2022-2023学年四川省遂宁市高二强基班上学期第二次半月考数学（文）试题含答案

2022-2023学年四川省遂宁市高二强基班上学期第二次半月考数学

（文）试题

一、单选题

1.过点"（2/）且斜率为2的直线方程为（

A2x-y+3=0B2x-y-3=0

Dx-2y=0

【答案】B

【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程.

【详解】由题意可知所求直线的方程为丁-1=2（尤-2）,即2x-y-3=0

故选：B.

2.己知直线a，"。，若0力异面，b//c,则的位置关系是（）

A.异面B.相交C.平行或异面D.相交或异面

【答案】D

【分析】以正方体为载体说明即可.

【详解】如下图所示的正方体：

AB和DDX是异面直线，。R//84ABABB、=B

和OR是异面直线，DDJiCC\,力8与CG是异面直线

所以两直线。与6是异面直线，b//c,则“，c的位置关系是相交或异面.

故选：D

3.圆广+广-2'+4）-4=°的圆心坐标与半径分别是（

A.0，一2），2B.（T2）,2

C.（L-2）,3(-1,2),3

D.

【答案】C

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案.

【详解】由题可知，圆的标准方程为（xT）2+3+2>

所以圆心为O'*）,半径为3,

故选C.

4.如图，在正方体/8C0-4与GA中，异面直线℃与8。所成的角为（）

A.30。B.45。C.60=D.90。

【答案】C

【分析】作出辅助线，找到异面直线所成的角，利用几何性质进行求解.

【详解】连接8a与8C,因为8O//4A,则NCD圈为所求，又△（。片是正三角形,

NCD、B[=60。

故选：C.

5.现要完成下列3项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从2000名

学生中抽取100名进行课后阅读情况调查；③从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，

80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是（）

A.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样B.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽

样

C.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽

样

【答案】D

【分析】根据系统抽样、简单随机抽样、分层抽样的概念判断.

【详解】在①中，由于总体个数较少，故采用简单随机抽样即可；

在②中，由于总体个数较多，故采用系统抽样较好；

在③中，由于高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭的消费水平差异明显，

故采用分层抽样较好.

故选：D.

【点睛】本题考查抽样的概念，掌握系统抽样、简单随机抽样、分层抽样的概念是解题关键.

6.为参加CCTV举办的中国汉字听写大赛，某中学举行了一次大型选拔活动，随机统计了甲、乙

两班各6名学生的汉字听写的成绩如图所示，设甲、乙两班数据的平均数依次为占，%，标准差依

次为S1，S2，贝（J（）

甲乙

861279

58813859

5142

x>x

A.须si>s2B.'2,si<s2

C.小E,S'xx

D.\~29S1<S2

【答案】C

【分析】分别求出甲、乙两班数据的平均数和标准差，然后比较大小即可得到答案

一1

X=-x(3x8+6+2x5+120x2+130x3+140)=135

[详解]6

一1

x2=7(2x9+7+8+5+2+120x2+130x3+140)=135

S：=lx[(-7)2+(-9)2+02+32+32+102]=^y

22222

52=1X[(-8)2+(-6)2+3+0+4+7]=29

故选c

【点睛】本题主要考查了平均数和标准差，根据计算方法分别求出结果作出比较，较为基础.

7.在直三棱柱/8C-4AG中，底面是等腰直角三角形，BA=BC=34i,BB,=a,则/与与平面

"4G。所成角的正弦值为（）

显

C.4D.5

【答案】C

【分析】取4G的中点M,连接4例,8例，易证4v平面14GC,进一步得到线面角，再解三

角形即可.

【详解】如图，取4G的中点加，连接

三棱柱ABC'A'B'C'为直三棱柱,则AA'J■平面A'B'C',又B\Mu平面4BC,

所以与V/4

又由题意可知△'/iG为等腰直角三角形，且〃为斜边的中点，从而用VW

而41/u平面平面44。。，且

所以与m1平面AA.C.C）则为AB,与平面AAXCXC所成的角.在直角"B、M中,

B、M_3A/6

sin/8/M=

AB、一2瓜4

故选：c

8.己知圆锥的表面积为“J且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）

4738百

-------71------九

A.4万B.3C.87D.3

【答案】D

【分析】设圆锥的半径为「，母线长"根据已知条件求出入/的值，可求得该圆锥的高，利用锥

体的体积公式可求得结果.

【详解】设圆锥的半径为,，母线长乙因为侧面展开图是一个半圆，则乃/=2乃厂，即/=2「,

又圆锥的表面积为12万，则万〃+乃1=12万，解得『=2,/=4,

则圆锥的高〃=J/J/=26,所以圆锥的体积~3",

故选：D.

9.如图，在三棱锥S-/8C中，SA=SC=AC=2五,AB=BC=SB=2,则三棱锥S-Z8C外接球

4百

A.侬B.4万C.4乖）兀D.3

【答案】A

【分析】根据题意，将该几何体放置于正方体中截得，进而转化为求边长为2的正方体的外接球,

再求解即可.

【详解】解：因为在三棱锥S-/8c中，SA=SC=AC=20AB=BC=SB=2,

所以将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2,

则体对角线长为26,外接球的半径为区=百，

所以外接球的表面积为4日?2=12〃，

故选：A.

AG

10.某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）

的时间为17：30-18：30,则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（）

Z31£

A.8B.4C.2D.4

【答案】A

【解析】根据题意，设学生出来的时间为x,家长到达学校的时间为V,转化成线性规划问题，利

用面积型几何概型求概率，即可求得概率.

【详解】解：根据题意，设学生出来的时间为x,家长到达学校的时间为y，

学生出来的时间为17：00-18：00,看作54x46,

家长到学校的时间为17：30-18：30,5.5<J<6.5T

要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要

J5<x<6

则相当于15.5"46.5,即求N2x的概率，

如图所示:

约束条件对应的可行域面积为：1,

,1117

1——X—x—=—

则可行域中NNX的面积为阴影部分面积：2228,

7

8=Z

所以对应的概率为：18,

7

即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：8.

故选：A.

【点睛】本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.

£+2=]

11.圆C：/+/=2,点尸为直线36"上的一个动点，过点尸向圆C作切线，切点分别为A、

B,则直线48过定点

A.品23B.（制33C.品32D.4333

【答案】B

【详解】不妨设00'°）,画出图象如下图所示，根据直角三角形射影定理可知

=00.3,0。=2x=-

V73,即直线方程为3,四个选项中，只有5选项符合，故选8.

二、填空题

12.已知随机事件A,8,C中，A与8互斥，5与C对立，且P(/)=0-3,°(C)=0.6,则

P(A+B)=

【答案】0.7

【分析】利用对立事件概率计算公式求出尸(B)="P(C)=04,再由互斥事件概率加法公式

能求出P("+8).

【详解】：随机事件A,8,C中，A与B互斥，B与C对立，且PJ)=0.3,P(C)=0.6,

■-P(B)=1-P(C)=0-4,

P(A+B)=P⑷+p(B)=03+0.4=0.7.

故答案为：0.7.

【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，

考查运算求解能力，是基础题.

13.若直线y=x+.与曲线y=3-‘4x-x，有公共点,贝a的取值范围是.

【答案】[1-2立3]

【解析】曲线y=3-"7二7表示圆心为(2,3),半径为2的半圆，画出图象，结合点到直线的距离

公式，得出的取值范围.

【详解】由4x-f》o,解得0QW4

根据二次函数的性质得出°wJ4x-iW2,即1«3

曲线y=3-"x-x?可化为(x-2)2+(y-3『=4,(0WxW4』&W3)

所以该曲线表示圆心为(2,3),半径为2的半圆

因为直线V=x+6与曲线y=3-"7=7有公共点，所以它位于44之间，如下图所示

当直线N=x+b运动到4时，过（°，3）,代入y=工+6得：6=3

当直线'6运动到‘2时，此时y=x+'与曲线相切

|2xl-3xl+/>||b-l|二

则712+12及，解得6=1-2上或1+2行（舍）

要使得直线y=X+b与曲线N=3_Zx-x2有公共点，则be[1_2也,3]

场较安为口-2立3]

故答案为：L」

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

14.在棱长为1的正方体ABCD-A|B|CQ|中，点〃是对角线"G上的动点（点M与4G不重合）

,则下列结论正确的是

①存在点M,使得平面4。加1平面BC、D.

②存在点M,使得平面DMII平面BCA.

国

③AAQM的面积可能等于6.

④若力邑分别是A4Q”在平面A|B£D|与平面88CC的正投影的面积，则存在点使得

S\=S]

【答案】①②③④

【分析】根据正方体的结构特征，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，以及三角形的面积公

式和投影的定义，即可求解，得到答案.

【详解】①如图所示，

当M是/£中点时，可知〃也是4c中点且8c8G,4A481nBe=与，所以

8cll•平面"4C,所以8G，4",同理可知8。，4",

且gfW=B,所以4Ml平面2c。，

又平面。河，所以平面平面

4"u4BCQ故正确;

②如图所示，取"G靠近A的一个三等分点记为忖，记4GA8a=°,

0clC\N1

OCWG=N,因为/CII4G,所以京一就一5,所以N为阳靠近4的一个三等分点,

则N为"G中点，又o为4G中点，所以4M"N。，且4。〃4。，4例口4。=4,

NOn8C=C,所以平面平面8卬，且以Zu平面40朋\

所以DM〃平面BCR,故正确;

4M_1乂&=在

③如图所示，作在中根据等面积得：’63

AXM=DM=

根据对称性可知：3,又AD=C,所以是等腰三角形,

、2'巨2石

S.AfiM=—XA/2x

6,故正确;

则

H

④如图所示，设="QM在平面44GA内的正投影为ZUQM在平面

BB&C内的正投影为MCM，所以's=Ss3__3LT/?_£,

邑=5AsicM,=；x¥-&ax&=tz=l

，当SLS?时，解得：3,故正确.

故答案为①②③④

【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征，以及线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟练应

用正方体的结构特征，熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与

论证能力，属于中档试题.

三、解答题

15.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防

疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生

产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了

100t，将其质量指标值分成以下六组：四，50),[50,60),[60,70),,[90,100],得到如下频

率分布直方图.

(1)求出直方图中加的值；

(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组

中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01).

【答案】(1)加=0.030；(2)平均数为71,中位数为73.33.

【解析】(1)利用频率之和等于1进行求解即可

(2)利用平均数和中位数的计算公式进行求解即可

［详解］⑴由10乂(0.010+0.015+0.015+，〃+0.025+0.05)=1,得机=0.030.

(2)平均数为三=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71(

_220

设中位数为"，贝产1+°」5+°」5+(-7°)X°.03=°.5,得”亍至73.33

故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71,中位数为73.33.

16.在四棱锥尸-45。中，&_L平面488,底面458是边长为2的菱形，

P“="C=2,瓦/分别为尸0,8c的中点.

⑴证明：EF〃平面H4B；

(2)求三棱锥/-SE的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵3

【分析】（1）取"的中点G,利用三角形中位线定理可证明8G//E凡由线线平行，可得线面平行;

V_=v_=—v_

（2根据图像可得A°EETC02P-ACD,以A/C£＞为底面，证明尸/为高，利用三棱锥的体积公

式，可得答案；

【详解】（1）取力的中点G,因为E为P。的中点,

GE=-AD

所以GE//4）且2,

又因为p为8c的中点，四边形N8C0为菱形,

BF=-AD

所以8F//Z。且2

所以BF//GE且BF=GE,

故四边形BFEG为平行四边形，所以BG//EF,

因为BGu面4&所0面尸所以瓦7〃面"8.

（2）因为底面是边长为2的菱形，AC=2,则A/。为正三角形,

所以小咚2"

因为面N8C,所以尸/为三棱锥尸一"CD的高

VXX

rri,一心小以心幻=E-ACD=P-ACD=।^3X2=

所以三棱锥的体积2233

17.已知两条直线//：ax—by+4=0y以l）x+y+b=O,求分别满足下列条件的a,b的值:

（1）直线"过点（一3,-1）,并且直线力与直线A垂直；

（2）直线//与直线/2平行，并且坐标原点到乙，6的距离相等.

_2

[a=2(a=2<"-3

【答案】⑴['=2；(2)1"=-2或,=2

【解析】（1）代入点（一3，一1）到4的方程，求解出“力的第一个关系式，再根据垂直关系求得第二个

0，6的关系式，从而求解出“力的值；

（2）根据两直线平行得到“力的第一个关系式，再根据原点到两直线的距离相等得到第二个"力的

关系式，从而求解出"力的值.

【详解】⑴因为4过点（T—1）,所以-3"+6+4=0,

J-3Q+6=-4（a=2

又因为4U,所以=所以b-"b=°,所以W=2：

⑵因为"4,所以"1=一'（”1）,所以4：〃x-勿"=0,

网

又因为标原点到/的距离相等，所以JaW,所以方=±2

_2

当6=2时，"3.当6=-2时，4=2,

2

（ca=—

J〃=243

所以『-2或必=2.

【点睛】本题考查根据直线的位置关系求解参数值，难度一般.已知

1]:A}x+B]y+C]=0,Z2:A2X4-B2y4-C2=0不重合），若人色，贝|J有4层一44=。；若4，4,

则有44+8也=。

18.如图，在正四棱柱44GA中，"8=1,"4=2,”是C£上的点，满足口用为等边三

角形.

⑴求证：4M"1■平面

（2）求点M到平面48。的距离.

【答案】（1）证明见解析：

⑵1.

d

【分析】（1）根据题意证明4MAtM1DMf然后根据线面垂直的判定定理证明问题;

（2）结合（1）,进而利用等体积法求得答案.

【详解】(1)由题意，BD=6,•iBDM为等边三角形，：.BM=DM=BD=6,

•••00|,平面/88,二℃|'180,则=8c2=1,即M为CG中点,连接4G,

CG■*■平面481Gz)1,46<Z平面42©。1,...°。|_144,易得4G=0，MG=1,则

4M邛+Sj=乖>

乂A、B=y/A[B；+BB；=后,于是4团2+8^2=482,即4vBM,+DM2=A.D2

即4"_LDA/,又8"cQA/=A/,..4/■!"平面

AnV\**,J»n=Jnrsrz-—XSjnp,X(J——XS»r)izX/4i

(2)设M到平面48。的距离为力MRD4-皿3"3'

j=4M•S4BDM

一SD

易得48=4。=遥,8°=&,取8。的中点N,连接4MNN,则4NLBD,MN工BD,所以

A、N=4A、B』N、当MN=JMB2-BV4所以!几乎=|

""gV3x-

.d_"眼•S’BDM______2__i

-

<\B瓜也,"一S、BD一^

=X2X=

^BDM2^TT2

即M到平面48°的距离为i.

19.2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收关之年.某乡镇在

2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有500户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措

施，每年新脱贫户数如下表：

年份20152016201720182019

年份代码

12345

X

脱贫户数

55688092100

y

（1）根据2015-2019年的数据，求出y关于年份代码x的线性回归方程y=启+段，并预测到2020年

底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫；

（2）2019年的新脱贫户中有20户五保户，20户低保户，60户扶贫户.该乡镇某干部打算按照分层

抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况.为防止这

些脱贫户再度返贫，随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶，求抽取的2户中至少有1户是扶

贫户的概率.

Z（七一x）（乂一夕）Z七乂一心•歹

b=-------------=-----------

储%=1299）（x,-xf^x2-nx

参考数据：i，参考公式：Iy,a-y-bx

【答案】（1）＞1L4X+44-8,能够；

9

⑵10

【分析】（1）由已知求得.与否的值,可得y关于x的线性回归方程，取》=6求得y值即可得结论;

（2）利用分层抽样可得抽取的5户贫困户中，有1户五保户a,1户低保户6,3户扶贫户C,

d,e,利用枚举法写出这5户中选2户的所有基本事件，得到抽取的2户中至少有1户是扶贫户

的事件数，则概率可求.

5

=1x55+2x68+3x80+4x92+5x100=1299

【详解】（1）解：I-

_1+2+3+4+5,_55+68+80+92+100395”

x=-------------=3y=-------------------=----=79

5,55

5

Zxj=1+4+9+16+25=55

<=1.

11299-5x3x79114

b=-------------=----=114-

55—5x3?10.,&=歹一版=79—11.4x3=44.8.

..j）=11.4x4-44.8

当x=6时，>>=11.4x6+44.8=113.2(

即预测到2020年一年内该乡镇约有113户贫困户脱贫.

预测6年内该乡镇脱贫总户数有55+68+80+92+100+113=508>500.

即预测到2020年底该乡镇500户贫困户能全部脱贫；

(2)解：由题意可得，按分层抽样抽取的5户贫困户中.

有1户五保户。，1户低保户6,3户扶贫户Jd,e,

从这5户中选2户，共有10种情况：S,b),(a,c),(a,d),(