2022-2023高一第一学期数学期末试卷带答案

2022-2023学年度第一学期高一年级数学期末考试卷

考试时间：120分钟试卷满分：150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.测试范围：人教A版2019必修第一册。

一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合要求的。

1.设集合4={x|x40},8={xeZ||x|42},则9A）CB（）

A.{-2,—1,0}B.—C.{1,2}D.{0,1,2}

2.已知扇形面积为8,扇形的圆心角为2阳4,扇形的周长为（）

A.80B.472C.8D.2

3.下列说法不正确的是（）

A.若“P且牙，为假，则至少有一个是假命题.

B.命题“小•€凡/7-1<0”的否定是““€凡--120”.

C.设48是两个集合，则“A£B”是“AHB=A”的充分不必要条件.

D.当a<0时筹函数^=./在（0,”）上单调递减.

4.若函数>=。2-+3且的图象恒过定点A,且点A在角。的终边上，则

喉-）（）

A2逐y[5八2一

A.亚Dt>.rV•D•

5555

5.2021年12月，考古工作者又公布了关于北京建城的一件重要文字证据。这次在琉

璃河遗址新发现的铭文，不仅是A国建城最早的文字证据，更是北京建城最早的文字

证据.考古学家对现场文物样本进行碳14年代学检测，检验出碳14的残留量约为初始

量的69%.已知被测物中碳14的质量区随时间f（单位：年）的衰变规律满足

M=Mu-2^（M。表示碳14原有的质量），据此推测该遗址属于以下哪个时期（参考

数据：log20.69»-0.535）（）

前1046前770前20622061890712791368

IIIIIlli

西周东周两汉唐元

A.西周B.两汉C.唐朝D.元朝

6.二次函数歹=。^+2"的图象顶点横坐标的取值范围为（-2,-1）,则y=-1

的图象大致为（）

试卷第1页，共5页

7'函数/⑴九|2si2n7LD¥（0<x<1）'若_…互不相等，且/八⑷—八c、，则

a+6+c的取值范围是()

A.(1,100)B.(1,11)C.(2,101)D.[2,11]

8.已知函数〃x）=sin（wx+e）（w>0,帆<刍的最小正周期为"，其图象关于直线x=£

26

对称.给出下面四个结论：①将/（X）的图象向右平移彳个单位长度后得到函数图象关

于原点对称；②点哈,0）为了（X）图象的一个对称中心；③吗）=；；④/（X）在区间

［0,刍上单调递增.其中正确的结论为（）

6

A.①②B.②③C.②④D.①④

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.要得到函数P=sin（2x+：）到的图象，只需将函数y=sinx的图象（）

A.向左平移;单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的;

42

B.向右平移［单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的*

O幺

C.每个点的横坐标缩短为原来的9,再向右平移?单位长度

D.每个点的横坐标缩短为原来的：，再向左平移［单位长度

28

10.下列命题为真命题的是（）

试卷第2页，共5页

A.若a>b>0,贝Ijac?B.若。<。<0,贝

ab

C.若a<b<0,贝Ijq2<a6<b2D.若。>。>6〉0,则〃><

c-ac-b

11.计算下列各式的值，其结果为1的有()

A.cos40;+6tanl0")______

2cos80°sin80°

c

C.sinl40(^-tanl90°)D.4sin18-8^54°

12.设函数y=/a)是定义在火上的偶函数，对任意有儿:+6)=兀0+{3)成立，

且人-2)=-1,当X/,x2e［0,3］且X用X2时，有/(6"々)>0,下列命题正确的是

X|一X2

()

A./(2024)=-1B.人3)=0

C.y=/(x)在［-9,一6］上是增函数D.函数在［-9,9］上有4个零点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.募函数/(x)=(加2-3w-3)x"j"'在(。，”)上单调递减，则机=.

14.若2cos(5-e)=cos(兀+9),则2cos20+sin2。=.

15.函数/(x)=Nsin3x+。)(N>0,0>0,|。［<］)的部分图象如图所示，若将/(x)图

7T

象上的所有点向右平移;个单位得到函数g(x)的图象，则函数g(X)=

4------

16.关于x的方程卜2_1)2_尸-1|+4=0,给出下列四个命题:

①不存在实数%,使得方程恰有2个不同的实根;

②存在实数3使得方程恰有4个不同的实根;

③不存在实数左，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数底使得方程恰有8个不同的实根；

其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号)

四、解答题：本题共6小题，共70分

试卷第3页，共5页

17.(1)计算：4"g”+log|8-尼后+怆25-1《3)-In/J

3-3

(2)已知/+/_3,求」+'+；的值.

a+a—a+a-'-2

18.如图，在平面直角坐标系xQy中，角a、/?(ovav^c?的终边分别与单位圆交

于点力(网,必)、8(%,力)两点，且点A在直线2x-y=0上，%=吟.

(1)求sin(a+/?)的值；

(2)求2a-/的值._

19.已知〃x)=(m

⑴判断函数/(x)的奇偶性，并加以证明；

(2)证明函数/(x)在［0,2)上为单调递减函数.

(3)对于/(X),xe(-l,l),求/(1+m)+/(2机+1)<0,实数机的取值范围.

20.北京2022冬奥会已于2月4日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的

周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追

捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内(以30天计)的销售情况进行调查发现：

冰墩墩的日销售单价尸(x)(元/套)与时间x(被调查的一个月内的第x天)的函数关

k

系近似满足尸(X)=2000+(常数左>0),冰墩墩的日销量0(x)(套)与时间X的

部分数据如表所示:

X381524

(套)12131415

已知第24天该商品日销售收入为32400元，现有以下三种函数模型供选择：

①0(x)=W+6,②0(x)=p(x-16)2+q,③。(x)=〃Wx+1+〃

(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；

(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入/(x)(14x430,xeN+)在哪天达

到最低.

试卷第4页，共5页

21.已知函数■-2cos2资+1,0<cy<4,且/=

⑴求口的值及函数〃x)的单调递增区间；

■jr

⑵求函数/(X)在区间0,-的最小值和最大值.

22.我们知道,指数函数/(x)=a*(a>0,且"1)与对数函数g(x)=log,x(a>0,

且“*1)互为反函数.已知函数/卜)=2,,其反函数为g(x).

⑴求函数F(x)=[g(x)了-2fg(x)+3,xe[2,8]的最小值；

⑵对于函数9(x),若定义域内存在实数%,满足9(-%)=-9宙)，则称s(x)为乜函

数”.已知函数人(力=[[/(”]一；“"「，、”-1，为其定义域上的乜函数,,,求实数%的

取值范围.

试卷第5页，共5页

参考答案：

1.C

【分析】先根据集合补集的定义求出a/，再解绝对值不等式得到集合8,最后求（金/）c8

即可.

【详解】•.・集合4={x|xV0},%4={x|x>0},

又因为8={xeZ||x|42}={-2,-l,0,l,2},

所以（6M）CB={1,2}.

故选：C.

【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的

集合化为最简形式，再进行集合的基本运算，属于基础题.

2.A

【分析】设扇形的半径为〃弧长为/,利用扇形的弧长和面积公式，求得r=2五，则可求

出扇形的周长.

【详解】解：设扇形的半径为厂，弧长为/,

已知扇形的圆心角为2rad,则/=2r,

扇形面积S=—lr=-x2r-r=8=>r=2五,

22

所以扇形的周长C=/+2r=4r=4x2-\/2=8^2>

故选：A.

3.C

【分析】对于A中，根据复合命题的真假判定方法，可判定为真命题；对于B中，根据全

称命题的否定，可得是正确的；对于C中，根据充要条件的判定可得应为充要条件，所以

不正确；对于D中，根据基函数的性质，可得是正确的，即可得到答案.

【详解】对于A中，根据复合命题的真假判定方法，可知若"P且4’为假，则至少有一

个是假命题，故A正确；

对于B中，根据全称命题的否定，可得命题TxeR,W-的否定是

t2）,

*Vxe/?,x-x-l>0）故B正确；

对于C中，设48是两个集合，则“工=5”是“工仆8=4”的充要条件，故C不正确;

对于D中，根据基函数的性质，可知当。<0时，哥函数/在(0,+8)上单调递减是正确

的，故D正确.

故选：C.

4.C

【分析】求出点A的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得sin(年-夕)的值.

【详解】当2x+4=0,即x=-2时，y=4,所以/(一2,4),

所以cos*=一9，由诱导公式可得sin(与-6)=-cos6=夸.

故选：C.

5.A

【分析】由题意知MO.2.忐=0.69M°，利用指对互化求解，的值.

【详解】由题意知A/。.2一两=0.69历0，所以-0.69^-0.535,故

0.535x5730^3066,距今时间大约为2021—3066=—1045，故推测该遗址属于西周时期.

故选：A.

6.C

【分析】根据二次函数夕=以2+2^的图象顶点横坐标的取值范围为求得夕的范

a

围，从而可得1-1的范围，从而得出函数-1的单调性，再根据函数所过的定点

即可得出答案.

【详解】解：因为二次函数y=ox2+2fe的图象顶点横坐标的取值范围为(-2,-1),

所以B|]1e(1,2),所以：0<1-1<1,

则函数y=是减函数，

又函数y=的图像是由函数y=(g-lj的图像向下平移一个单位得到的,

故函数了=(2-1丫-1是减函数且过原点.

a

故选：c.

7.C

【分析】先利用三角函数、对数函数的图像和性质，画出函数/(x)的图像，再利用图像数形

结合即可发现。、b,。间的关系和范围，最后求得所求范围.

【详解】函数/(X)的图像如图所示：

0<lgc<2,1<c<100

2<a+/?+c<101.

故选：C.

8.C

【解析】根据题设条件，结合三角函数的性质，求得函数的解析式/(x)=sin(2x+B)，再结

6

合三角函数的图象变换和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】因为函数/(x)=sin(wx+>)的最小正周期为万，其图象关于直线x=3对称,

6

24

——=TCw=2

W

所以解得

兀71„(p=?+k7t,kwZ

—w+°=—eZ

,62

因为所以夕=£,因此/(x)=sin(2x+m),

266

①将〃x)=sin(2x+£)的图象向右平移£个单位长度后函数解析式为/(x)=sin(2x-J),

666

由2x-F=1U,keZ,得+”,keZ,所以其对称中心为：(二+竺,0),左eZ,故①

6122122

错；

②由2x+£=A;r,A€Z,解得、=_=+”，即函数/(x)的对称中心为(一方+”,0),左ez；

6122122

令-则左=1,故②正确;

③由/'(?)=si"仔+~)=cos.,故③错；

(4)由---F2kTVK2.xH—W—F2%肛keZ,----1-k7t<x<—+k/r,kwZ,

26236

即函数/(x)的增区间为［-4+攵肛9+何，丘2,因此/(x)在区间［0百上单调递增，故

366

④正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图

象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

9.AD

【分析】根据图象的两种变换方式即可求解;先平移再伸缩可判断A,B,先伸缩再平移可判断

C,D.

【详解】方式一：(先平移再伸缩)；将"$1口先向左平移;单位长度得到^=5皿卜+：),

然后将y=sin［x+图像上每个点的横坐标缩短为原来的g,纵坐标保持不变得到

y=sin(2x+£),故A对，

方式二：(先伸缩再平移)；将〉=$也¥图像上每个点的横坐标缩短为原来的纵坐标保持

不变得到〉=$吊2肛再将y=sin2x向左平移1单位长度得到y=sin(2x+：),故D对，

故选：AD

10.BD

【解析】分析c=0的情况并判断A选项；根据作差法判断B选项；再根据不等式的性质分

析CD选项，由此判断出真命题.

【详解】A.当c=0时,ac2=bc2,故错误;

B.因为，-)=/,且6-。>0,融>0,所以，-5>0,所以工>：,故正确；

anababab

C.因为a<6<0,所以也,所以/</</,故错误；

D.因为c>a>6>0,所以c-a>0,c-6>0,X—==--1,

aabbab

cc-ac-h匚u”ab"十会

所以0<----<一■—,所以---->，故正确，

abc-ac-b

故选：BD.

【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法:

(1)作差法：作差与0作比较：

(2)作商法：作商与1作比较(注意正负)；

(3)函数单调性法：根据函数单调性比较大小；

(4)中间值法：取中间值进行大小比较.

11.ACD

【分析】由商数关系、诱导公式、和差角公式及倍角公式依次化简求值即可求解.

,TisinlO。)coslO^^3sinlO°

【详解】对于A,cos401+V3tanlO=cos40Id--------=cos40---------------

\7cos10"cos100

=cos4（y）串①+⑹=2sin4（rcos4（r=包纹二sin（9。1。。）=竺"八人正确；

cos10°cos10°cos10°cos100cos10

J_1_6]_」sin80-/os8012sin（80--60°）=2sin20°_2

B'2cos80-sin80°J2sin80°cos801sin1600sin（180°-20°）

B错误：

LT一八。/rsc。、.i“八。（rsin190°.一八。6cos190,-sin190°

对于C,sin140（v3-tan190）=sinl40心--------=sinl40•-------------------

\1（cos190）cos1900

=sin140==侬+皿）=sm⑷。.2。。《36。14。）岁in14。cos14。

cos190cos190cos190

=则迎=回"包=空幽=1，C正确；

cos190°cos1900cos190°

对于D,4sinl8.sin54°=4sin(90-72).§^90-36)=4©s72-c(s36

4cos72°cos36"sin36_2cos72•sin72°sin144sin(180-36)=sin360土D正确

sin36sin360sin360sin36°sin36

故选：ACD.

12.ABD

【分析】根据函数为偶函数得/(-3)=人3),人工+6)=火0+火3)赋值得到次3)=0可判断B正

确；由以上判断可得/a+6)=/(x)+/(3)=/(R),即/(x+6)=/(x),进而得到A正确；根据题

意得到函数在［0,3］上为增函数，由周期性得到函数在［—6,—3］上是增函数，再由对称性

得到函数在［-9,一6］上是减函数，C错误；通过赋值法以及结合函数的周期性得到函数零

点个数为4个，D正确.

【详解】由函数y=/(x)为偶函数可得，4-3)=/(3),

因为7(x+6)=/(x)+y(3),令x=-3可得"3)=7(-3)+{3)=〃(3),所以H3)=0,B正确；

所以人工+6)=兀0+43)=兀0,即负x+6)=Hx),所以加)为周期为6的函数，

又火—2)=-1,所以寅2024)=火337乂6+2)=/(2)=/(—2)=-1,A正确；

由打，x2e［0,3］且x#X2时，有‘(演)一/02)>o,可知函数在［0,3］上为增函数，

Xl~X2

由周期性得到函数在［—6,—3］上是增函数，又x=-6为对称轴，

则函数在［—9,一6］上是减函数，C错误；

因为{3)=0,所以人-3)=0,次9)=<6+3)=0,八-9)=火9)=0,

结合函数的周期为6及函数的增减性可得方程外)=0在［-9,9］上仅有4个根，D正确.

故选：ABD.

13.4

【分析】根据题意可得小-3加-3=1且/-5加<0,从而可求出，〃的值.

【详解】因为‘幕函数〃x)=(加在(0,+8)上单调递减，

所以加之一3m-3=1且m2—5ni<0，

由m2一3加一3=1,得防2_3加_4=0,(加+1)(加-4)=0,

解得加=-1或〃7=4,

当加=-1时，不满足〃7?-5加<0,所以加=-1舍去，

当加=4时，满足m2-5m<0，

综上，加=4,

故答案为：4

4

14.-##0.8

5

【分析】根据诱导公式化简原式可得tan®=-!,再将2cos29+sin2。转化为主竺也也

21

展开化简即可求出答案.

【详解】根据诱导公式cos(、-“=sine,cos(兀+®)=-cos。

贝！］2sin6=-cos0=>tan0=--

_)八.__2cos2e+2sin9cos62+2tan0

2cos*+sin20=--------：----------：-------=-；------=

sin~e+cos~0tan-6+1

4

故答案为：—

15.sin(2x-

6

【分析】根据函数图象求得A和最小正周期，继而求得。，利用点q,o)带入解析式求得

9=5,即得函数解析式，根据三角函数图象的平移变换可得答案.

771712,71

【详解】由函数/(x)="sin(0x+9)图象可知/=1,7=4(-----)=兀,二。=—­=2,

12371

将(1,0)代入函数解析式/(x)=sin(2x+9)得si吟+火)=0,

则^+*=2阮+兀,「.8="兀+；.左£2,由于所以/=三，

7T

即/(x)=sin(2r+y),

将/(X)图象上的所有点向右平移f个单位得到函数g(x)的图象，

4

则g(x)=sin［2(x-今+与=sin⑵-，),

436

故答案为：sin(2x-/)

16.②④

【分析】将方程左=0,转化为卜2_1)2_卜2T卜也令f-m,转

2

化函数了=，与1y=一左的交点情况，分％=o,-左＞o,_k=_；,讨论求解.

［详解］方程卜2_1『_产_1|+左=0,可化为，_1)2_卜2T=_人

令则y=»-H，y=-k,在同一坐标系中，作出其图象，如图所示:

当左=0时,交点的横坐标为-1,0,1,且7,0,1在，的值域［T,+8)中,

x2-l=-l,x2-l=0,x2-1=1,解得x=O,x=±l,x=±V^,

故方程恰有5个不同的实根；

当左<0,即-k>0时，图象有两个不同的交点，设交点的横坐标为％山，且％>1/<T，

令”/一1,解得X=±M；,故方程恰有2个不同的实根;

当*=即-%=-；时，图象有两个不同的交点，设交点的横坐标为他，且3（-1，0）,心（0，1）,

令G="2-1,令i=工2_],解得X=±J1+q,X=珀十%，

故方程恰有4个不同的实根；

当0<A<!，即-!<"<（）时，图象有四个不同的交点，设交点的横坐标为44山,4，

44

且€（-1，。），，7,4€（°」），

222

令G=丁T,z6=x-1,/7=x-1,=x-1,

解得X=土J1+4,X=±^1+t6,X=士J1+W/=±J1+&

故方程恰有8个不同的实根；

故答案为：②④

17.（1）—（2）65

2

【分析】（1）根据指、对数的运算整理求解；（2）根据之间的平方关系运算

求解.

【详解】（1）原式=22够3一10828+也个+电25-炫8-山©2

（16）

XZ3?[Q11

=9—3+1g------=6+1g10——=6+1——=—；

82222

\/

,,（1.1?,、2

（2）因为.+々一5=3'则。+。|=ci2+a2—2=7,=2=47,

-,22

a3+a~3+3(a+a)(a+a--l)+3

所以=65•

a+a~]-2a+a]-2

⑻⑴噜;⑵7-

【解析】（1）列方程组解出A点坐标，可得sina,cosa；利用B点在圆上，可得sin夕，cos夕；

(2)由sina=2叵〉且得出a的范围，求出cos(2a-0,结合2a一夕的范围求值即可.

52

2x,-y.=0TI

【详解】(1)根据题意可得22,'因为o<a<j所以

x；+y：=l22月

所以sina=，cosa=—

55

=1,o<^<|,所以X2=\，

因为x；+£=x；+

所以sinP=^^,cosP=.

.,a、2也近亚1近9V10

v751051050

(2)因为sina=2^>①且0<a<E，所以;<a<?，所以。<2。-£<兀.

52242

22

_3

又sin2a=2x---x—=一，cos2a

555~5

g、i/c0、(3、叵4m6

所以cos(2a-£)=——x——十—x二——'所以

'M5j105102

19.(l)〃x)为奇函数，理由见解析

(2)证明见解析

⑶卜副

【分析】(1)由函数的奇偶性定义进行判断，并证明；

(2)利用函数单调性定义进行证明；

(3)根据(1)(2)问得到“X)在xe(-l,l)上单调递减，从而列出不等式组，求出结果.

【详解】(1)/(x)为奇函数，理由如下：

八外=出-出定义域为R,且/(-x)=(f(X),

所以/(x)为奇函数；

(2)任取再,々e[0,2),且再＜、2,

则/（王）-/口2）=

因为再<》2，所以2*2-2*1>0,5M+1>0,

故/（再）-/（&）>0,/（再）>/（々），

故函数/（X）在［0,2）上为单调递减函数；

（3）因为/（x）为奇函数，且函数/（x）在［0,2）上为单调递减函数，

所以/（x）在xe（-l,l）上单调递减，

由/（1+巾）+/（2加+1）<0变形为++=

-1<1+〃？<1

2

故《一1<一2加一1<1,解得：—</w<0,

，「，3

1+〃？>-2m-1

所以实数m的取值范围是.

20.（1）模型③最合适，理由见解析；

（2）第3天达到最低.

【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幕函数型三

种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型；

（2）由表中数据和第24天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的。（力模型和P（x）中

的参数，代入〃x）=P（x）Q（x）,化简后使用基本不等式求解.

【详解】（1）模型③最合适，理由如下：

对于模型①0（x）=〃'+6,为指数型函数模型，表格中。（x）对应的数据递增的速度较慢，

故模型①不合适；

对于模型②0（x）=p（x-16>+q,为二次函数模型，其图象关于直线x=16对称，有

。⑻=0（24）,与表中数据不符，故模型②不合适;

对于模型③。（x）=〃?4TT+〃，基函数型增长模型满足表格中。（x）对应数据较慢的递增速

度，将表中数据（3,12）,（8,13）代入模型③，有

。⑶=你/3+1+〃=1212加+"=12z/q（m=I

Q（8）=my/8+1+n=13+n=13'解得=

0（x）=V7+T+io,

经验证。（15）=庐口'+10=14,。（24）=百斤+10=15均满足表中数据，

因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.

（2）•.•第24天冰墩墩的日销售单价尸（24）=尸（x）=2000+乃|==2000+1（元/套）,

.•.第24天的日销售收入为P（24）XO（24）=（2000+£|X15=32400（元），

.X800,

/.P（X）=2OOO+-^22=）

y/X+1

由⑴所选模型③，当14x430且xeN+时，

/'（%）=P（x）2（x）=[^2000+-^=J>/x+T+10）

=20800+2000y/x+1H—,-----

Jx+1

>20800+2j200077+T-^22=

=20800+2x4000

=28800（元）

当且仅当2000G[=挈"，即x=3时，等号成立，

在第3天时，该商品的日销售收入/（x）达到最低28800元.

-「兀，兀,1,

21.（1）69=2,——4-ATC,—+Zrn,kwZ

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⑵最小值一1;最大值2.

【分析】⑴利用二倍角公式化简可得〃x）=2sin