2022年高考真题-理科数学（全国乙卷）试卷（含答案）

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

数学（理科）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答

题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1.设全集。={1,2,3,4,5},集合M满足电M={1,3},则（）

A.2&MB.C.D.5^M

2.已知z=l—2i,且z+应+Z?=0，其中a,匕为实数，则（）

A.a=l,b=—2B.a=—=2C.a=l,b=2D.a=—l,b=—2

3.已知向量a1满足Ia|=1,|b|=6,|a-2b|=3，则。知=（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造

行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{"}：^=1+—,

瓦=1+―,4=1+----\—，…，依此类推，其中%eN*（女=1,2,）.则（）

«4---CCy4------

%

A.<b5B.b3<bsC.b6<b2D.b4<by

5.设F为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点8（3,0）,若|4用=|8b|,则|A3|=（）

A.2B.2V2C.3D.372

6.执行下边的程序框图，输出的〃=（）

/,出”7

CM）

A.3B.4C.5D.6

7.在正方体ABC。-ABC。中，E,P分别为45,3。的中点，则（）

A.平面BXEF_L平面BDD]B.平面BXEF1平面AyBD

C.平面eEb〃平面AACD.平面与Eb〃平面4G。

8.已知等比数列｛%｝的前3项和为168,4-%=42,贝!J4=（）

A.14B.12C.6D.3

9.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱

锥的体积最大时，其高为（）

I1V3＞/2

A.-B.-C.----D.-----

3232

10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、

丙比赛获胜的概率分别为Pl，心,，且上＞〃2＞四＞0.记该棋手连胜两盘的概率为P,则（）

A.P与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,P最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

11.双曲线C的两个焦点为片,工，以C的实轴为直径的圆记为。，过E作。的切线与c交于

3

M,N两点，且cosN£N居=',则C的离心率为()

5

75历

A.--B.-C.---D•---

2222

12.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2—x)=5,g(x)—/(x—4)=7.若

22

y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4,贝UZ/伏)=()

k=]

A.—21B.—22C,—23D.—24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为.

14.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

15.记函数/0)=85(的+0)0＞0,0＜°＜兀)的最小正周期为7,若/(7)=口-,X=A为

/(X)的零点，则(0的最小值为.

16.己知x=x和x=z分别是函数了(幻=2"-ef(。＞0且。工1)的极小值点和极大值

点.若王＜W，则”的取值范围是____________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.(12分)

记△ABC的内角的对边分别为a,》,c,已知sinCsin(A—3)=sinBsin(C—A).

(1)证明：2a2=b2+c2;

25

(2)若a=5,cosA=3，求ZVIBC的周长.

18.(2分)

如图，四面体ABC。中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面血D_L平面ACD;

(2)设43=3。=2,a4。8=60°,点尸在3。上，当A4f。的面积最小时，求。尸与平面

ABD所成的角的正弦值.

19.(12分)

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随

机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m，),得

到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横截面积Xj0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量M0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得X#=0038,£＞：=16i58，Zxp=0.2474.

i=li=li=l

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和

为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木

的总材积量的估计值.

Z（七一亍）（x一歹）

附：相关系数r=IE,VL896«1.377.

In〃

住（不一为3（外一刃2

VZ=1/=!

20.（12分）

已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、｝•轴，且过A（0,-2）,B6,-11两点.

（1）求后的方程；

（2）设过点P（l,-2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,

点H满足MT=TH.证明：直线HN过定点.

21.（12分）

已知函数/（x）=In（1+x）+侬0.

（1）当a=1时，求曲线y=/（%）在点（0,/（0））处的切线方程；

（2）若/（x）在区间（-1,0）,（0,+w）各恰有一个零点，求a的取值范围.

（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所

做的第一题计分.

22.［选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系X。），中，曲线C的参数方程为［"=逝'OS2t,（/为参数）以坐标原点为极点,x

y=2sinr

轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为。sin3+加=0.

（1）写出/的直角坐标方程；

（2）若/与C有公共点，求m的取值范围.

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

333

已知a”,c都是正数，且/+反+/=1,证明：

(1)abc<—;

9

，八abc/1

(2)--------1----------1--------<—j.

b+ca+ca+h2yjahc

2022年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理科)

参考答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答

题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.A2.A3.C.4.D5.B6.B7.A8.D9.C10.D11.C12.D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.A

10

14.(x-2)2+(y-3)2=13ng(x-2)2+(y-l)2='^或

15.3

三、解答题：共。分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必

考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.

（1）

证明：因为5皿。$m（4-8）=$皿35后（。一4）,

所以sinCsinAcos3—sinCsinBcosA=sin3sinCcosA—sinZ?sinAcosC,

a2+c2—〃户+c2-〃

所以ac-=-ab-

lac2bc2ab

72J12

„a-+c-b-22\+b--c-

即n-2--------(b-+c2-a-)=----------------

所以2a2-h2+c2；

(2)

25

解：因为a=5,cosA=8,

由(1)得4+02=50,

由余弦定理可得a2=b2+c2-3ccosA,

贝150—券be=25,

31

所以尻=彳,

故(6+4=/+/+现=50+31=81,

所以8+c=9,

所以ABC的周长为a+b+c=14.

18.

(1)

因为AO=CD,E为AC的中点，所以ACA.DE;

在AABD和CBD中，因为A。=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以△A3。也△C5O，所以AB=C3,又因为E为4c的中点，所以AC，BE;

又因为OE,BEu平面BED,DEcBE=E,所以AC,平面BED,

因为ACu平面ACD,所以平面BED，平面ACD.

(2)

连接EE，由(1)知，AC_L平面BED,因为Mu平面,

所以AC工所，所以S^FC=；ACE/,

当所_LBD时，EF最小，即的面积最小.

因为△AB*aCBD，所以CB=AB=2,

又因为NAC6=60°,所以.ABC是等边三角形，

因为E为AC的中点，所以AE=£C=1,BE=M,

因为45_LCD,所以。E=：AC=1,

在.DEB中，DE2+BE2=BD2,所以BELDE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,

则A(l,0,0),网0,相,0),。(0,0,1)，所以AO=(-1,0,1),48=卜1,收0),

设平面的一个法向量为“=(x,y,z),

n-AD=-x+z=0

则，取了=百，贝11〃=9,后3),

n•AB=-x+6y=0

又因为c(—1,0,0),产，所以b=[l,?,J,

n-CF64G

所以"⑺=

7

瓜Ji

设CF与平面ABD所成的角的正弦值为<o<^<|1,

4百

所以sin。=cos(n,CF

下

所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为迪.

7

19.

(1)

样本中1。棵这种树木的根部横截面积的平均值I=£=006

39

样本中10棵这种树木的材积量的平均值了=m=0.39

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m?,

平均一棵的材积量为0.390?

(2)

1010

ZG-可(苗-9)ZWi-10取

房—)2自y—)2心/回停：_咐

0.2474-10x0.06x0.39=0。34.0.0134”

7(0.038-10X0.062)(1.6158-10X0.392)V0.00018960.01377

则y0.97

(3)

设该林区这种树木的总材积量的估计值为加？,

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

_后0.06186立一=二

可得同=~F，解之得Y=1209m3.

则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3

20.

(I)

解：设椭圆E的方程为的之+ny2=l,过A(0,-2),哈-11,

4〃=1

贝卜9,,解得"?=；,n=-,

—m+n=]34

14

22

所以椭圆E的方程为：匕+土=1.

43

(2)

32

A(0,-2),B(-,-l)，所以AB:y+2=§x,

22

①若过点P(l「2)的直线斜率不存在，直线x=l代入r上+v工=1,

34

2

可得M（l,,N(l「，代入A8方程y=§x-2，可得

r(V6+3,,由MT=7W得到”(2指+5,.求得HN方程：

>'=(2-一2,过点(0,-2).

②若过点外1，-2）的直线斜率存在，设区—y—/+2）=0,M（%，x）,N（X2，%）.

日-y—伏+2)=0

2

联立%y2，得(3左2+4)/-6乂2+左)％+3%(%+4)=0,

—+—=1

34

6k(2+%)-8(2+A:)

乂+必=卡"

可得，

3奴4+Z)4(4+4%—2女2)'

中2=上屋%%=3公+4

-24k,*、

且玉％+引=诉（.）

y=x3V

联立《2c，可得++6-%方).

y=-x-22

3

可求得此时”Myf=3M+2：r产F，

将（0,-2），代入整理得2（%+々）-6（乂+必）+玉%+工2必一3%％—12=0,

将(*)代入,得24人+12公+96+48&-24k-48-48k+24r-36/一48=0,

显然成立，

综上，可得直线"N过定点（。,-2）.

21.

(1)

■/'(X)的定义域为(-1,+8)

Y11-r

当a=1时J(x)=ln(l+x)+丁,/(0)=0,所以切点为。0)f(x)=-—+一(0)=2，所

以切线斜率为2

所以曲线y=fM在点(0,/(0))处的切线方程为y=2x

(2)

ax

/(x)=ln(l+x)+与

e

+=I")

l+xex(l+x)ev

设g(x)=e"+a(l—%2)

2

1°若a>0,当xe(-1,0),g(x)=e"+a(l-r)>。,即f(x)>o

所以fM在(-1,0)上单调递增./(x)</(O)=0

故f(x)在(-1,0)上没有零点不合题意

2°若一掇上0,当尤e(0,+oo)，则g'(x)=ex-2ax>0

所以g。)在(0,"0)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a.0.即f\x)>0

所以/(X)在(0,+«)上单调递增,/(x)>/(0)=0

故/(X)在(0,+oo)上没有零点，不合题意

3"若4<-1

⑴当xe(0,-KO)则g'(x)=er-2ax>o，所以g(x)在(0,+co)上单调递增

g(0)=1+a<0,g⑴=e>0

所以存在me(0,1)，使得g(m)=0,即/(加)=0

当xe(0,m),f'(x)<O,f(x)单调递减

当xe(机,+oo),/'(x)>O,f(x)单调递增

所以

当xe(O,㈤J(x)</(0)=0

当X—>+8,f(X)—>4-00

所以fM在(见+00)上有唯一零点

又(0,〃。没有零点，即/⑴在(0,+oo)上有唯一零点

⑵当xe(-l,0),g(x)=e*+a(1-J?)

设h(x)=g'(x)=ev-lax

h(x)=ex-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)单调递增

g(_l)=l+2a<0,g'(0)=l>0

e

所以存在〃G(-1,0)使得g'(n)=0

当xe(-1,〃),g'(x)<0,g(x)单调递减

当xe(〃,0),g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)<g(0)=1+a<0

又g(-l)」>0

e

所以存在t€(-1,n)，使得g(f)=0,即f'(t)=0

当xw(-1J)J(x)单调递增，当xe(f,0)J(x)单调递减

有x—>-1J(x)—>-00

而/(0)=o，所以当Xe(t,0),f(x)>0

所以fM在(-1,0上有唯一零点,“，0)上无零点

即f(x)在(-1,0)上有唯一零点

所以。<-1,符合题意

所以若"X)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求a的取值范围为(TO,-1)

(二)选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所

做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.

(1)

因4/: