2022-2023学年北京市东城区高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市东城区高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1.已知向量。=（8,-2,1）,1=（T,1,k）,且环区，那么实数司的值为（）

A.-B.--C.—2D.2

【答案】B

【分析】根据平行关系可知5=须，由向量坐标运算可构造方程求得结果.

-4=82

【详解】•/allb.-.b=2a（AeR）,<1=-22,解得：k=--.

k=A2

故选：B.

2.已知直线x-y-百=0的倾斜角为（）度

A.45B.135C.60D.90

【答案】A

【分析】根据给定的直线方程，求出其斜率，再求出倾斜角作答.

【详解】直线》-丫-右=（）的斜率为1,所以直线x-y-G=0的倾斜角为45度.

故选:A

3.抛物线丁=-2*的准线方程是（）

A.y=-B.y=-1C.x=-D.x=l

22

【答案】C

【分析】根据抛物线方程可直接求得结果.

【详解】由抛物线方程可知其准线方程为：%=

42

故选：C.

4.2021年9月170,北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”（英

一文为：“TogetherforaSharedFuture"）,这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美

好期待一起向未来'’的英文表达是：“Togetherft）raSharedFuture'',其字母出现频数统计如下表：

字母togehrfasdu

频数32142422112

合计频数为24,那么字母“e”出现的频率是（）A.；B.|C.卷D.：

【答案】B

【分析】用字母出现的频数除以总数就是所求频率.

【详解】由图中表格可知，字母“e”出现的频数为4,合计总频数为24,所以字母“e”出现的频率为

41

24^6'

故选：B

5.设5“为数列｛4｝的前八项和，已知q=3,S向=S.+2",那么四=（）

A.4B.5C.7D.9

【答案】A

【分析】由%=Sj-$2可直接求得结果.

2

【详解】由S“H=S“+2”得:S„+,-S„=2",-.a3=S3-S2=2=4.

故选：A.

6.已知在长方体ABCD-AMGA中，AB=AD=1,AA,=2,那么直线AC与平面AAR。所成角的

正弦值为（）

A.—B.—C.立D.在

6633

【答案】A

【分析】由长方体性质易知NCA。为AC与面所成的角，进而求其正弦值即可.

【详解】根据长方体性质知1：8,面4A

故NCAQ为A。与面4ARD所成的角,

AA^=2,AB=AD=1=>CA^=vl2+12+22=R,

CD限

所以sinNC4,O=

故选：A

马________C,

A

7.如图，点。是正方形ABC。两条对角线的交点.从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么

这两个点关于点。对称的概率为()

A.-

5

【答案】C

【分析】先求出事件的基本总数，再求出满足条件的基本事件数，利用古典概型计算即可.

【详解】从四个顶点选两个的情况数为：C：=6,

选的两个点关于中心。对称的情况有：AC与两种,

21

所以所求概率为：/>=-=-,

63

故选：C.

8.圆心为半径/*=3的圆的标准方程为()

A.(x-l)2+(y+2)2=9B.(x+1)2+(y-2)2=9

C.(X-1)2+(J；+2)2=3D.(x+l)2+(y-2)2=3

【答案】B

【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.

【详解】根据题意，圆心为(-1,2),半径/'=3

圆的标准方程为(x+l)2+(y-2)2=9；

故选:B.

9.已知正四棱锥P-ABCZ)的高为4,棱的长为2,点H为侧棱PC上一动点，那么面积

的最小值为()

“B.4C.fD.半

【答案】D

【分析】根据正四棱锥的性质得到平面A8CD，OH±BD,然后根据PO=4,0C=应，得

到。”的范围，最后根据三角形面积公式求面积的最小值即可.

取3。中点。，连接CW、PO、0C,

因为四棱锥P-MCD为正四棱锥，所以P01平面ABC。，DH=BH,

因为。为3。中点，所以Q”J_8Q,

因为OCu平面ABC。，所以PO_LOC,

因为43=2,PO=4,所以80=20，0C=6,

4XJ24

在直角三角形POC中，当。HJ_PC时，最小，为I,=*,当点〃和点户重合时，OH最大,

V42+23

*4'

最大为4,所以。“€亍4,

S.HBD=gx2&0H=50H，所以当0H=：时，的面积最小，为逑・

故选：D.

10.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为X,第二次得到的点数记为那么

事件“2"”16”的概率为（）

A.—B.—C.-D.—

93663

【答案】C

【分析】由已知先列举出事件总数，然后解出不等式，找出满足条件的事件数，结合古典概率计算

即可.

【详解】由题意第一次得到的点数记为X,第二次得到的点数记为y,

记为（x,y）,则它的所有可能情况为：

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3⑵,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3.6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）

共36种，

由2"”16,即2"，424，由y=2”在R单调递增,

所以x+y44,所以满足条件的（x,y）有：

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3』）共6种，

所以事件“2中416”的概率为：尸=二=:，

366

故选：C.

11.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波''抢在"地震波''之前发出避

险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次

地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支

上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和8站相距

10km.根据它们收到的信息，可知震中到5站与震中到A站的距离之差为6km.据此可以判断，震中

到地震台B站的距离至少为（）

A.8kmB.6kmC.4kmD.2km

【答案】A

【分析】设震中为尸，根据双曲线的定义以及1pAi+|P8121A8|=10可求出结果.

【详解】设震中为尸，依题意有I尸例-|PA|=6<|A8|=10,所以点尸的轨迹是以A8为焦点的双曲

线靠近A的一支，

因为1PAi+|PB以48|=10,当且仅当A,P,8三点共线时，取等号，

所以|「8|-6+|总日0,所以|尸3但8,

所以震中到地震台8站的距离至少为8km.

故选：A

12.对于数列｛4｝,若存在正数使得对一切正整数“，都有同则称数列｛叫是有界的.

若这样的正数〃不存在，则称数列｛5｝是无界的.记数列｛q｝的前"项和为S"，下列结论正确的是

()

A.若4=：，则数列｛凡｝是无界的B.若q,="sin〃，则数列是有界的

C.若《,=(-1)",则数列｛S,,｝是有界的D.若。“=2+，，则数列｛S,,｝是有界的

【答案】C

【分析】根据|。“区1可知A错误；由|?|=〃卜布“|可知|%|不存在最大值，即数列｛4｝无界；分别在"

为偶数和〃为奇数的情况下得到5.，由此可确定知C正确；采用放缩法可求得

S〃+由可知D错误.

I2〃+1)2几+1|_3)

【详解】对于A,••・同=4=541恒成立，.・・存在正数M=l,使得㈤4M恒成立，

二数列｛4｝是有界的，A错误；

对于B,|a,J=|〃sin〃|=Hsin〃|,

•.­|sinn|<l,：.\a„\<n,即随着〃的增大，不存在正数”,使得同4M恒成立，

二数列｛%｝是无界的，B错误；

对于C,当〃为偶数时，5„=0;当"为奇数时，5„=-1;

••・存在正数M=l,使得恒成立，

二数列｛S,,｝是有界的，C正确；

144_(11)

对于D，/=彳4(21)(2〃+1)=4〔罚一罚二

cc1111"/111111

〃2232n2(3352n-l2n+lJ

c/1「8〃(2八

=2〃+41------=2〃+------=2n-------+2；

I2H+1J2〃+lI2〃+lJ

22「1、

-.-y=x------在(0,+8)上单调递增，^—-e-,+<»,

2x+l2n+\[_3)

不存在正数M,使得恒成立，，数列｛S.｝是无界的，D错误.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列

中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界.

二、填空题

13.已知空间向量£=。,-1,0),S=(/n,l,-l),则实数m=

【答案】1

【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为2，人

所以4名=0=〃7—1=0=〃7=1>

故答案为：1

14.在等差数列｛%｝中，q=2,at=a2+6,则为=.

【答案】3〃-l,(〃eN*)

【分析】利用已知条件求出公差，利用等差数列通项公式求解即可.

【详解】设等差数列的公差为d,

由4=2,a4=a2+6,

所以4+3d=q+d+6=>d=3,

所以4=6+(〃-l)d=2+(〃-1)x3=3〃-1,(〃£N*),

故答案为：3〃-l,(〃eN)

15.两条直线4：3x-4y-2=0与/2：3x-4y+8=0之间的£巨离是.

【答案】2

【分析】根据平行直线间距离公式可直接求得结果.

8+2

34之间的距离d==2

【详解】由平行直线间距离公式可得:EH

故答案为：2.

16.试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=±2x的双曲线方程.

【答案】V-片=1（或其它以丫=±2了为渐近线的双曲线方程）

4

【分析】根据题意写出一个即可.

【详解】中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=±2x的双曲线方程为/一片=%（a工0）

故答案为：/-=1（或其它以），=±2%为渐近线的双曲线方程）

4

17.已知点P是曲线o?+勿2=1（其中〃，人为常数）上的一点，设M,N是直线丁=%上任意两个

不同的点，且|MV|=1.则下列结论正确的是.

①当而>0时，方程0^+刀2=1表示椭圆；

②当4人<（）时，方程欠2+勿2=1表示双曲线；

③当〃=L，b=。,且Z=4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有6个；

24o

④当。=1,6=。，且0<f<4时，使得△肱VP是等腰直角三角形的点尸有8个.

24o

【答案】②③④

【分析】对①②，根据方程以,+"2=1表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断；

对③④，求出点。到直线y=x的距离d的取值范围，对点p是否为直角顶点进行分类讨论，确定力

，的等量关系，综合可得出结论.

【详解】方程a?+勿2=1中当a=b>0时可表示圆，当必<0时，取。+勿？表示双曲线，故①错

误，②正确；

在③④中：椭圆方程为《+?=1,椭圆与直线/均关于原点对称，

248

设点?（2"cos。,2夜sin。），则点P到直线/的距离为

d=l2—cos9/0sin6]=------1_jJ.=4sin,一勺w[0,4].

72V2I3)1J

对③：f=4时，

(1)若尸为直角顶点，如图1,则|MNbf=4,d=2&<4,满足△MVP为等腰直角三角形的点P有

四个,

(2)若「不是直角顶点，如图2,则|MN|=/=4,4=4,满足APMN是等腰直角三角形的非直角顶点

故f=4时，使得△MVP是等腰直角三角形的点P有6个，③正确；

对④：0<fv4时，

(1)若尸为直角顶点，如图1,则〃=%<4,满足&WNP为等腰直角三角形的点P有四个..

(2)若P不是直角顶点，如图3,则J=/<4,满足△M2VP是等腰直角三角形的非直角顶点尸

故0<f<4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点尸有8个，④正确；

故答案为：②③④.

【点睛】椭圆的参数方程是x=“cos6,y=bsin。，对于有关椭圆上点的横纵坐标问题的题目可以转

化为三角函数问题求解，比如求z=2x+3y的最大值，求点到直线的距离范围等问题都可以使用椭

圆的参数方程来解决.

三、双空题

18.某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答.假设在

5道备选题中，甲答对每道题的概率都是：，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题

的概率为:若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为

【答案】||

【分析】(1)甲能够答对X道题目，则乂~8(3,\),根据二项分布的概率即可进一步求解；

(2)设乙能够答对丫道题目，根据超几何分布即可求出答案.

【详解】解设甲能够答对X道题目，X~8(3,1),

所以唳=2)=4

解设乙能够答对y道题目,

则pa=2)=等=|.

43

故答案为：—；—.

四、解答题

19.某超市有A,B,C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如下表所示,

且两人选择哪个收银台相互独立.

收银台

A收银台B收银台C收银台

顾客

甲a0.20.4

乙0.3h0.3

⑴求a,力的值;

(2)求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率;

(3)求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率.

【答案】(l)a=0.4,6=0.4

⑵0.12

⑶0.58

【分析】(1)根据甲在三个收银台结账的概率和为1求a值，同理求匕的值；

(2)“甲选择C收银台”与“乙选择C收银台”是相互独立事件，利用独立事件的概率公式求解；

(3)利用对立事件求解.

【详解】(1)由表可知,甲选择A收银台的概率为。=1-().2-().4=().4,

乙选择B收银台的概率为6=1-0.3-0.3=04

(2)设事件A为“甲选择C收银台”，事件B为“乙选择C收银台“，事件C为“甲，乙两人在结账时都选择

C收银台”.

根据题意,P(A)=0.4,P(B)=0.3，事件A,B相互独立.

所以P(C)=P(AB)=0.4x0.3=0.12.

(3)设事件。为“甲，乙两人在结账时至少一人选择C收银台”，

尸(。)=1-P(AB)=1-0.6x0.7=0.58.

20.在四棱雉P-ABCZ)中，底面A3CO是正方形，。为棱的中点，PAA.AD,24=他=2,

再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题.条件①：平面皿＞，平面4BCD；条件②：

PAYAB.

⑴求证：R4_L平面ABC。；

(2)求平面ACQ与平面A8C。夹角的余弦值；

(3)求点8到平面ACQ的距离.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析；

⑵3

3

⑶亚

3

【分析】（1）条件①利用面面垂直的性质定理可证得；条件②利用线面垂直的判定定理可证得;

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角；

（3）利用空间向量求点到面的距离.

【详解】（1）条件①：平面皿>，平面ABC。

证明：因为平面PAD，平面ABC。，PAYAD,

PAu平面PA。，平面以0c平面=,

所以小，平面ABCD.

条件②：PAYAB

证明：因为R4J_AD,PAA.AB,且AB,A。u平面A8C£）,ABr>AD=A,

所以PAJ_平面ABCD

（2）由（1）知PA_L平面ABC。，AB±AD,AB,AD,AP两两垂直，

以A为原点，A&ADAP分别所在的直线为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系，

则尸（0旦2）,A（0,0,0）,2（0,1,1）,C（2,2,0）,

所以前=（2,2,0）,而=（0,1,1）

由（1）知平面ABC。的法向量Q=（0,0,2）,

_.、\n-AC=2x+2y=0

设平面AC。的法向量为〃=（%y,z）,则_,

nAQ=y+z=0

x+y=0人，一/、

即八，令丁=1，则〃=（T-i）,

设平面AC。与平面458夹角的为。，

所以平面AC。与平面ABC。夹角的余弦值为立

3

（3）由已知得8（2,0,0）,丽=（2,0,0）,

21.已知圆C:x2+y2—2x+4)，-4=0,圆。1：(*-3)2+(丫-1)2=4及点。(3,1).

⑴判断圆C和圆C1的位置关系；

（2）求经过点P且与圆C相切的直线方程.

【答案】（1）相交

⑵y=l或12x+5y-41=0

【分析】（1）根据两圆方程可确定圆心和半径，由圆心距与两圆半径之间的关系可确定两圆位置关

系;

（2）易知切线斜率存在，则可设其为y-l=k（x-3）,利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求

得3进而得到切线方程.

【详解】（1）圆C方程可整理为：（x—l）?+（y+2）2=9,贝IJ圆心C。,—2）,半径r=3；

由圆G方程可知：圆心£（3,1）,半径｛=2；

22

•/|CC||=,J(l-3)+(-2-l)=V13,r+r}=5,r-z；=1,：.r-^<\CC]\<rt+^,

・••圆C和圆G相交.

（2）当过尸（3,1）的直线斜率不存在，即为x=3时，其与圆C不相切,

・•・可设所求切线方程为:＞一1=%（》—3）,即b-y-39+l=0,

•••圆心C到切线的距离d=43=3,即9k2+9=(3-2k)2,

\lk~+\

12

解得：k=O^k=~

切线方程为：y=l或y-l=—］（x-3）,即y=l或12x+5y—41=0.

）,nr

22.己知椭圆E:£+春■=l（a>6>0）的离心率为半，一个顶点为A（0,l）.

⑴求椭圆E的方程；

⑵若过点A的直线/与椭圆E的另一个交点为8,且|4用=:&,求点8的坐标.

【答案】⑴5+丁=1

【分析】（1）根据椭圆中名尻c的关系求解即可；（2）先利用=求出点5的轨迹方程，然后

求点5的轨迹方程与椭圆1+小的交点即可，求值的时候一定要注意变量范围.

a=2

【详解】（1）由题可知£=也；b=\,又因为〃=62+/,解得•

b=l

a2

c=1

所以椭圆后的方程为A,』

（2）设双X,y）,因为|4回=［也,所以有犬+（>-1）2=m

丫23?

则点4为椭圆上+丁=1与圆f+G-y=*的交点，

29

八（下芍

,解得y=-g或y=—（舍去，因为

联立

X221

y+r=1

44

x=­x=——

；,故点B的坐标为（土：4-；1

所以有，3]或'

y=