2021-2022学年淮安市高一数学（上）期末试题及答案

2021-2022学年江苏省淮安市高一(上)期末数学试卷

1.已知集合4=口€/7|-1<%<4},集合8={尤|-2<%<3},则4。8=()

A.[0,1,2}B.{1,2}

C.{x|-1<x<3}D.{x|-2<x<4}

2.下列角中与一号兀终边相同的角是()

O

A.-30°B,-40°C.20°D,390°

07

3.己知实数a=0.7。2,b=log20.7,c=2,则实数a,b,c的大小是()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

4.已知f(x),g(x)均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f(x)=g(x)有实数

解的区间是()

X-10123

/(X)-0.6703.0115.4325.9807.651

9。）-0.5303.4514.8905.2416.892

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

m+2

5.已知函数/(x)=(3m-2)x(mGR)是事函数，则函数g(x)=loga(x-m)+l(a>0,

且a力1)的图象所过定点P的坐标是()

A.(2,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(-1,2)

6.为了加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取9合1检测法”，即将k个人的拭子样本合

并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人

再单独做检测.该检测机构采用了“10合1检测法”对2000人进行检测，检测结果为5人呈阳

性，且这5个人来自4个不同的检测组，则总检测的次数是()

A.210B.230C.240D.250

7.函数f(x)=2x+云(aeR)的图象可能为()

8.已知函数/（君二匕:四；：?：111，在定义域上是单调增函数，则实数a的取值范围为

（）

A.0<a<1B,3<a<6C.1<a<4D,1<a<2

9.下列四个函数中，以兀为最小正周期，且在区间（｝,兀）上单调递减的是（）

X

A.y=|sinx|B.y=cosxC.y=-tanxD.y=sin-

10.若a>匕>0,则下列几个不等式中正确的是（）

Ab、b+5D1J

A/>承B.f

C.a5>b5D.lg竽〉誓改

11.下面选项中正确的有（）

A.命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”

B.命题“VxeR,X2+X+1<0"的否定是"mxeR,X2+x+1>0"

C."a=kn+B，keZ”是“tana=tan。”成立的充要条件

D.设a,bER,则“a消0”是“ab力0”的必要不充分条件

12.己知函数/（x）=4s讥（3%+（p）（其中4>0,3>0,|租|<兀）的部分图象如图所示，则

下列结论正确的是（）

A.函数/。一前是偶函数

B.函数f(x)的图象关于点(-刍0)对称

C.y=1与图象y=/(©(-需<x<翳)的所有交点的横坐标之和为与

D.函数f(x)的图象可由y=cos2x的图象向右平移3个单位得到

13.已知函数/'(X)=cos(?rx+w)(0<W<兀)是定义在R上的奇函数，则/(2)=.

14.数学中处处存在着美，机械学家莱洛派现的莱洛三角形就给人A

以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形4BC,再分别

以点4,8,C为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.若/\

线段AB长为2,则莱洛三角形的面积是.8

15.已知实数无，y>0,且y=—：+1,贝!|2x+"的最小值是.

16.己知定义在R上的偶函数/(%),当420时，函数人无)={曹?则满足

/(tang)</'(tanx)的x的取值范围是.

17.设全集是R,集合力={x|--+2%<-3},B={x|a<x<a+3}.

(1)若a=l,求(C/)nB；

(2)问题：已知,求实数a的取值范围.

从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.

①4nB=B；

②AUB=4;

③AnB=0.

1

3;

18・(1)计算:V16—伶J+(log23)x(log34)

(2)化简：”-2碗40。*40J

cos40°-v1-COS2140°

19.己知函数f(x)=loga(2+3x)-loga(2-3x)(a>0,aH1).

(1)求函数/(x)的定义域；

(2)判断fQ)的奇偶性，并证明；

(3)当0<a<1时，求关于x的不等式/Q)>0的解集.

20

根据“十四五”规划和2035年远景目标建议，中国将推动能源清洁低碳安全高效利用，

加快新能源、绿色环保等产业发展，促进经济社会发展全面绿色转型.淮安某光伏企业投资

144万元用于太阳能发电项目，n(n6N*)年内的总维修保养费用为(41+20切万元，该项目

每年可给公司带来100万元的收入.假设到第n年底，该项目的纯利润为/1(n).(纯利润=累计

收入-总维修保养费一投资成本)

(1)写出f5)的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利；

(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：

①年平均利润最大时，以72万元转让该项目；

②纯利润最大时，以8万元转让该项目；

你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？并说明理由.

21.已知函数/(x)=sin3%+5)+cos(a)x-2(3>0).

(1)若/Q)的最小正周期7=n,求f(x)在［0,兀］上单调递减区间；

(2)若VxeR,都有求3的最小值；

⑶若/(x)在校用上仅有一个零点，求3的取值范围.

22.已知函数/'(x)=a/+x+l(a>0).

(1)若关于％的不等式/(x)<0的解集为(—3,b),求/'(x)的零点；

(2)若函数f(a，)在％G［一1,1］的最大值是11,求实数a的值；

(3)定义：区间氏1占2］(与<&)的长度为%2-与•若在任意的长度为1的区间上，存在两点函数

值之差的绝对值不小于1,求实数a的最小值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

此题考查了交集及其运算，属于基础题.

熟练掌握交集的定义是解本题的关键，先求出集合4,再利用集合的交集运算求解.

【解答】

解：•.•集合4={xe/V|-l<x<4}={0,1,2,3},集合B={x|-2<%<3},

AClB={0,1,2},

故选：A.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了终边相同的角的概念，属于基础题.

写出与角-330。终边相同的角的集合，然后取k的值得答案.

【解答】

解：一号兀=-330°,

O

与角一330。终边相同的角的集合为A={a|a=-330°+k-360。#GZ),

取k=2,得&=390°,

.••与角-330。终边相同的角是390。.

故选：D.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了指对数值大小的比较，考查了计算能力，属于基础题.

根据0<0.7口2<<0,2°-7>1,即可得出a,b,c的大小关系.

【解答】

解：•••0<0.7°-2<0.7°=1,log20.7<log21=0,20-7>2°=1,

■■b<a<c.

故选:B.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数零点判定定理的应用，属于基础题.

令九。)=/(X)-5W.然后结合选项检验区间端点函数值的正负，利用函数的零点判定定理可求.

【解答】

解：令九(x)=/(x)-g(x)>

则九(0)=/(0)-g(0)<0,九(1)=/⑴-g(l)>0,

由题意得九(x)连续，根据函数的零点判定定理可知，h(x)在(0,1)上有零点，

所以f(x)=g(*)在(0,1)上有解.

故选：B.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了事函数的定义，考查了对数型函数过定点坐标，是基础题.

由幕函数的定义可知3m-2=1,进而求出m=l,所以g(x)=loga(x-1)+1,令x-1=1结

合logal=0即可求出结果.

【解答】

解：•.・函数/(x)=(3m-2)xm+2(meR)是基函数，

・•・3m—2=1,­••m=1,

5(x)=10ga(x-l)+l,

令x-1=1得x=2,止匕时g(2)=logal+1=1,

.•・函数g(x)的图象所过定点P的坐标是(2,1),

故选：4.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查推理的应用，注意理解“10合1检测法”的步骤，属于基础题.

根据题意，按“10合1检测法”的步骤，先将2000人按每组10人进行分组进行检测，再对结果有

阳性的4组进行检测，由此分析可得答案.

【解答】

解:根据题意,采用“10合1检测法”对2000人进行检测，

需要先将2000人按每组10人进行分组，需要分200组，即需要检测200次，

结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，需要对这4组进行第二轮检测，需要检测40

次，

则一共需要检测200+40=240次，

故选：C.

7.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值

的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，

属于基础题.

分别考虑a=0,a=-l.a=l时，/"(久)的图象与性质，依次判断即可.

【解答】

解：当a=0时，/(x)=2X,故选项A满足；

当a=l时，/(X)=2X+^,且/(0)=2,/(-%)=/(%),此时函数/(x)为偶函数，图象关于y轴

对称，故选项B满足；

当a=-1时，f(x)=2x_去,/(0)=0,且/(T)=-/(%).此时函数为奇函数，图象关于

原点对称，故选项。满足;

图象C过点（0,1）,此时a=0,故选项C不满足.

故选：ABD.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了分段函数的单调性，同时考查了对数函数的性质，属于基础题.

根据分段函数在每一段上单调递增，且在x=l处也递增，列出不等式，即可解出a的取值范围.

【解答】

解：••・函数/Q）=在定义域上是单调增函数，

a>1

a—3<1,解得1VaW4,

.0<|-a+4|

••・实数a的取值范围为（1,4],

故选：C.

9.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的周期性，考查学生的运算能力，属于中档题.

先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间（不兀）上单调性，即可选择判断.

【解答】

解：y=|sinx|最小正周期为兀，在区间&兀）上y=|sinx|=sinx单调递减；

y=cosx最小正周期为2兀，在区间&兀）上单调递减；

y=—tanx最小正周期为兀，在区间&兀）上单调递减；

y=5呜最小正周期为4兀，在区间上单调递增；

故本题选AC.

10.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的基本性质，是基础题.

根据不等式的性质判断即可.

【解答】

解：对于A：当a=2,b=l时,|<故A错误；

对于B：a>b>0,贝卜<:，故8正确；

ab

对于C：a>b>0,则小>匕5,故C正确；

对于。：a>b>0,则^

则1g竽>lg痴=等=驾段，故。正确.

故选：BCD.

11.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：命题的否定，三角函数的诱导公式，充分条件和必要条件，主要考查学生

对基础知识的理解，属于基础题.

直接利用命题的否定，三角函数的诱导公式，充分条件和必要条件的应用判断A、B、C、。的结

论.

【解答】

解：对于4命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是

奇数”，故A正确；

对于8：命题“VxeR,x2+%+1<0M的否定是0GR,x2+x+l>0",故B错误；

对于C：当"a=k;r+6,k€Z“时，"tana=tanpM成立，反之也成立，故"a=/ot+0,k€Z”

是“tana=ta*成立的充要条件；故C正确；

对于0：设a,bCR,则"a*0,6=0"时,则"ab=0",反之成立，故设a,bCR,则"a于0"

是“ab丰0”的必要不充分条件，故。正确.

故选：ACD.

12.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题主要考查由函数y=As讥(3X+租)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出4由

周期求出3,由五点法作图求出s的值，可得函数的解析式.函数y=Asin(3x+w)的图象变换规

律，三角函数的图象和性质，属于中档题.

由函数的图象的顶点坐标求出4由周期求出3,由五点法作图求出s的值，可得函数的解析式.再

根据函数y=Asin(3x+s)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，得出结论.

【解答】

解：根据函数/'(x)=4sin(3X+w)(其中4>0,3>0,|@|<兀)的部分图象，

可得4=2,“2=等一驾，二3=2.

4co312

结合五点法作图，可得2X骂+9=7T,二W屋，

•，./(x)=2sin(2x+^),

故/。一强=2sin(2x-$为非奇非偶函数，故A错误；

令％=-需，求得/(x)=0,故函数f(x)的图象关于点(一5,0)对称，故B正确；

直线y=1与图象y=/(x)(-<x<箸)的所有交点的横坐标x满足sin(2x+?)=；•

由于2x+1e(0,4兀)，故满足sin(2x+3)=郛Jx值共计有4个，

设它们分别为a、b、c、d.

则2a+*32c+好等,2d+仁手，

oo666666

故交点的横坐标之和为a+b+c+d=与，

故C正确；

把函数y=cos2x的图象向右平移步单位得到y=cos(2x-5)=sin(2x+》的图象，故。错误,

故选：BC.

13.【答案】0

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的性质及诱导公式的应用，属于基础题.

由中=］可得/'（X）=cos（7TX+1）=-sinnx,从而代入求值.

【解答】

解：,函数/（X）=C0S（7TX+"）（0＜（P＜兀）是定义在R上的奇函数，

［W=］，/（X）=COS（TTX+1）=—

•••f（2）——sin2n=0,

故答案为：0.

14.【答案】27T-2V3

【解析】

【分析】

本题考查了三角形中的几何计算，属于基础题.

由题设可得AB=BC=AC=2,求出一个扇形的面积并乘以3,减去三角形面积的2倍即可.

【解答】

解：由已知得筋=BC=AC='^,

则AB=BC=AC=2,故扇形的面积为攀

△ABC的高为2x苧=75，

莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，

.,•所求面积为3Xy-2XjX2xV3=2zr-26.

故答案为：2兀一2g.

15.【答案】2夜+3

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.

利用乘1法，再结合基本不等式求最值即可.

【解答】

11

解：v%,y>0,且y=-(+l,Ay+-=1,

111

：•2x+-=(2x+-)(y+-)

=2xy+—+3之2^2+3,

当且仅当2盯=±,即x=，+i，y=或一1时取等号，

xy2

2x+飙勺最小值是2企+3.

故答案为：2鱼+3.

16.(答案】{x|一1+kn<x<］+kn,fc6Z}

【解析】

【分析】

本题主要考查了分段函数的单调性，考查了偶函数的性质，同时考查了余弦函数和正切函数的性

质，属于中档题.

由题意可知函数在［0,+8)上单调递减，原不等式可化为/(再)<f(tanx)，再结合函数为

R上的偶函数，不等式又化为/(百)</(|tanx|)，利用函数f(x)的单调性即可求出结果.

【解答】

解：「当心。时，函数/'(")={曹?!A

，函数f(%)在［0,+8)上单调递减，

不等式/(tang)<f(tanx)可化为〃次)</(tanx),

又•••函数/(X)为定义在R上的偶函数，

.-./(%)=f(|x|),

・・.不等式可化为/(b)<r(ltanxl),

/.\tanx\<V3,:.—V3<tanx<V3»

+fc/r<x<4-fc7r(fc6Z),

即满足f(ta吟</(tan%)的％的取值范围是团一界面<x芍+k凡kEZ},

故答案为：{冗|一三+ATTV%<攵兀,々EZ}.

17.【答案】解：(l)a=1时，A={x\-x2+2x<-3]={x}x>3或x<-1]>B={x|a<x<a+

3}={x[l<x<4],

所以(CM)=[-1,3],(CR4)CB=(1,3]；

(2)若选①4nB=B,则BUZ,

所以a+3<-1或a>3,

所以a<一4或a>3,

所以a的取值范围为{a|a<-4或a>3},

若选②力UB=4,则

所以a+3<-1或a>3,

所以a<一4或a>3,

所以a的取值范围为{a|a<一4或a>3},

若选③4n8=0,则即一IWaWO,

所以a的取值范围为[—1,0].

【解析】本题主要考查了集合的交集与补集运算，还考查了集合的交并运算与集合包含关系的相

互转化，属于中档题.

(1)把a=1代入后，结合集合的补集与交集运算即可求解；

(2)根据所选条件，结合集合的交并运算与集合的包含关系的相互转化可求.

18.【答案】解：⑴近京—管）2+（口923）X（ZO534）

=8-|+log24=10-1=y；

VI—2sin40°cos40°

cos40°—V1—cos2140°

Jsin240°+cos240°—2sin40°cos40°

cos40°—Vsin2140°

|sin40°—cos40°|

cos40°—sinl40°

cos40°—sin40°

cos40°—sin40°

=1.

【解析】本题考查了寻运算及对数运算性质、同角三角函数关系式、诱导公式等，属于基础题.

(1)由幕运算及对数运算性质化简箱串=8，=log23xlog34=log24=2,整理即可;

(2)由同角三角函数关系式及诱导公式化简即可.

19.【答案】解:(1)根据题意/(x)=loga(2+3x)-loga(2-3x),

则有｛注重;，解可得号<x<|，

即函数的定义域为｛x|-"X<|｝;

(2)根据题意，f(x)为奇函数，

证明如下：函数的定义域为日|-|<X<刍，关于原点对称，

f(r)=loga(2-3x)-loga(2+3x)=

则函数/(x)为奇函数，

(3)/(x)>0BPloga(2+3x)>loga(2-3x),

又0<a<l,则函数y=logaX为减函数，

则有0<2+3xW2—3x,解得一|<x<0,

即/(%)>0的解集为｛x|-：<x40｝.

【解析】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的定义域的计算以及单调性、奇偶性的应用，属

于基础题.

(1)根据题意，由函数的解析式可得解可得x的取值范围，即可得答案；

(2)根据题意，先分析函数的定义域，又由函数解析式可得/(-%)=-/(乃，即可得结论，

(3)根据题意，原不等式等价于loga(2+3%)>loga(2-3x),结合对数函数的单调性可得0<2+

3x<2-3x,解可得答案.

20.【答案】解:⑴由题意可知f(7i)=IOOTI—(4川+20n)—144=-4n2+80n-144(“为正整

数)，

令/⑺>0得-4污+80n-144>0,

解得2<n<18,

所以从第3年起开始盈利.

(2)若选择方案①，设年平均利润为g(n),

则g(n)=苧=80-4(n+彳)

<80-4X2n--=32)

7n

当且仅当71=①即？1=6时，等号成立，

n

所以当n=6时，g(n)取得最大值32,

此时共盈利为32x6+72=264(万元)；

若选择方案②，纯利润/(n)=-4n2+80n-144=-4(n-10)2+256,

所以当n=10时，纯利润取得最大值256,

此时共盈利为256+8=264(万元)，

若该公司6年后投资其他项目，确定盈利则选择方案①，

若该公司6年后投资其他项目，确定亏损则选择方案②，

事实上，投资任何一个项目都有风险，并不一定年限少，盈利就多，就更有利于公司的发展.

【解析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，以及基本不等式的应用，属

于中档题.

(1)由纯利润=累计收入一总维修保养费一投资成本可得/(n)=-4n2+80n-144,令/(n)>0求

出n的取值范围，即可得到第3年起开始盈利.

(2)若选择方案①，设年平均利润为g(n),则g(n)=44=80-4(n+f),利用基本不等式可求

出g(n)的最大值，以及此时的总盈利，若选择方案②，利用二次函数的性质可求出〃n)的最大值，

以及此时的总盈利，再做比较即可.

21.【答案】解：(l)/(x)=sin(3x+g)+cos(5-5)=2s讥(3X+J

m27rc

vT=—=TT,A0)=2,

3

・•・/(x)=2sin(2x+'

令］+2/CTT<2x+—<+2kli(k6Z),

解得:+及汽式工工工+kn(kGZ),

又txe[0,n],

•••/(乃在［0,机上单调递减区间为哈，每

(2)：对"“€/?,都有/(久)〈/(今，

fWmax=/©)=2,

•••三3+9=1+2k兀(卜CZ),

解得3=：+6k(k6Z))

又••,3〉0,二3的最小值为:；

(3)「X€除兀］,3X+g€［等+g,37T+§,

由题意知，

(k—l)7r<g(上兀(3兀+微<(1+1)兀(忆eZ))

即2/c~l<a)<2k~|且k-1<to<k+|(/cGZ),

故k(与，故k=1,2或3；

分别代入得'<CO<p|<(i)<|>

O