2022衡水高考名师数学卷：07三角恒等变换与解三角形

2022衡水名师原创数学专题卷

专题七《三角恒等变换与解三角形》

考点19：三角恒等变换（1-6题，9,10题，13,14题，17,18题）

考点20：正，余弦定理及解三角形（7,8题，11,12题，15,16题，19-22题）

考试时间：120分钟满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知sin(色-a)

r则的值为（）

724247

A.B.C.D.

25252525

2.已知a"0,郡in1兀、

a+一二一'则cosa+一=()

<12j3I、4,I

B2^6—12-3口

A.GIC.瓜屈一

6666

3.sin373°cos7670-sin77°sin227°=()

A.-B正C—也D._@

222

tan75°-1(

4.cos240sin30-sin(-60)sin120+。=()

1+tan75

A」+正c」+如D」_也

232323

5.已知a，且.a。+9=cos£（l-cos2a）,则下列结论正确的是（）

A.2a—B.2a+P=5C.a+=yD.0一夕=]

6.已知2sina=1+20cosajijsin(2a一令=()

7./\Z8C的内角4&C的对边分别为a,b,c•已知0=60。/=应,c=7J，则sinZ=()

A.』+&B,瓜-叵C.正D.-

4422

8.△*BC的内角4''0的对边分别为"'"c,已知asinN-bsinB=4csinC,cos4=厕—=

（）o

A.6B.5C.4D.3

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3

分。）

9.下列各式中，值为@的是()

2

入sin15°cos15°D2兀兀•2

A.B.cos——sin—

66

Ctan30°

1-tan230°

10.在△“8C中,siM=』，cos5=3,则下列结论正确的是（）

135

124

A.cosA=±—B.sin8二—

135

D.sinC=—

65

11.下列说法正确的有（）

A.在△/BC中'a:b:c=sin4:sinB:sinC

B,在"BC中，若sin24=sin28，则△孙;为等腰三角形

C./k/BC中，sin/>sin8是4>8的充要条件

D.在△'8C中，若sin/=L则/=二

26

12.在△NBC中，角48,C的对边分别为。，瓦c，下列结论中正确的选项有（）

A,右A>B'则sinA>sinS

B•若sin24=sin28，则△"C可能为等腰三角形或直角三角形

C•若acos8icosA=c，则定为直角三角形

D.若8=四,a=2且该三角形有两解，则”的取值范围是（百，2）

第H卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知sina+~则sin

14.计算sin"0。

1+sinlO0

15.在zx/BC中，角48,C的对边分别为4,6,"=4,a=4正sin/,且角C为锐角，则

△/8C面积的最大值为.

16.已知△/"：中，角48,。的对边分别为。,瓦，,若（；05/=—,/,=5,35抽。=2$抽/,则'

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（本题满分10分）已知sin2a+gc°s2a=二.

sina-V3cosa

2a-空］的值;

(1)求cos

空工］，且角B的终边是由角a的终边逆时针旋转巴得到的，求c°s£的值.

22J2

18.(本题满分12分)在中,cosJ=—,tan—+cot—=—

1322

(1)cos(Z-B)的值;

(2)cos―—―的值.

2

19.(本感满分12分)已知4+§+c=兀，sinZ+sin8+sinC=cos4cos5+cosC工0，求

cos2J+cos2^+cos2C

sin+sin5+sinC

20.（本题满分12分）在△”（？中，角48,C的对边分别为a力,c。

L0c

⑴右。=3Gb=&,cos3=—，求的值;

⑵若『啜求加的值。

21.（本题满分12分）在平面四边形中，44£>C=90。，/A=45°,AB=2,BD=5。

⑴求cosNZOB；

⑵若。C=2V2，求BC。

22.(本题满分12分)在△N8C中，内角Z,8,C所对的边分别为a,b,c，且2acosC-c=2b。

(1)求角A的大小；

⑵若。=四，角B的平分线员)=6，求"的值。

参考答案及解析

L答案：D

解析：=,,

._3

••COSCt—.

5

27

cos2a=2cos-a-1=--->

25

故选：D

2答.案：B

解析：由ae仿，空■］，得a+1鸣—,-I，

112)12U22)

又sin(a+^)=5'所以cos。"■斗Si斗+总=今

所以

(兀加兀兀火兀2(211Xcoif^LYos—sinfa+-\in-=^x^—x-=^^

I4)LI12j6112；6112；632326

故选B.

3答.案：B

解析：sin373°cos767°-sin77°sin227°=sin(360°+13°)cos(720°+47°)-sin(90。-13°)•

sin(180°+47°)=sin13°cos47°+cos13°sin47°=,、y/j珀、小口

,)sin(13°+47o)=sin60°=y->故达B.

4.答案：A

解析：cos240sin30-sin(-60)sin120+阿"—J.

''1+tan75

=H)4<百、x6+tan(75-45)

1V3

=一十—•

23

5.答案：A

sina2sin2a1-cos2a

:tana=-------=----------------=-------------

cosa2sinacosasin2a

l-c°s(J+月

1+sin夕

咤+1cos/3

由sin2a(l+sin夕)=cos/3(\-cos2a)得1+sin夕与鬻厕tana=tan[：+?)，又

cos/?

T%”守岛）函数…n'在区间吗上单调递胤所以a=即

2a-p=],故选A.

6.答案：D

解析：由2sina=1+2>/3cosa/守4sin2a-4\/3sinla+12cos2a=1

则2(1-cos2a)-4右sin2a+6(1+cos2a)=1，4>/5sin2a-4cos2a=7

故_Isin2a--cos2a=N，sin(2a一目=石,故选D

22868

7.答案：A

C=60°,b=6,c=y5b_c72_V3

解析：由题意，，由正弦定理得sin8sinC,即而万一二万解得

T

.72''b<c：,B<C：.B=45°：,A=180°-60°-45°=750

sinB=——

2

Asin^=sin75°=sin(45+30。)

=sin45°cos30°+cos450sin30°V2也411V6+V2

=-----x-------1------x—=-------------

22224

8.答案：A

解析：由题意及正弦定理得,，所以由余弦定理得

=_4C2

cos/==二2《=-_1,化简得2=6。

2hc2hc4c

9.答案:CD

解析：因为sinl5°cosl5°=，sin30°=，x,=，，所以A不正确;

2224

因为cos2%?&n2_=cos_=_，所以B不正确；

6632

因为tan30°_12tan30°一1门口人。。一道，所以C正确;

----------------——x-----------------——ianou------

1-tan230°21-tan230022

因为(l+cos60°_1+2_V3>所以D正确•

\2

故选：CD.

10.答案：BD

解析：因为cos8=之,所以sin8=±B正确.因为sin4=—，所以cos/=土”.因为

sin5=3>sin4=2,所以8<',所以角A为锐角，所以cos4=U,A错误,

cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=—x--------x—=—；—,C车昔

13513565

sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinB=—x—+—x-=—,D正确.

13513565

11.答案：AC

解析：由正弦定理，_=_^_=_^=2火

sinAsin5sinC

可得：a:b:c=2RsmA:2RsinB:2RsinC

即Q:b:c=sin/：sin8:sinC成立，

故选项A正确;

由sin2Z=sin2B可得24=28或2Z+2G='

即4=8或4+8=工

2

则△/BC是等腰三角形或直角三角形，

故选项B错误;

在△/6C中，由正弦定理可得

sin/>sin8=。>b=4>8，

则sin4>sin8是4>8的充要条件，

故选项C正确；

在△'BC中，若sin/=_L，则/或/=2，

266

故选项D错误.

故选：AC.

12.答案:ABCD

解析：对于A选项，由正弦定理得/>Boa>bosinQsin5,故A选项正确.

对于B选项，由于sin2/=sin28=sin*2-5),由于是三角形的内角，所以24=28

或2©-B,即或彳+8=四，所以△“80可能为等腰三角形或直角三角形，故B

2

选项正确.

对于C选项,由acosB-bcos/=c以及正弦定理得sin4cos8-sin88sz=sinC'

即sinAcosB-sinBCOSA=sin(力+=sinAcosB+cosAsinB9

匚匕i、12sin5cos力=0.-T-sin5>0cosJ=0匚口、］,n.dABC红一目

所以，由于，所以，所以Z二一，故定为直角二角

2

形.故C选项正确.

对于D选项，B=-,a=2,且该三角形有两解，所以asm'<0<",即2$出囚</><2,也

33

即石<%<2，故D选项正确.

故选：ABCD.

13.答案：1

3

兀兀兀兀亍cosp-)

解析:因为sin——a+=cosa+cosacos——sinasin-=—cosa------sina

2)3322

百(@cosa一端a

=一百sin(a-§),所以一

22即

sm(a-y)=-.

14.答案：1

2

解析.sin?50。_1-cos100°_1-cos(90。+10。)_l+sinl00_\_

l+sin!0°-2(l+sinl0°)-2(1+sin10°)-2(l+sinl00)-2

15.答案：4+4&

解析：在△例;中，

•/a=4V2sinAc=49

a=V2csinA'

由正弦定理得sin/=&sinCsin/'

由0策/<，可得sinZwO，

・•・亚sinC=l,gpsinC=—

2

•・•角C为锐角，

:.C=-，

4

由余弦定理得c?=/+〃-2abcosCf

力+/一缶b=i6'

a2+ft2>2ab'

a2+b2-42ab>(2-回ab，B|J16>(2-五)ab，

aft<—^=8(2+72),

2-V2

当且仅当—=2再适时,等号成立,

SA.„r=-absmC=—ab<4+4y/2'

/IDC24

.,.△ABC面积的最大值为4+472

16.答案:6

解析：由3sinC=2sinA及正弦定理，得3c=2a,设c=2m，则0=3江由余弦定理，得

b1+cr-a225+4m2-9w2L整理，得3加2-4加-15=0,即(加-3)(3〃?+5)=0,

cos/=

2bc20m3

解得2或…消去）・所以‘=6

17.答案：（1）解法一由题意得sin2a+fcos2rt2=_§_12=_2sinfa+_L—

63

sina-73cosa_2cosa+|1>

故sin（a+.）=§

所以sin

所以cos（2a2cos21=--1=

sin2a+百cos2a

解法二由题意得

sina-V3cosa

3

(2)由题意得尸=a+］,所以］=?一5.

由1知sin（a+：）r所以.仅一畀J=§

即sin（夕一1）=§

因为T甥］,所以0净层

又所以0_

6

所以c

18.答案：(1)•「cosZ=9，A为三角形的一个内角・・・sin%=U

1313

BB10B

tan—+cot—sid

22T_N+_I_%23

由得

B.B3sinB35

cos—sin—

22

又

sin8<sin4=>6<a=8<力

456

cosB=—,cos(Z-B)=cosAcos8+sin4sinB=—

565

(2)由(1)cos(J-B)=—^0<―—―<—

6522

.A-B_ll+cos(A-B)_lly/130

••COS-AI=

2\2130

解析：

19.答案：将条件式两边平方得

sin2A+sin2B+sin?C+2(sin4•sin8+sin8•sinC+sinC-sinA)

=cos24+cos26+cos2C+2(cosA-cosB+cosB-cosC+cosC-cosA)•

因为

(cos2-sin24)+(COS25+sin25)4-(cos2C-sin2C)+2[cos(^+5)+cos(54-C)+cos(C+24)]=0

所以cos24+cosB+cos2C=2(cosA+cosB+cosC)=2(sin4-sin5+sinC)

所以原式这道题的关键就是第一步平方，因为所求式子中出现了二倍角，只能通过

一乙

升次和倍角公式才能得到所以用平方来升次.

解析：

20.答案：(1)因为a==V^,cos8=g,

由余弦定理cosB=an得,2=(3C『+D,

2ac32x3cxc

即C2=L所以C=3。

33

(2)因为则且_cos8

a2b

由正弦定理‘一=上,得虫=电上,

sinAsinB2bb

所以cos8=2sin8°

从而cos?B=(2sin8)［即cos26=40—cos?B)

,,，4

故cos2B=—0

5

rnwsinB>0u-、［cos8=2sin8>0”工

因为，所以，从而