2022-2023学年山西省部分学校高三年级上册学期期末考试数学试题

山西省部分学校2022-2023学年高三上学期期末考试

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应

题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域

内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设全集0=乩集合4=刎3，〉9},8={x|-2WW4},则Qz）cB=

A.[-1,0）B.（O,5）C.[0,5]D.[-2,2]

2.在复平面内，二包对应的点位于

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），

综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术，新结构的汽车.新能源汽车

包括混合动力电动汽车（HEV）、纯电动汽车（BEV,包括太阳能汽车）燃料电池电动汽车（FCEV）、其他

新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等.非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料.下表是

2022年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：

月份代码X12345

销售量y（万辆）0.50.611.41.5

由上表可知其线性回归方程为3=标+0.16,则3的值是

A.0.28B.0.32C.0.56D.0.64

心.71yJ2…sma—

4,已知sma———，贝！I--------的值为

I441-tan6Z

3333

A.——B..C.——D.-

4422

5."

（x+y）5的展开式中，的系数是

X7

A.5B.15C.20D.25

6.已知函数f(x)=2cos2号+Jisin<yx-1(<y>0,xeR),若/(x)在区间(万,2乃)内没有零点，则

。的最大值是

3115

A.-B.一C.—D.-

64123

7.在四棱锥P—/BCD中,底面/BCD为正方形，且PN_L平面Z8CO,PA=3AB,则直线P8与直线

/C所成角的余弦值是

11

A.—B在c.一

1055

“sinl773兀2-百⑴

8.设----,bc=----------,则

32496

A..a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知c>d>0,则下列不等式成立的是

ab

A.a-c>b-aB.—>一C.(a+by>(a+/?yD.Ca+b>da+h

dc

10.已知点z(—1,0),8(1,0)均在圆。：(、—3)2+&-3)2=/(尸>0)外，则下列表述正确的有

A.实数r的取值范围是«,、后)

B.|/a=2

C.直线43与圆C不可能相切

D.若圆C上存在唯一点P满足APLBP,则r的值是372-1

11.已知函数y=/(X+1)是R上的偶函数，对任意玉,々G[1,+00),且X1都有/(")成立,

ln2

a=/(log28),b=c=/(e)>则下列说法正确的是

A.函数y=/(x)在区间[1,+8)上单调递减

B.函数y=/(x)的图象关于直线x=l对称

C.c<h<a

D.函数/(x)在x=1处取到最大值

12.已知过抛物线C:_/=4x的焦点厂的直线/交C于4,8两点，O为坐标原点，若△NOB的面积为

4,则下列说法正确的是

A.弦48的中点坐标为［3,4百）B.直线/的倾斜角为30°或150°

C.|^5|=16D.均绰£1=1

11\AB\

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/（x）=ae'+/一8》的图象在点（0J（0））处的切线斜率为一5,则4=.

14.已知向量a,I满足忖=3恸=3,B,则sin,.

15.在三棱锥P—Z5C中，PA=BC=2由,PB=AC=A，AB=PC=5,则三棱锥P—Z8C的外

接球的表面积是.

16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点耳，F2,它们的离心率分别为q,«2,点尸为它们的一个交点，且

/耳桃=y,则e；+四的取值范围是.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知数列｛a“｝的前n项和为S”,且q=3,an+｝=2s“+3（〃eN）

（1）求也｝的通项公式；

（2）若数列也｝满足〃,=吟外,记数列也｝的前〃项和为7；,求证：7；,<1.

18.（本小题满分12分）某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器

是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为2.已知1名工人

2

每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维

修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂每月

获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.

（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需

要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；

（2）已知该厂现有2名维修工人.

（i）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；

（ii）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？

19.（本小题满分12分）在△/BC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知点。在边NC上（不含

端点），AB=BD=CD.

（1）证明：be=a2-c2；

9

（2）若cos/45C=—,c=l,求△/BC的面积.

16

20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱/8C—44G中，AB1AC,D,E分别为441，4c的中

点.

（1）求证：OE〃平面N8C；

TT

（2）若DE工BC,二面角N-3D—C的大小为一，求直线4c与平面BCD所成角的大小.

21.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右顶点分别为4,4，|44|=4,且

、寸占（万瓜

过点＜2,—.

、2）

（1）求C的方程；

（2）若直线/:»=左（万一4）（女工0）与。交于M,N两点，直线4M与4N相交于点G,证明：点G在

定直线上，并求出此定直线的方程.

22.（本小题满分12分）已知函数/（x）=alnx+，（tzeR）.

（1）若函数/（X）的最小值为/,求4的值；

（2）若存在0＜%＜》2,且芭+吃=2,使得/（占）=/'（》2），求a的取值范围.

高三数学参考答案、提示及评分细则

1.D

2.C

3.A

4.A

5.B

6.C

7.D

8.B

9.BD

10.ABD

11.BC

12.BCD

13.3

2亚

14.----

3

15.29%

16.(2,+oo)

17.(1)解：当〃=1时，a2=2S1+3,即。2=2q+3=9；

当“22时，由。,川=2S,+3(〃eN*),得勺=2S,I+3,两式相减得。7=3。”.

又々=3%，所以氏+1=3a“(〃eN*),所以｛4,｝是以3为首项，3为公比的等比数列.

所以。“=3X3"T=3".

(2)证明：由(1)知或二嗓3%=JL,

%3"

所以7L=l-+2x[J+...+〃(J,1，=lx©+2x(9+...+〃g「,

2〃+3

2・3"+i

32/7+3_2H+3八3

所以7；--------丁.又------>0所以北＜%•

44x3〃4x3〃

18.解：(1)因为该厂只有1名维修工人，

所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障,

故该工厂能正常运行的概率为(1一；)+C；x；x(l—；)+C；x(g)—=£•

(2)(i)X的可能取值为34,46,58,

尸(，=58)一专/福

则X的分布列为

X344658

1357

p

643264

1357113

feEX=34x—+46x—+58x—.

6432642

(ii)若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为6x10-3=57万元.

因为一＜57,所以该厂应再招聘1名维修工人.

2

19.(1)证明：若b=c时，则点。与4点重合，不满足题意，故

因为4B=BD=CD,所以4=2。，

所以sin/=sin2c=2sinCcosC,由正弦定理及余弦定理得a=2cx"+"———

lab

即a2b=a2c+b2c-c3,所以/(b-c)=c(b2—c2)=c(b+c)(b—c),

因为bxc,所以6—所以/=cG+c)=bc+c2,所以bc=/一。2.

9Q

(2)解：由〃=/+c2-2accosN/8C及cosZ/iBC=—,c=l,得〃=。2+1——a

168

由(1)知bc="-ct所以b=/-l,所以=a~+1——tz,

整理得8/-24。+9=0,令2a=f得：P-12/+9=0,

-3+V21［土叵＜0(舍去),

即g_3)(f2+3t_3)=O,解得4=3,t

22

由6=。？-1＞0,得而Q=A=Ni_旦＜1舍去，故。=3

242

13

所以S丛％=Qa。sin/ABC--

20.(1)证明：取BC的中点M,连结EM.

则ZX4〃8g,且=EM〃BB「且七/二3台片.

所以。4〃£N,且D4=EM,所以四边形瓦)为平行四边形，所以

又/Mu平面45C,平面/8C,所以。E〃平面/3C.

(2)解：以力为原点，建立如图所示的空间直角坐标系4-肛z,

设N8=l,AC=b(b>0),AAX=2c(c>0),

则8(1,0,0),C(0,6,0),r)(0,0,c),5,(1,0,2c),

所以方=(；,■|，()),5C=(-1,6,0).

因为0EJ.5C,所以正•前=0,所以6=1.

又前=(-1,1,0),丽=(-l,0,c),

设平面5CO的一个法向量〃=(x,y,z),

n-BC=0f-x+y=0

则<_____.所以<，，

n^BD=Q[-x+cz=0

令x=l,则y=l,z=—,所以〃二(1,1,工

又平面力8。的一个法向量祝=（0,1,0）,所以cos；

11

所以二=」—=,解得,=芋，所以3=q,1，近）

2

又就设直线8。与平面5CZ）所成的角为6,

«-_5_,_C_______|-_1__+_1_-__2_|______]_

瓯―V1+1+2-V1+1+2.2，

TT

所以直线4c与平面BCD所成角为一.

6

21.（1）解：因为|44|=4，所以2a=4,解得a=2.

2f-T

因为。过点,所以—+-2=1,解得百.

I2J4〃b=

22

所以。的方程为X工+y幺=1.

43

（2）证明：设〃（X,凹）,N（X2，%），所以：y=-^（x+2），/&N：y=-^（x—2）.

Xi+，x,一幺

y二左（工一4）

由卜

J,整理得。+公卜公》+

42_3264%2—12二0

14-1-------3-1

2

则A=G32左21-4（3+4左2）（64左2一12）＞0,解得一;〈左＜；且%H0,x,+x2=32k

3+4公

64公—12

x.x=--------1—

123+4公

y=^^(x+2)2%।2乂

x-2%+2_2左—4)(X]+2)+2^(x1-4)(x2)_lxx-6x,-2x

由<'得》=22y22

必______凹k(x4)(再+2)—%(再一4)(x2—2)3X—x,-8

y=^^(x-2)22

-再+

一1x222

64吐1232F__4

2罚12―2(玉+/)_4X]_*3+442*3+4左2再

1,

3(』+%2)一8-4阳3x言]-8-4芭

所以点G在定直线x=l上.

22.解：(1)由题意知函数/(x)的定义域为(0,+oo),/"0)=@一《=手工

当aWO时，/'(x)<0在(0,+8)上恒成立，故/(x)在(0,+8)上单调递减，无最小值.

当〃>0时，令/'(x)<0,得0<x<L；令/'(x)>0,得x〉L,

所以/(x)在上单调递减，在+8)上单调递增,

所以/()//1)

=a\n-+a=a-alna.

a

所以Q-alriQ=Q2,即lna+q=l.设g(a)=lna+a,则gz(a)=—+1>0,

a

所以g(a)为(O,+8)上的增函数，又g(l)=l，所以Q=l.

(2)由/(X[)=/(々)，得aIn/4—=6/In%2~1----，即aIn—H----------=0,

玉x2玉x2x}

又玉+%2=2所以aln强+^±i-^±^=0,得aln迤+二一旦=0.

X12X22为％2X2