2022-2023学年广东省深圳市高二年级下册学期开学考试数学解析版

2022-2023学年深圳高二第一学期期末考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

[若集合力={x|W=x},8=+x2。},则（）

A'-LO]B.@+8）c.L+00）D.

（-00,-1]

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求出"=[0收），8=[0,+oo）U（-8,-1]求出交集.

[详解】Z={#l=x}=[°，+e）5={r|X2+X>0}=[0,+OO）（J[-OO,-1]

故根=[0，+。）

故选：B

：3+i

2.已知复数1-i,则忖=（）

A.应B.eC.nD,加

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数除法运算求出复数z,再求出复数的模作答.

z3）（l+i）=*=l+2i

【详解】依题意，（1-1）（1+1）2,

所以目=庐'=石

故选：D

3."a>6”是“1°g2a>log2°”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】求出bg2">log2”的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结

论.

［详解】人2a>10§2boa>b>0,因为“4〉方”/“a>b>0”且“〃>力”

<="3>白>0”，

因此，“a>b”是“log2a>log?b”的必要不充分条件.

故选：B.

4.已知函数y=/（"）在定义域（一L3）上是减函数，且/（2°T）</（2-“）,则实数

。的取值范围是（）

AW）B.S/）C.（°ZD.G+8）

【答案】A

【解析】

【分析】由函数的单调性及定义域化简不等式，即可得解.

【详解】因为函数丁=/（"）在定义域（T3）上是减函数，且/（2"1）</（2-a）,

-l<2a-l<3

v—1<2—a<3,

则有P«-l>2-a

解得1<。<2,所以实数。的取值范围是（L2）.

故选：A.

5.己知九’是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列可以推出a，'的是（

）

AmLl.m<z（3.1±aBmA-l,ac°=l,mua

mlH.m±a,I±P/La,ml11,tn/1B

rL.nLJ.

【答案】D

【解析】

【分析】

A,有可能出现a,夕平行这种情况.B,会出现平面a,,相交但不垂直的情况.c,根据

面面平行的性质定理判断.D,根据面面垂直的判定定理判断.

【详解】对于A,〃?,/,mu0,若1工。,则a//〃，故/错误；

对于B,会出现平面a,4相交但不垂直的情况，故8错误；

对于C,因为加〃乙mLa,则/_La,又因为‘‘夕=。〃/,故。错误；

对于D,/,a,m//l^>mVa,又由夕，故D正确.

故选：D

【点睛】本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推

理能力，属于中档题.

6.在长方体中，已知8Q与平面和平面”4片8所成的角均为

30°,则（）

A.AB=2ADB.ZB与平面'4G。所成的角为

30°

C.AC=CByD,与“与平面所成的角为

45°

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.

【详解】如图所示：

不妨设==依题以及长方体的结构特征可知，与平面

4BCD所成角为NB0B,8Q与平面,448所成角为408/,所以

sin300=—b________

B、DB、D,即6=。，B[D=2C=J矿++c~,解得〃=及。.

对于A,4B=a,AD=bfAB=>/2ADyA错误；

对于B过B作BELAS1于E,易知BE,平面阳G°,所以力6与平面第CQ所

tan/.BAE=-=

成角为NBAE,因为Q2,所以/以Ew30°,B错误；

2

对于C,AC=Ja+b?=JJc,CB[="~+c。=Cc,ACCB[c错误.

、sinZZJ^C=—=—=—

对于D,BQ与平面BBCC所成角为NDBC,BQ2C2,而

0<ZDB_C<90；所以NZ出C=45。口正确.

故选：D.

7.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞

台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”

,又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”

的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为

底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.己知图①中正三角形的边长

为3,则图③中丽.丽的值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得

两，丽的坐标，再由数量积的坐标表示计算.

【详解】在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

|丽卜2O^=(2cosy,2sin1)=(l,V3)

|阿=§MP=(y,0)

|丽丽=

।।3,由分形知PN//0M,所以66.

——————57百

ON=OM+MP+PN=)

所以26,

丽.丽=lx』+Ex逋=6

所以26

故选：C.

8.已知双曲线c的左右焦点分别为片，片，实轴为44,虚轴为与斗，直线44与直

线与用相交于点。.若。月=3032,则C的离心率等于（）

A.5B.3C.6D.①

【答案】A

【解析】

【分析】连接4鸟,通过构造平行线，由对应线段成比例，解得c=5a,可得双曲线

的离心率.

__幽=3

【详解】如图所示，DFQDB?，则\DB2\

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得2分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

22

匕-匕=1

9.已知双曲线方程C：97，则在该双曲线中下列结论中正确的是（）

芹

y=±----x

A.实轴长为6B.渐近线方程为3

C.焦距是4D.焦点到渐近线的距离是近

【答案】ABD

【解析】

【分析】由双曲线方程得到“，瓦C的值，进而得到实轴长，渐近线方程和焦距，利用点到

直线距离求出焦点到渐近线的距离.

22

__匕=1

【详解】97中a=3,b=不，故才=/+〃=9+7=]6,故。=4,

二b一近

y=±-x=±—x

则实轴长为2。=6,渐近线方程为a3,B正确；

焦距为2c=8,c错误；

.附万

由对称性，不妨取焦点（4°）到渐近线3丁+缶=°距离为7977,D正确.

故选：ABD

10.己知数列"J的前〃项和为5“=〃2-10〃，则下列结论正确的有（）

A.｛%｝是递减数列B.

C.5">0D.当5最小时，n=5

【答案】BCD

【解析】

【分析】由数列前〃项和为S"可求数列通项，然后逐个验证选项.

【详解】S"="2-10〃，当”=1时，％=S|=1-10=-9；

当“22时,a«=S,-S“_]=（〃？-10〃）--10（/i-l）J=2n-11

注意到"=1时也满足q=2x1-11,

所以数列｛4｝的通项公式为例=2〃一”，〃eN*,

4+1一勾=2,｛qJ是递增数列，人选项错误；

%=2x6-11=1>0,B选项正确;

但£=]

11C0

2,C选项正确；

2

5„=«-10«=（»-5）-25；〃cN*,当S,最小时，〃=5,D选项正确.

故选：BCD.

II.已知点P（x。/。）是直线八x+y=4上的一点，过点尸作圆0：/+/=2的两条切线,

切点分别为4B,连接则（）

A.当四边形。NP8为正方形时，点尸的坐标为Q，2)的取值范围为［逐，口)

C.当△48为等边三角形时，点P的坐标为(1，3)D.直线过定点

【答案】BD

【解析】

【分析】根据距离公式及圆心切点构成的直角三角形求解，再利用过定点的判断法则进行

判断即可.

对于A选项：当四边形04PB为正方形时,^\0A\=\0B\=\AP\=\BP\

则圆。：/+/=2=＞尸=后

・•.|PO|=J(VI)2+(0)2=2

又点尸(“。是直线/：“+3=4上的一点

设尸(%,4-x0)

|P0|=J(x0-Op+(4-3-Of=J2x02_瓯+16=2,即/2_4%+6=0

该方程A<°,与无解

故不存在点尸使得为正方形，A错误：

卜工注一>\PA=J\POf-\OAf=J\POf-2

对于B选项：由A知1T，।IV111W1

22

.•.|PO|=X0+(4-X0)—2XQ"-8XQ+16-2(XQ—2)~+828

.•.|PO「一226,则|尸卒修即产/的取值范围是［跖+8)

故B正确；

对于选项C：若三角形△46为等边三角形为等边三角形，易知N/P8=60

又。尸平分NAPB

NAPO=ZBPO=30,

在必A&。中，由于

sin30"=94=|"|=2五

\OP\11

又尸点坐标为：（Xo'4-x。）

与2+（4-5）一=8,即2/2-8/+8=0=00-2）2=0

.,,5=2,%=2,故©错误；

对于选项D：,•,q（/，4一%）

222

\PO\-x0+（4-x0）=2x0-8x0+16

记。P中点为〔22)

\PO\

则以D为圆心，2为半径的圆与圆°的公共弦为力8

整理得X?+y'-/工一仔-/)/=0

2

x+y2-x0x-（4-x0）j^=0

联立［公+_/=2,化简得%》+(4_/)歹=2

即得直线方程为「X+(4-/W-2=0

)_化口

将x=y“=5代入方程恒成立；故直线ZB过定点〔'''J,D正确.

故选：BD

12.已知正四面体/8CD的棱长为2及，其外接球的球心为。点E满足

AE=AAB(0<A<\\CF=〃CD(O<〃<1),过点E作平面。平行于4C和8D,平

面a分别与该正四面体的棱8C，CD,ND相交于点M,G,H,则()

A.四边形EMG”的周长为是变化的

B.四棱锥4一EMG”的体积的最大值为81

V47

--------71

C.当4时，平面a截球。所得截面的周长为2

,14

4=〃=——

D.当2时，将正四面体绕M旋转90°后与原四面体的公共部分体积为3

【答案】BD

【解析】

【分析】将正四面体转化为正方体，利用正方体的性质分析运算.对A：根据面面平行的性

质定理结合平行线的性质分析运算；对B：根据锥体体积公式，利用导数求其最值；对

C：根据球的性质分析运算；对D：根据正方体分析可得：两个正四面体的公共部分两个

全等的正四棱锥组合而成，利用锥体体积公式运算求解.

【详解】对于边长为2的正方体'与81，则ABCD为棱长为28的正四面体,

则球心O即为正方体的中心，

连接8Q,设NCD8Q]=N

...BBXHDD[,BB、=DD],则BBQ、D为平行四边形

BDIIBQ、,

又平面a,平面a,

BRn平面a,

又〃平面a,ACBR=N,CZ平面4sle2,

二平面a〃平面阳°。，

对A：如图1,

•.•平面a〃平面,平面aPl平面=,平面力用。"R平面45C=4C,

EMBE

：,EMHAC,则三=益=一，即EM=（T）"=20（1-。

同理可得：HEHGMIIBAHE=GM=2旧,EMIIGHHAC,

EM=GH=26。-九）

四边形EMG”的周长A=EM+MG+G〃+E"=40（定值），A错误；

对B：如图1,由A可知：HEHGMIIB\D\,HE=GM=2>/2A,EMIIGHII

ACEM=GH=2mQ-入）

...血CR为正方形，则4C_L&4,

,EMGH为矩形，

根据平行可得：点力到平面a的距离［=""4=2'

K=—x2ax2V2Ax2V2（1-2）=—-纪）

故四棱锥N的体积则

r=y/l（2-3/l）

0<2<--<2<1

则当3时，则->0,/在°5上单调递增，当3时，则

仔1)

片<0,/在131上单调递减，

,264

A———

.•.当3时，步取到最大值81,

64

故四棱锥Z-EMG〃的体积的最大值为81,B正确;

对C：正四面体488的外接球即为正方体/804-48Go的外接球，其半径R=百,

设平面a截球。所得截面的圆心为G,半径为，

2=-OO.

当4时，则2,

•：。0；+户=胃,则，=加-⑻等

二平面a截球。所得截面的周长为2兀尸=而兀，c错误；

对D：如图2,将正四面体48co绕EF旋转90°后得到正四面体4AC,设

gn=P,4Gn8。=K,B£nBC=°,耳。n/c=N

4,=〃—_1

...2,则民尸，P，0K,N分别为各面的中心，

...两个正四面体的公共部分为EEP°KN,为两个全等的正四棱锥组合而成,

根据正方体可得：£尸=/，正四棱锥*-。£。尸的高为5'4I

V=2VKPFNF=2x—x1x5/2x5/2=—

故公共部分的体积'33,D正确；

故选：BD.

【点睛】思路点睛：对于正四面体的相关问题时，我们常转化为正方体，利用正方体的性

质处理相关问题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.抛物线V=2/的准线方程是.

1

y=一一

【答案】’8

【解析】

【分析】

先将抛物线方程化为标准形式，求出P的值，即可求解.

2_1_1

2x=_yp=-

【详解】由V=2x得抛物线方程为2,所以4,

2y=—£=」

所以抛物线歹=2一的准线方程是28,

1

y=­

故答案为：8.

14.正三棱柱"C-44G的所有棱长都相等，则异面直线44与8G所成的角余弦值是

小C,

B]

B

【答案】4

【解析】

【分析】分别取8,SG,的中点则AB'//LM,g1〔MN,进而

4LMN（或其补角）是直线”与与8G所成角，然后解出的三边，进而用余弦定

理即可解得.

【详解】设三棱柱棱长为2,取的中点分别为L,MMP，连接

LM,MN,LN

AB'//LM,BC\HMN,设直线4B\8G所成角为a,cosa=|cosZLMN|.

连接LP，PN,容易判断NP_L",易知：LP=1,NP=2,：.LN=JLP°+NP?=#),

易知：LB=BM=\,NLBM=90°,；.LM=JLB?+BM?=6,同理：LM=6

2+2—51

cosZ.LMN=-----T=——-j==——

在ALA/N中，由余弦定理：2xV2xV24,...

cosa=|cosZ.LMN|=；

故答案为：4.

〃-为奇数

Ctn—s、，

15.若数列为偶数,则Q]%*■^99a\oo=

【答案】5000

【解析】

【分析】按奇偶项分组，再利用等差数列的求和公式代入计算即可.

【详解】%+"2+%+。4+…+%+/00=(%+%+…+%9)+(的+&+…+"100)

50(%+agg)50(0+98)

%+。3+…+49=—————=—'------=2450

由已知可得22

所以原式

=2450+2550=5000

故答案为5000.

【点睛】本题主要考查数列求和问题，涉及分组求和与公式法求和，属中等难度题.

Y25

/一万=〉)

l(a>0,60的左焦点耳的动直线/与「的左支交于A

16.过双曲线「:B

两点，设「的右焦点为7V若存在直线/，使得则『的离心率的取值范围是

【答案】'」

【解析】

【分析】由题可设/为x=〃"-c,'（西，必），8（乙,%）,联立/与双曲线的方程可得

乂必、弘+8；根据Z6*LB巴得玛/书6=°,将必歹2、必+歹2代人可得关于加的

表达式，根据m范围和乂必＜°可求离心率范围.

【详解】依题意知直线/的斜率不为0,设/的方程为x=〃"-c,

x-my-c

*x2y2_

联立l/一*,消去X,得&病-262c叩+小0,

_2b1cm_h4

222222

设"（须,乂），B（x2,y2）^则由△＞（）知，*+%bm-a,"为bm-a,

由伍，聪得即庠=0,

,n

故@一c）（x2-c）+必％=0,即（y＞-2cx叩2_2c）+y,y2=0,

整理得（病+1）必为一2cm（乂+%）+归=0,

将乂％M+%代入整理得，"+»-4〃"2+4/（*"）=0,

/、2,4a2c2

则M+»=4a2c2,+1=7-_1,故4a2c2十一桁）,

44222

Ac+a-6ac＜0,两边除以/,得/-6e+lW0,解得3-2夜＜e?43+20,

又：e>l,/<e<1+后，，故l<eWl+0,

/〈0加2<《

又Z、8在左支且/过/，.•.“为<°,BPb2m2-a2，故b：

2,4a2c2a2.

.m+1=-^-<^r+1,4a2c2<a2b2+h4=h2(a2+b2)=b2c2

BP4a2<b'=c2-a\piij5a2<c2,故4>5,即e>后,

综上：有<e«l+及，即eeg,l+Vq.

的3gl+血］

改合某为：'」.

【点睛】本题的关键在于根据直线/方程x=my-c里面机的范围，得到关于公反。的

不等式，从而求得离心率的范围.

四、解答题

17.△N8C的内角B,C的对边分别为a,b,c,已知百acosC=csin/,b—c=T.

(1)若。=4,求的周长；

cosB=—

(2)若7,求A/SC的面积.

【答案】(1)18(2)1°百

【解析】

【分析】(1)由正弦定理边化角可求出C,结合余弦定理c2="2+^-2a6cosC,由

6-。=1代换台，求得c，6,进而得解：

b_cc+1_c

(2)由正弦定理sinBsinC,b=c+l代换得sin6sinC,求出sinS,可解得

S^,ABC=-bcsmA=—Z)csin(5+C)

b，c,由正弦面积公式22即可求解.

【小问1详解】

因为V5acosC=csin4,所以VJsin4cosC=sinCsinA

又sin4H0,所以sinC=JJcosC,即tanC=JJ又0＜。＜兀，所以3

c2=a2+〃-Q6=16+(C+1)2-4(C+1)=C2—2C+13

c=13"

解得02,则2.故“BC的周长CAW=。+6+。=18；

【小问2详解】

1.473

cosBD=—smBD=----

因为7,所以7.

c+1_c

be473~73

由sinBsinC,b=c+\,得72,解得c=7,6=8.

故“BC的面积

S4ABe=gbcsin4=gbcsin（6+C）=28x11

X—+—X二10百

27

18.等比数列口）中，4=2,且出，q+4，4成等差数列

（1）求数列｛4｝的通项公式;

（2）若数列“I°g2%+「log2a”，求数列也｝前〃项的和，

【答案】（1）（=2"

⑵〃+1

【解析】

【分析】（1）设出公比，得到出+4=2（4+%）,求出公比，得到通项公式;

,111

［）-----------------

（2）在第一问的基础上，得到'〃（〃+1）〃〃+1,裂项相消法求和.

【小问1详解】

设等比数列｛%｝的公比为外

因为％=2,且"2，%+“3，%已成等差数列，

所以。2+“4=2（%+%）,

%+%=2

因为％+%=《+V，（1+夕＞°,所以％+%,即4=2,

所以数列也"｝的通项公式为%=2x2'-'=T

【小问2详解】

由（1）得数列｛见｝的通项公式为4=2”,

]1__J___1

b“=

〃(〃+l)nn+\

所以数列噫«„+l-*Og2«n

19.如图，在多面体Z8COE中，平面1881平面AD1AB,ADHBC,

兀

ZBAE=-

23c=2,尸是NE的中点.

(1)证明：BF〃平面CDE；

(2)求点尸到平面C°E的距离.

【答案】(1)证明见解析

2

(2)3

【解析】

【分析】(1)取中点G,结合三角形中位线性质可证得四边形8CG尸为平行四边形,

从而得到BFHCG,由线面平行的判定可证得结论；

(2)根据面面垂直性质可得“O上平面/8E,以A为坐标原点建立空间直角坐标系，根

据点到面距离的向量求法可求得结果.

【小问1详解】

取OE中点G,连接FG,CG

=AD

FGHADFG2

BC=-AD

又ADHBC,2,BC//FG,BC=FG,

，四边形8CGQ为平行四边形，:.BF//CG,

又BF(Z平面CDE,CGu平面CDE,BFH平面CDE

【小问2详解】

•平面45cz平面/BE,平面平面N8E=Z8,AD1AB,ZZ)u平面

ABCD9

Tt

NBAE=-

.•.NOJ_平面又2

则以A为坐标原点，“民/瓦”°正方向为x,%z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

川/（0』,0）C（2,0,l）2）（0,0,2）£（0,2,0）

火！Jf9，，

.-.c5=（-2,0,1）DE=（0,2-2）庵=（0,1,0）

，，，

设平面COE的法向量"=（x/，z）,

CD•n=-2x+z=0

V

则=2y—2z=0,令x=l,解得：y=2,z=2,二〃=0，2,2）,

八卵二

二点尸到平面COE的距离II

20.已知O为坐标原点，抛物线C：『=2。才8>0）的焦点为F，/）是c上在第一象限内

的-点，柱与x轴垂直，巧=3佟

（1）求C的方程；

（2）经过点F的直线/与C交于异于点尸的4,8两点，若的面积为186，求/

的方程.

y2=\2x

【答案】（1）

（2）y=y!~^x-3yH或y=+3ypi

【解析】

【分析】（1）根据抛物线方程以及P的位置关系，由1°耳=36即可计算抛物线方程；

（2）由题意可知直线/的斜率一定存在，设出直线方程并与抛物线联立方程组，利用弦长

公式并根据AP/B的面积为18G即可求得直线的斜率，得到直线方程.

【小问1详解】

由题可知，点尸的坐标为12）.

\OP\=3\/5+p2=45

因为勺—ZD,所以，解得p=6或p=-6（舍去），

故C的方程为丁=12。

【小问2详解】

由题可知，00，6）,所以直线/的斜率一定存在，

可设/的方程为^=后（》_3）,〃（X，凹），B（x2,y2）

卜=稔-3）

联立方程组1/=12"，

整理得以-（6公+12卜+9左2=0,

6一+12

则玉+/=-^—,X1X2=9

2

S=三产网西一七|=3y/（x,+x2）-4x,x2=3、四/44=18G

所以APZB的面积2Vk

2k"=--

解得人=2或3（舍去），

故/的方程为或y=_&x+3&.

21.如图1,在直角三角形"SC中，NC为直角，N"=30°,°在NC上，且

DA=DC=6作DEJ.4B于E,将MDE沿直线DE折起到0PDE所处的位置，

连接P8,PC,如图2

(1)若平面PDEI平面BCDE,求证:BEVPD.

276

（2）若二面角0-。£一/为锐角，且二面角「一8C-E的正切值为9，求尸8的长.

【答案】（1）证明见解析

⑵而

【解析】

【分析】（1）由题意知由面面垂直的性质定理可得BE，平面POE,进而可得

BE1PD.

（2）作PH1BE所在的直线于点H，由题意可得知DE1BE,DE_LPE,所以E£>J_平面

PEB,即可得平面平面8CQE,作"G_L8C于点G,连接尸G,进而可得

tan0=P“2屈

NPGH为二面角的平面角，设NPGH=e,则皿-GH-9，设

3\l6x-4x22瓜

CG=xfo<x<-

AH=2x,HE=--2x,HB=4-2x下不~?=丁

，则2,进而可得W(2-x)9

1

解得2.再由PB7PH2+HB?,计算即可得答案.

【小问1详解】

证明：由题意知BEIDE,

又平面PDE±平面BCDE,平面PDEA平面BCDE=DE,BEu平面BCDE,

所以8£_L平面POE.

又PDu平面PDE,

所以BE工PD；

【小问2详解】

解：由题意知OE’BE'OE’PE,

PEcEB=E,PEu乎面PEB,EBu平面PEB,

因而EO,平面力，

又EDu平面BCDE,因而平面P8E平面5CDE

如图，作W6E所在的直线于点”，

又平面P8£c平面5CZ）E=8E,PHu平面PBE,所以「"，平面8CDE

作"G'BC于点G,连接PG,

则NPG”为二面角产一8C—E的平面角，

z>tan0=2加

设2PGH=e,则9,

在△/8C中，ZC=90,/LA=30,DA=DC^43,

3

AB=4,BC=2,AE=-

所以2,

CG=x|0<x<-]AH=2x,HE=--2x,HB^4-2x

设I4人则2

=2x]=y]6x-4x2,HG=—HB=>5(2-x)

因而V4UJ2

_PH__2n46x-4x'=2^1

在直角三角形P〃G中，,an-HG-9,即百(2-x)'，

116

X——X---

解得2或11(舍去)，此时尸"=0,"5=3,

从而PB=y/PH2+HB2=VTT.

2222

「+斗=1（0〉6〉0）---=1

22.已知椭圆0：a-b~的长轴为双曲线84的实轴，且椭圆

。过点尸（2,1）.

（1）求桶圆°的标准方程：