，每季度共发放劳保费用1５000元,已知每个男职必每季度发58０元，

每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少?

A。２∶1

B.3∶2

C.2∶3

D。1∶２

答案:B

分析:职工平均工资1500０/2５=600

男职工工资：５80

30

60０

女职工工资：6３0

20ﻫ

男职工:女职工＝3０：20＝３：2ﻫ

３．某城市现在有70万人口,如果5年后城镇人口增加4％，农村人口增加5。4%,则全市人口将增加4．8%。现在城镇人口有（

）万。

A30

B３１。2

C４0

Ｄ41.6

答案Ａ

分析：城镇人口:4%

0。6％

ﻫ

４.8％

农村人口：5.4％

０．8％

ﻫ

城镇人口：农村人口=0.６％;0.８％=3:4

７０＊(3/7)＝30

ﻫ4。

某市居民生活用电每月标准用电价格为每度0．50元，若每月用电超过规定的标准用电，超标部分按照基本价格的８0%收费。某用户九月份用电8４度，共交电费39。6元，则该市每月标准用电为（

）度。

A

6０

Ｂ６5

C

7０

D

７5ﻫ5。某班男生比女生人数多80％,一次考试后，全班平均成级为７5分，而女生的平均分比男生的平均分高20％，则此班女生的平均分是多少？

A.８4分B．８5分C