统计5（1）水平速度分析

第五章时间数列第一节时间数列的概述概述第二节时间数列水平指标水平第三节时间数列速度指标速度第四节时间数列变动因素分析因素

2023/6/111扬州大学管理学院第一节时间数列的概述一、时间数列的意义和种类1、概念：时间数列又称动态数列，它是指某社会经济现象的一系列统计指标值按时间先后顺序加以排列后形成的数列。因此，时间数列由两部分构成，一部分是反映时间顺序变化的数列，一部分是反映各个指标值变化的数列。Timeseries2023/6/112扬州大学管理学院【例】国内生产总值等指标时间数列年份GDP（亿元）年末人口数（万人）人均GDP（元/人）1997199819992000200120027452078345820678944295933102398123092124219125927126259127181128045605463076517708475437997时间数列的要素之一：时间t时间数列的要素之二：变量a2023/6/113扬州大学管理学院2、意义：根据历史资料，编制时间数列来研究社会经济现象数量方面的发展变化过程，认识其发展规律并预见它的发展趋势，就是动态分析的方法。因此，编制时间数列就是计算动态分析指标，以考察现象发展变化的方向和速度，预测现象发展的趋势。同时时间数列分析有助于了解过去经济活动的规律，评价当前，安排未来，所以是社会经济统计的重要分析方法。2023/6/114扬州大学管理学院3、种类：时间数列按其指标表现形式的不同分为三种：

（１）绝对数数列

绝对数数列是将总量指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列形成的数列。它反映的是现象在一段时间内达到的绝对水平及增减变化情况。由于总量指标有时期指标和时点指标，因此，绝对数数列又可分为时期数列和时点数列。2023/6/115扬州大学管理学院

所谓时期数列是指由时期指标构成的数列，即数列中每一指标值都是反映某现象在一段时间内发展过程的总量。时期数列具有以下特点：（１）数列数据资料具有连续统计的特点；（２）数列中各个指标数值可以相加；（３）数列中各个指标值大小与所包括的时期长短有直接关系。

2023/6/116扬州大学管理学院所谓时点数列是指由时点指标构成的数列，即数列中的每一指标值反映的是现象在某一时刻上的总量。时点数列具有以下特点：（１）数列指标不具有连续统计的特点；（２）数列中各个指标值不具有可加性；（３）数列中每个指标值的大小与其时间间隔长短没有直接联系。2023/6/117扬州大学管理学院（２）相对数数列

相对数数列是将一系列同类相对指标值按时间先后顺序排列而形成的数列。它反映的是社会经济现象之间相互联系的发展过程。

（３）平均数数列平均数数列是将一系列平均指标值按时间先后顺序排列而形成的数列。它反映的是社会经济现象总体各单位某标志一般水平的发展变动程度。2023/6/118扬州大学管理学院动态数列的种类总量指标动态数列相对数动态数列平均数动态数列时期数列时点数列连续时点数列间断时点数列2023/6/119扬州大学管理学院例如：2023/6/1110扬州大学管理学院二、时间数列的编制原则

（一）时期长短应该相等

（二）总体范围应该一致

（三）指标的经济内容应该相同

（四）指标计算方法和计量单位应该一致2023/6/1111扬州大学管理学院第二节时间数列水平指标

一、发展水平

1、概念：发展水平它反映社会经济现象在各个时期所达到的规模和发展的程度。又称发展量。发展水平既可以表现为总量指标，也可表现为相对指标或平均指标。发展水平实际就是动态数列中的每一项具体数值。2023/6/1112扬州大学管理学院2.发展水平的表示：若以：a0、a1、a2、a3、…、an-1、an分别代表动态数列中的每一个数值，则：a0、a1、a2、a3、…、an-1、an为数列中的发展水平，其中a0为第一年的发展水平；a1为第二年的发展水平；an为第n+1年的发展水平。根据数列中a值所在的不同位置，其值分别被称为最初水平、中间水平和最末水平。2023/6/1113扬州大学管理学院报告期水平和基期水平。研究的时期水平为报告期水平，用以对比的时期水平为基期水平。a0

为基期水平；a1为报告期水平。发展水平的表述：发展水平在文字上习惯用“增加到”、“增加为”、“降低到”

、“降低为”表示。处在第一位的a0值为最初水平，a1、a2、a3、a4、…、an-1

项为中间水平，an为最末水平。2023/6/1114扬州大学管理学院

平均发展水平又称序时平均数（动态平均数）。它是动态数列中各项发展水平的平均数，反映现象在一段时期中发展的一般水平。序时平均数与一般平均数既有共同之处又有区别，其共同点是：它们都是将各个变量值差异抽象化。二、平均发展水平2023/6/1115扬州大学管理学院其区别是：

①两者所说明的问题不同：序时平均数是从动态上表明同类社会经济现象在不同时间的一般水平；一般平均数是从静态上表明同类社会经济现象在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。

2023/6/1116扬州大学管理学院②所需资料不同：序时平均数是根据时间数列计算的，而一般平均数是根据变量数列计算的。③计算方法不同：序时平均数是根据不同时期的指标数值和时期项数计算的；一般平均数是根据同一时期的标志总量和总体单位总量计算的。2023/6/1117扬州大学管理学院

平均发展水平的计算有以下几种方法：(1)由绝对数数列计算序时平均数由于总量指标动态数列分为时期数列和时点数列，而形成以下几种计算方法：①由时期数列计算： 计算公式2023/6/1118扬州大学管理学院例：我国1996－2001年彩色电视机产量单位：万台求1996－2001年彩电的平均产量。年份199619971998199920002001产量2538a12711a23497a34262a43936a53967a62023/6/1119扬州大学管理学院②由时点数列计算时点数列有连续时点数列和间断时点数列之分，其计算方法也不相同。连续时点数列：即按日（天）登记的资料间隔不相等的连续时点数列计算公式间隔相等的连续时点数列计算同时期数列2023/6/1120扬州大学管理学院某商店2011年6月下旬营业员人数资料：日期21222324252627282930人数76798078807781848382该店的平均营业员人数为：2023/6/1121扬州大学管理学院某企业2011年6月职工人数资料如下表：日期1日9日14日25日人数1200124012201230该企业的平均职工人数为：2023/6/1122扬州大学管理学院在间断时点数列的条件下计算又有两种情况：若间断的间隔相等，即间隔相等的间断时点数列，先计算相邻两个时点之间的序时平均数，然后根据这些平均数，再用简单算术平均法计算整个研究时间的序时平均数采用“首末折半法”计算。公式为：2023/6/1123扬州大学管理学院2023/6/1124扬州大学管理学院若间断的间隔不等，先计算相邻两个时点之间的序时平均数，然后根据这些平均数，再用间隔长度加权后求和，然后除以总的间隔长度。公式为：二、平均发展水平

2023/6/1125扬州大学管理学院2023/6/1126扬州大学管理学院

[计算公式小结]2023/6/1127扬州大学管理学院

（2）由相对数数列或平均数数列计算序时平均数由于相对数数列或平均数数列一般是由两个联系密切的绝对数时间数列相应项对比而形成的。由于各个相对数的分母不同，不能直接相加来计算序时平均数，因此其计算序时平均数的方法也是由总量指标计算序时平均数的方法派生出来的。2023/6/1128扬州大学管理学院具体方法为：先根据资料分别计算出所对比的两个数列分子和分母的序时平均数，然后将两个序时平均数进行对比，从而得到相对指标或平均指标动态数列的序时平均。基本公式为：2023/6/1129扬州大学管理学院式中：代表相对指标或平均指标动态数列的序时平均数；代表分子a数列的序时平均数；代表分母b数列的序时平均数；ａ数列和ｂ数列既可以是时期数列也可以是时点数列，不同的情况使用的具体方法也有所不同。二、平均发展水平

2023/6/1130扬州大学管理学院

具体计算的类型如下：

①a数列和b数列都是时期数列

【例】某厂第二季度有关资料如下。试据此求该厂第二季度平均的计划完成程度。2023/6/1131扬州大学管理学院②a数列和b数列都是时点数列所用的基本计算公式仍是：由于时点数列可分为如下两大类四小类，因此理论上可以推导出十六种具体的计算方法。如：a和b都是1、a和b都是2、a和b都是3、a和b都是4、a是1，b是2、a是1，b是3等等。时间数列连续时点数列间断时点数列间隔相等的——1间隔不等的——4间隔不等的——2间隔相等的——32023/6/1132扬州大学管理学院在以上十几种情况种中，有的常用到，有的不常用到，下面我们选择几种来看看是怎么计算的。第一种：a和b都是3【例】某企业职工人数的资料如下

试计算该企业第一季度生产工人数占全部职工人数的平均比重。日期1月1日2月1日3月1日4月1日生产工人人数(a)9429489911025全部职工人数(b)1256126412701281生产工人占全部职工(%)(c)757578802023/6/1133扬州大学管理学院

先计算生产工人的序时平均数：再计算全部职工数的序时平均数：则该企业第一季度生产工人数占全部职工人数的平均比重为：由以上的计算过程，我们可以推导出此种情况下更简便的计算公式：显然应用这个公式时不必单独计算和第二种：a和b都是4

计算公式为：2023/6/1136扬州大学管理学院例某企业职工人数的资料如下

试计算该企业该年度生产工人数占全部职工人数的平均比重。（请同学们自己计算）日期1月1日5月31日7月1日12月31日生产工人人数(a)9429489911025全部职工人数(b)1256126412701281生产工人占全部职工(%)(c)757578802023/6/1137扬州大学管理学院第三种：a和b都是1计算公式为：第四种：a和b都是2计算公式为：

同样，我们可以推导出其他情况的公式。2023/6/1138扬州大学管理学院

③a数列和b数列一个是时期数列一个是时点数列所用的基本计算公式仍是：

四种时点数列加上时期数列，理论上具体的计算方法多达二十多种，分析过程同上述讲过的内容。

例：某企业总产值和职工人数的资料如下：月份3456月总产值（万元）1150117012001370月末职工人数（千人）6.56.76.97.1试计算该企业第二季度平均每月全员劳动生产率解:根据公式(万元)

(千人)第二季度月平均全员劳动生产率为：

(万元/千人)

=1833.3(元/人)2023/6/1141扬州大学管理学院根据平均数时间数列计算序时平均数：①由静态平均数时间数列计算序时平均数

静态平均数时间数列是由两个绝对数时间数列相应项对比形成的，分子数列是标志总量数列，分母数列是总体单位总量数列，因此此种时间数列序时平均数的计算方法与相对数时间数列的序时平均数计算方法是一样的。2023/6/1142扬州大学管理学院②由序时平均数时间数列计算序时平均数计算方法：一般是直接将各项序时平均数相加而除以项数即可。计算公式为：

2023/6/1143扬州大学管理学院例：某商店如下资料：计算平均每季度的平均储存额。解：由公式一季度二季度三季度四季度平均商品储存额(万元)1001201502302023/6/1144扬州大学管理学院由以上可以看出：根据平均数时间数列计算序时平均数实际上是在多个短期平均数基础上求得的一个较长时期内的平均数，是在计算一次平均数的基础上再求得的二次平均数。2023/6/1145扬州大学管理学院平均发展水平序时平均方法总量指标时期数列简单算术平均时点数列连续时点间隔相等简单算术平均间隔不等加权算术平均间断时点间隔相等两次简单平均间隔不等先简单后加权相对指标、平均指标视情况选用：先平均再相除、先加总再相除、加权算术平均、加权调和平均等2023/6/1146扬州大学管理学院三、增长量1、增长量的含义

增长量是说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对数量，它是报告期水平与基期水平之差，反映报告期比基期增长的水平。

计算公式为：增长量＝报告期水平－基期水平增长量的计算结果可能是正数，也可能是负数。正数表示增加或增长，负数表示减少或降低。2023/6/1147扬州大学管理学院

2、逐期增长量和累积增长量计算增长量时，根据采用的基期不同，可以将其分为逐期增长量和累积增长量

⑴逐期增长量是指报告期水平与前一期水平之差，它表明本期比上一期增长的绝对量，即逐期增加的数量。如果用符号a0、a1、a2、a3、...an-1、an表示时间数列，则逐期增长量指标表示如下：2023/6/1148扬州大学管理学院

⑵累积增长量是指报告期水平与某一固定时期(作为基期)水平之差，它表明本期比某一固定时期增长的绝对数量，也即说明在某一段较长时期内总的增长量。如果用符号a0、a1、a2、...an-1、an表示一个时间数列，则累积增长量指标可用公式表示如下：公式中a0既是最初水平又是固定的基期。2023/6/1149扬州大学管理学院⑶逐期增长量和累积增长量的关系：

二者的关系是：逐期增长量之和等于累积增长量，连续的累积增长量之差等于相应的逐期增长量。公式表示为：2023/6/1150扬州大学管理学院3、年距增长量

在实际工作中，为消除季节变动的影响，还经常计算年距增长量指标，它是本期水平与上年同期水平之差。用公式可表示如下：

年距增长量＝本期水平－去年同期水平例：某地今年第一季度对外贸易进出口总额为360万美元，去年第一季度为300万美元，则：年距增长量＝360－300＝60万美元2023/6/1151扬州大学管理学院四、平均增长量

平均增长量是说明社会经济现象在一定时期内平均每期增长的数量，从广义上说，它也是一种序时平均数，即是逐期增长量时间数列的序时平均数。其计算公式为：2023/6/1152扬州大学管理学院

例：1996－2000年某产品产量资料如下，试计算增长量和平均增长量指标。年份19961997199819992000水泥产量49119a051174a153600a257300a359700a4增长量逐期－2055242637002400累积－205544818181105812023/6/1153扬州大学管理学院2023/6/1154扬州大学管理学院第三节时间数列的速度指标一、发展速度1、发展速度指标的含义

发展速度是反映社会经济现象发展程度的相对数，是两个不同时期发展水平对比的结果，用来说明报告期水平已发展到基期水平的若干倍或百分之几。计算公式为：

2023/6/1155扬州大学管理学院

2、定基发展速度和环比发展速度

定基发展速度和环比发展速度之分是由于计算发展速度指标时所采用的基期不同。

⑴定基发展速度是报告期水平与某一固定基期水平（通常为最初水平）之比，表明某种社会经济现象在较长时期内总的发展速度。用公式表示为：

2023/6/1156扬州大学管理学院

如果用符号a0、a1、a2、...an-1、an表示一个时间数列，那么定基发展速度用符号可表示如下：

第三节时间数列的速度指标2023/6/1157扬州大学管理学院⑵环比发展速度是报告期水平与前一时期水平之比，表明现象逐期的发展速度

用公式表示为：如果用符号a0、a1、a2、...an-1、an表示一个时间数列，那么环比发展速度用符号可表示如下：2023/6/1158扬州大学管理学院⑶二者的关系①定基发展速度等于环比发展速度的连乘积。用符号表示为：②两个相邻时期的定基发展速度之比，等于它们的环比发展速度，即：2023/6/1159扬州大学管理学院例：有以下资料

根据上述资料观察定基和环比发展速度的算法，并提取相关数据验证二者的关系。2023/6/1160扬州大学管理学院

3、同比发展速度

简单地说，同比发展速度的“同比”指的是同时期相比，也就是本年（报告期年份）的某季度某月或指定的某个时间的发展水平与去年相同的这个时间的发展水平之比。有时也称为“年距发展速度”。计算公式：

2023/6/1161扬州大学管理学院计算同比发展速度主要也是为了消除季节性因素的影响。见下例：例：某地今年第一季度对外贸易进出口总额为360万美元，去年第一季度为300万美元，则：同比（年距）发展速度=360/300=120％第三节时间数列的速度指标2023/6/1162扬州大学管理学院二、增长速度

1、增长速度指标的含义

增长速度是表明社会经济现象增长程度的相对指标，它是增长量与基期水平对比的结果。计算公式为：2023/6/1163扬州大学管理学院发展速度说明的是报告期水平为基期水平的多少倍或百分之几，增长速度说明的是报告期水平比基期水平增加了多少倍或减少了百分之几。发展速度总是正的，而增长速度则有正有负，分别表示正增（增长程度），和负增长（降低程度）。第三节时间数列的速度指标2023/6/1164扬州大学管理学院2、定基增长速度、环比增长速度和同比增长速度

由前面发展速度的分类，相应可以得到以上三种增长速度。

①定基增长速度是累积增长量与某一固定基期水平之比的相对数，反映的是现象在较长时期内总的增长程度。2023/6/1165扬州大学管理学院

定基增长速度是各报告期增长水平同某一固定基期水平对比，说明现象在较长时期内发展的总速度。第三节时间数列的速度指标2023/6/1166扬州大学管理学院②环比增长速度是逐期增长量与前一期发展水平之比的相对数，表明现象逐期增长的程度。

计算公式为：

第三节时间数列的速度指标2023/6/1167扬州大学管理学院③同比增长速度是同期（年距）增长量与去年同期发展水平相对比的相对数。

计算公式为：

例：某地今年第一季度对外贸易进出口总额为360万美元，去年第一季度为300万美元，则：同比（年距）增长速度＝360/300＝120％－1＝20％第三节时间数列的速度指标2023/6/1168扬州大学管理学院

（三）增长速度指标与增长量指标的联合分析——增长百分之一的绝对值：

主要是分析增长速度变化±1％时，相对应的增减量的变化值是多少，计算这样一个数据主要是为了解决水平指标和速度指标在分析现象发展中可能会出现的矛盾和不全面的问题。第三节时间数列的速度指标2023/6/1169扬州大学管理学院第三节时间数列的速度指标注：增减1％也叫做增减一个百分点，因此增加5.6％叫做增加5.6个百分点。环比增减百分点计算公式为：2023/6/1170扬州大学管理学院三、平均发展速度

平均发展速度和平均增长速度统称为平均速度。平均速度是各个时期环比速度的平均数，说明社会经济现象在较长时期内速度变化的平均程度。（1）平均发展速度指标的含义

平均发展速度是对各期环比发展速度求平均的结果，表示现象逐期发展的平均速度；从广义上来说，它也是一种序时平均数。第三节时间数列的速度指标2023/6/1171扬州大学管理学院第三节时间数列的速度指标

由于环比发展速度是动态相对数，因此计算它的序时平均数不能用前面讲到的方法，实际工作中，主要采用几何平均法（水平法）和方程法（累计法）来计算。几何平均法和方程法两种方法的数理依据不同，具体计算和应用场合也不一样，重点掌握前者。2023/6/1172扬州大学管理学院

（2）平均发展速度指标的计算①几何平均法（水平法）

数理依据：前面已提到过几何平均数。亦可用式子表示如下）n个2023/6/1173扬州大学管理学院

具体计算：由上述2式得

由定基发展速度和环比发展速度之间得关系可得

第三节时间数列的速度指标2023/6/1174扬州大学管理学院第三节时间数列的速度指标由于是整个时期得总速度，因此计算平均发展速度时，根据掌握的资料不同可选用上述3、4、5公式中任何一个来计算。具体情况可从公式中看出。2023/6/1175扬州大学管理学院

如何开高次方？（用计算器、查表、对数方法）

具体应用场合：在实践中，如果用水平法制定长期计划，则要求用几何平均法计算其平均发展速度，因为几何平均法着重考察最末期水平。按此平均发展速度发展，可以保证在最后一年达到规定的水平。第三节时间数列的速度指标2023/6/1176扬州大学管理学院年份国内生产总值指数（1978年=100）年份国内生产总值指数（1978年=100）1979198019811982198319841985198619871988107.6116.0122.1133.1147.6170.0192.9210.0234.3260.71989199019911992199319941995199619971998271.3281.4307.6351.4398.8449.3496.5544.1592.0638.2求：1978~1988年间国内生产总值的平均发展速度。已知：R，n=10即：1978~1988年间国内生产总值的平均发展速度为110.06%。2023/6/1177扬州大学管理学院普查年份人口数（万人）195319641982199020005826069122100397113051129533中国5次人口普查数据已知：an、a0、n2023/6/1178扬州大学管理学院

②方程法（累计法）

数理依据：由于即可得下面的方程：

解此方程所得得正根就是要计算得平均发展速度。依次为：2023/6/1179扬州大学管理学院第三节时间数列的速度指标

具体应用：在实践中，如果用累计法制定长期计划，则要求用方程法计算其平均发展速度，因为方程法着重考察累计水平。按此平均发展速度发展，可以保证计划内各期发展水平的累计达到计划规定的总数。要能区分两种方法的不同。2023/6/1180扬州大学管理学院四、平均增长速度

1、平均增长速度的含义

平均增长速度是各期环比增长速度的序时平均数，它表明现象在一定时期内逐期平均增长变化的程度。第三节时间数列的速度指标

2023/6/1181扬州大学管理学院第三节时间数列的速度指标

2、平均增长速度的计算计算公式：平均增长速度＝平均发展速度－１（或100％）当平均发展速度大于或小于1时，平均增