线线角、线面角求法【 知识精讲+ 能力提升 】 高一下学期必修第二册重难点突破

专题3线线角、线面角求法OAP1.直线和平面所成角如图，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角，图中∠PAO.2.直线和平面所成角范围射影垂线斜线斜足垂足所需知识复习3.求斜线和平面所成的角的一般步骤：

（1）作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角，即为斜线和平面所成的角；

（2）证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角；

（注：关键证明线面垂足，即证得斜线在面内的射影）

（3）求：通过解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小一、定义法求线面角③BP与平面PAC所成角②BP与平面ABC所成角（1）找出下列直线与平面所成角例1（教材P171第13题变式拓展学习）①CP与平面ABC所成角鳖臑《九章算术·商功》（该模型称为鳖臑模型，即四个面都是直角三角形的四面体）④PA与平面PBC所成角（2）求AB与平面PBC所成角的正弦值┐D例1二、探究等体积法求线面角则AB与平面PBC所成角的正弦值为__________思路1：如何过点A作平面PBC的垂线？变式1：hθ探究：过点A作AD⊥BC延长线于D，连接PD，过点A作AH⊥PD于H，则AH⊥平面PBC（自主证明）二、探究等体积法求线面角则AB与平面PBC所成角的正弦值为__________思路2：发现过点A作面PBC的垂线段比较困难，此时我们可用等体积法求A到面PBC的距离，从而解决线面角.变式1：hθ反思：教材P171第13题（2）问你有哪些方法解决？小组合作交流并规范解答过程变式2：如图，四棱锥的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=.（1）求直线PB与平面PAC所成角的大小；（2）求直线PB与平面PCD所成角的大小；数学文化：

《九章算术·商功》阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体。方法一：定义法直接找角方法二：等体积法变式3：如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于点M.(1)求证:AM⊥PD;因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.因为BM⊥PD,AB∩BM=B,AB⊂平面ABM,BM⊂平面ABM,所以PD⊥平面ABM.因为AM⊂平面ABM,所以AM⊥PD.(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.因为AB⊥AD,AD∩PA=A,AD⊂平面PAD,PA⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD.(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值.(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值.AOlB1.二面角的平面角的定义(1)定义:在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图，

，则∠AOB叫做二面角的平面角.

它的大小与点O的选取无关.（等角定理）所需知识复习

注意：二面角的平面角必须满足：（I）角的顶点在棱上。（II）角的两边分别在两个面内。（III）角的边都要垂直于二面角的棱。

难点突破二面角用垂线法作二面角的平面角的一般步骤：I．在其中一个半平面内取恰当的一点P，

过点P作另一个平面的垂线，垂足设为Q；II．过点Q作棱l的垂线，垂足为O，连接OP；III．易知，l垂直OP，所以∠POQ即为二面角

的平面角.2、二面角的平面角的常用作法：(1)定义法：根据定义作出来。(2)用垂线法例2.难点突破二面角垂线法【解】如图，取A1C1的中点O，连接B1O，BO，由题意知B1O⊥A1C1.又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1是二面角B-A1C1-B1的平面角.变2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的正切值．AA1BB1CC1DD1E思路分析：①找基面平面BCD②作基面的垂线过E作EF⊥CD于FF③作平面角作FG⊥BD于G，连结EGG解：过E作EF⊥CD于F，于是，∠EGF为二面角E－BD－C的平面角．∵BC=1，CD=2，而EF=1，在△EFG中∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴EF⊥平面BCD，且F为CD中点，过F作FG⊥BD于G，连结EG，则EG⊥BD．（为什么？）∴M二面角的常用求法：定义法、垂线法难点突破二面角垂线法空间角的综合应用（复习参考题8第14题）如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥AD,底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥侧面底面ABCD，M是PD的中点.例3．（教材P171第14题讲评及变式探究）（1）求证：AM⊥平面PCD；（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.【解】（1）在正方形ABCD中，CD⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，所以CD⊥平面PAD，AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM，因为三角形PAD是正三角形，M是PD的中点，所以AM⊥PD，又CD∩PD=D，所以AM⊥平面PCD.取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，则EF=CD，EF//CD，∴EF⊥AD，又在正三角形PAD中，PE⊥AD，EF∩PE=E，∴AD⊥平面PEF，∵正方形ABCD中，AD//BC，∴BC⊥平面PEF，∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，由CD⊥平面PAD，EF//CD，∴EF⊥平面PEF，∵PE⊂平面PAD，设正方形ABCD的边长

，则

，所以

，所以

,即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为

.变式1：（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。（2）求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。答案：：（1）60°（2）60°变式2：如图：在正四棱锥V-ABCD中，底面AB