高斯曲率的计算公式解析

1第二章曲面论高斯曲率的计算公式高斯曲率绝妙定理K=kk=L=nM=n.N=n.r=uN=n.r=uvvvK==[(r,r,r)(r,r,r)(r,r,r)2]，(EGF2)2uvuuuvvvuvuv2，利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得，ru|(|ru|uuuv=r.ruur.rvur.rr.ruvr.rvvr.ruuvr.ruvvr.rvvvr.ruuvvr.ruur.rvur.ruvur.ruvr.rvvr.ruvvr.ruuvr.rvuvr.ruvuv=EFr.ruuuFGr.ruuvr.ruvvr.rvvvr.rvvEFr.ruvuFGr.ruvvr.ruuvr.rvuvr.ruvuv=EFr.ruuuFGr.ruuvr.ruvvr.rr.rr.ruuvvuvuvEFr.ruvuFGr.ruvvr.ruuvr.rvuv0(其中用到行列式按第三行展开计3利用r.r=E，r.r=F，uuuvr.r=G，vv，可得r.r=1E，uuu2u1vvu2u1r.r=E，uuv2v1r.r=G，vvv2v1r.r=FE1r.r=FGuvvv2u。r.rr.r=(r.r+r.r)(r.r+r.r)uuvvuvuvuuvvuvvuuvvuuvuv=(r.r)(r.r)uvvuuvuv=(F=(FG)(E)=FGE或者r.rr.r=(r.r)(r.r)uuvvuvuvuuvvvuvu=(F=(FE)(G)u11=FEG4于是得到EK=[F(EGF2)21EFG11v2u1EF1EFG1G1E10]公式被称为高斯定理，且被誉为将上式中的行列式按第三列展开，并化简，可得4(EGF2)2vvuvu+F(EGEG2EF+4FF2FG)uvvuvvuvuu+G(EG2EF+E2)uuuvv2(EGF2)(E2F+G)],(2)u高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一类基本量及5，，。高斯曲率用第一类基本量明确的表达式由Brioschi公式(1)给存在等距对应的两曲面，曲面上对应点处的高斯曲率必相等。球面片与平面片之间不存在等 Fr.ruuu=F=FFGr.ruuvFGr.ruvvr.rvvvr.rr.ruuvvuvuvEFr.ruvuFFFGr.ruvvFGr.ruuvr.rvuv00EFGF1E1GEFFG0]6F=0，EK=11E0G11Gu1v11uE01E0G1u1E10]=[E(GEGG+EG)+G=[E(GEGG+EG)+GEG(EGGEGE)](EG)22vv2uu2v2v2u2u2u2u2v2v=[1(E+G)1(EEG+EGG+EGG+EGE)]2EGvvuu4(EG)2vvuuuuvv,11,K=[(E+G)(EEG+EGG+EGG+EGE11,2EGvvuu4(EG)2vvuuuuvv经过观察，通过凑微分，得到2EGvvuu4(EG)2vvuuuuvv=[(G+E)[G(EG+EG)+E(EG+EG)]EG2EGuuvv4(EG)3uuuvvv7EG2EGuuvv4(EG)3uuvvEG2EGuuu2EGu2EGvvv2EGv=一[(=一[(G)+(E)]EG2EGuu2EGvvG)(E)EGEuGvGE)GE)EGEuGv(验算这个量的散度的动因，是在用测地曲率的刘维尔公式，推导高斯-波涅公式时，出现求散度的运算，导致两者的表达方式是一致EG?uE?vG8K=1[?(1(?(1EG)))+?(1?(1EG)))]，EG?uE?uE?vG?vG?gii(giig))。K?gii(giig))。g?uii=1ii的第一基本形式为，则称此坐标网为等温参数网。1(G)(E)K=[(u)1(G)(E)EGEuGv=[(u)+(v)]==[(ln入)+(ln入)]?u2?v2Laplace算子.9于是在曲面上取等温参数网(u,v)例求第一基本形式为ds2=du2+dv2的曲面高斯曲率。K=[(u)EGEuGv=(u2+v2+c)2[2(v2+cu2)+2(u2+cv2)]=4c。(u2+v2+c)2(u2+v2+c)2例求第一基本形式为的曲面上的高斯曲率。由(3)式，得K=GK=G+GG=(G)。高斯曲率的计算公式在C2类曲面线为v--曲线，则得一半测地坐标曲面的第一基本形式可以简化为I(du)2+G(u,v)(dv)2，其中G(u,v)满足条件。在曲面上选取了半测地坐标网后，曲面的高斯曲率有如下的计算式1?2GK=。G?u2常高斯曲率的曲面数，即K=常数，则得微分方程?2G+KG=0。u，我们可按以下不同情形求出这个(1)(1)GAvcosKu+B(v)sinKu。根据初始条件，可得，于是G=cosKu，I(du)2+cos2Ku(dv)2。则所有经线是与赤道正交的测地线，所有纬线是这测地线族的正交轨线，因此球面上的经线和纬线构则球面的参数表示是uvE=r.r=R2,F=r.r=0,uuuvG=r.r=R2cos2u，。。在球面上重新选择参数，命1?2G1u1K==1?2G1u1G?u2cosuRR2，R，所以正常数高斯曲率的曲面的第基本形式与球面的相同。正常数高斯曲率的曲面与同高斯曲率的球面之间存在着保距变换。(2)K=0，从而有G=1，所以零高斯曲率的曲面的第一基(3)负常数高斯曲率的曲面，根据初始条件，可得，。由此可知,具有相同常数高斯曲率的曲面都可适当选取参数,使曲面具有相同的第一基本形式,因此可建立等距对应.由上述定理知道,具有常数高斯曲率的曲面(这种曲面称为常曲率三种类型.而属于同一类型的曲面它们的内在几何是相同的.平面作高斯曲率为正常数的代表.换句话说,高斯曲率为零的曲面都可以与平面建立等距对应,高斯曲率为正那么自然会问什么曲面可以作为高斯曲率为负常数的代表?中找出这个代表.z转后形成了旋转面代入旋转曲面的高斯曲率公式K=[x,(t)z,,(t)x,(t)z,(t)]z,(tK=x(t)[(x,(t))2+(z,(t))2]2得其高斯曲率为z,(x)z,,(x)为了使这个曲面的高斯曲率1K=2所以待定函数z=z(x)就必须满足下列=a将其改写成1[(zp(x))2]p=11(x2)p，2[1+(zp(x))2]22a2=x2+CC=0，，xa2x2，，x222绕z-轴旋转后所得的旋转曲面的高我们把母线(4.4)称为曳物线.而把曳物线绕z-轴旋转后所得的曲面称为伪球面.由著名的高斯定理,曲面的高斯曲率K被其第一基本形式完全确定.因此,若两个曲面可建立等距对应,则对应点的高斯曲率必相等.但反之则不然.【例1】证明:曲面1在点(u,v)与(u,v)处的高斯曲率相等,但曲面S与11不存在等距对应.1【证明】容易算出正螺面与旋转曲面的第一基本形式分别为1，II=(1+)(du)2+u2(dv)21再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程)K=[(u)+(K=[(u)+(v)]EGEuGv经过计算得出曲面S和的高斯曲率分别为11K=(u2+1)2，1K=1(u2+1)2。1因此取对应点(u,v))(u,v)，便成立1。1但是曲面S与不存在等距对应.我们用反证法.1若曲面S与之间存在等距对应,1则对应点的高斯曲率必相等,所以11因此对应关系为(u=士u,1这时的第一基本形式11uuvu2uuv