2022年浙江省衢州市信达中学高三数学文期末试卷含解析

2022年浙江省衢州市信达中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是(

)A． B．C． D．参考答案：D试题分析：据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，

.故反映这个命题本质的式子是.故选D考点：数列递推式2.定义在上的函数满足,当时,不等式的解集为A.

B.

C.

D.参考答案：D3.函数：①y=x?sinx②y=x?cosx③y=x?|cosx|④y=x?2x的图象（部）如图所示，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（） A．④①②③ B． ①④③② C． ①④②③ D． ③④②①参考答案：考点： 正弦函数的图象；余弦函数的图象．分析： 依据函数的性质与图象的图象对应来确定函数与图象之间的对应关系，对函数的解析式研究发现，四个函数中有一个是偶函数，有两个是奇函数，还有一个是指数型递增较快的函数，由这些特征接合图象上的某些特殊点判断即可．解答： 解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③故选C．点评： 本题考点是正弦函数的图象，考查了函数图象及函数图象变化的特点，解决此类问题有借助两个方面的知识进行研究，一是函数的性质，二是函数值在某些点的符号即图象上某些特殊点在坐标系中的确切位置．4.在△ABC中，点的最小值是A．-3

B．6

C．9

D．24参考答案：B5.设z=1﹣i（i为虚数单位），若复数﹣z2在复平面内对应的向量为，则向量的模是（）A． B．2 C． D．参考答案：D【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．【分析】把z=1﹣i代入﹣z2，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数﹣z2在复平面内对应的点的坐标，的的坐标，再由向量模的公式求解．【解答】解：∵z=1﹣i，∴﹣z2=，∴复数﹣z2在复平面内对应的点的坐标为（1，3），向量为=（1，3），则||=．故选：D．6.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.如果对定义在R上的函数，对任意，均有成立，则称函数f(x)为“和谐函数”.给出下列函数：①；②；③；④.其中函数是“和谐函数”的个数为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B由已知得，所以函数为“和谐函数”等价于在上为增函数，由此判断①在上为增函数，符合题意；②得，所以在上有增有减，不合题意；③得，所以在上为增函数，符合题意；④可知为偶函数，不合题意，所以①③符合题意，故选B.8.函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：B9.等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn,若,则（

）

参考答案：A在等差数列中,选A.10.已知正项等比数列{an}满足，若，则n为（）A.5 B.6 C.9 D.10参考答案：C【分析】利用已知条件求出等比数列的首项和公比，通过等比数列的性质将进行转化，利用首项和公比表示，得到关于的表达式，解出答案．【详解】解：正项等比数列满足，可知其公比，且可得，，解得，代入，可得，，可得，而所以，即，解得．故选：C．【点睛】本题考查利用等比数列的基本量进行计算以及等比数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在点处存在极值，则a=

，b=

。参考答案：-2，略12.如图，自然数列按正三角形图顺序排列，如数9排在第4行第3个位置；设数2015排在第m行第n个位置，则m+n=

．参考答案：125【考点】归纳推理．【分析】本题根据图形排列的规律，发现每一行的最后一个数是正整数数列的前n项和，从而可以求出第m﹣1行的最后一个数，从而算出m的值，然后推导出第m行的第n个数的表达式，从而求出n的值，得到m+n的值，得到本题结论．【解答】解：∵如图，自然数列按正三角形图顺序排列，∴第1行最后一个为：1，第2行最后一个为：1+2=3，第3行最后一个为：1+2+3，第4行最后一个为：1+2+3+4，…第m﹣1行最后一个数为：1+2+3+…+（m﹣1）==．∵数2015排在第m行第n个位置，∴，m∈N*，且，∴m=63，n=62．∴m+n=125．故答案为：125．13.若一个球的体积是36π，则它的表面积是______参考答案：36π设铁球的半径为,则，解得；则该铁球的表面积为.考点：球的表面积与体积公式.14.在中，角所对的边分别为，，，则周长的取值范围是_________.参考答案：考点：余弦定理，基本不等式，三角形的性质．15.以(0,m)间的整数N)为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以间的整数N)为分子，以为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；……，依次类推以间的整数N)为分子，以为分母组成不属于A1，A2，…，

的分数集合An，其所有元素和为an；则=________．参考答案：【知识点】数列求和

D4C

解析：由题意＝++…+＝++…+++…+++…+=++…+-(++…+)＝++…+-a1a3＝++…+-a2-a1an＝++…+-an-1…-a2-a1所以=++…+=·[1+2+…+(mn-1)]＝【思路点拨】根据数列的特点，求出数列的所有项的和.16.给出下列四个结论：①命题“的否定是“”；②“若则”的逆命题为真；③已知空间直线，则的一个必要非充分条件是与所成角相等；④已知函数，则的最大值为。其中正确结论的序号是______________________________。参考答案：①③④17.函数的值域为______.参考答案：[－1,2]【分析】利用降次公式和辅助角公式化简函数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】由，当时，，则，所以.【点睛】本小题主要考查降次公式、辅助角公式的应用，考查三角函数求值域的方法，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知锐角△ABC面积为S，∠A,∠B,∠C所对边分别是a,b,c，∠A,∠C平分线相交于点O,且，求：（1）∠B的大小；（2）△AOC周长的最大值.

参考答案：解：（1）

故：.

..............4分（2）设周长为，，则，.............6分由正弦定理得，

=

…………10分

当时，周长的最大值为.

…………12分

19.（本小题满分13分）已知函数.（1）当的单调区间；（2）设函数处的切线为,直线轴相交于点Q.若点Q的纵坐标恒小于1，求实数a的取值范围.参考答案：20.（10分）已知数列{an}的前n项和为,且,n∈,数列{bn}满足，n∈.(1)求(2)求数列{}的前n项和Tn.参考答案：【知识点】数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．【答案解析】(1);(2)解析：(1) 由Sn=,得

当n=1时,;当n2时,,n∈.由an=4log2bn+3,得,n∈

………5分(2)由(1)知,n∈所以,,,n∈.………10分【思路点拨】(1)由Sn=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由an=sn﹣sn﹣1可求通项，进而可求bn；(2)由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和21.（本小题共14分）已知函数

．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论的单调性；

（III）若存在最大值，且，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）当时，．．所以．又，所以曲线在点处的切线方程是，即．（Ⅱ）函数的定义域为，．当时，由知恒成立，此时在区间上单调递减．当时，由知恒成立，此时在区间上单调递增．

当时，由，得，由，得，此时在区间内单调递增，在区间内单调递减．（III）由（Ⅱ）知函数的定义域为，当或时，在区间上单调，此时函数无最大值．

当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时函数有最大值．最大值．因为，所以有，解之得．所以的取值范围是．

略22.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六