线性代数课件

例已知自由落体的运动方程为2s

=

s0

+

v0t

+

1

gt

2（1）估算重力加速度g的值。设计试验：选一物体W，相对于某一参考点和时间起点，测量W在一些特定时刻的下落距离。假设通过实验得到下列数据分析：点(ti

,si

)应满足方程（1），即

22

s0

+

0.5v0

+

1

0.52

g

=

3.731120.1821220

02

s0

+

0.4v0

+

0.4

g

=

2.48

s0

+

0.3v0

+

2

0.3

g

=

1.03

1

2s

+

0.2v

+

0.2

g

=

0.31s0

+

0.1v0

+

0.1

g

=

-（2）求g，相当于解以s0

,v0

,g

为未知数的线性方程组（2）。经验算，方程组（2）无解。主要问题：不相容线性方程组的讨论一、向量的距离定义

设V是欧氏空间，a

,

b

˛

V

，则 到

b

的距离d

(a

,b

)规定为d

(a

,

b

)

=

a

-

b性质设a

,b

,g

是欧氏空间V

中任意三个向量，则（1）

d

(a

,

b

)

=

d

(

b

,a

)d

(a

,b

)‡0

，等号成立当且仅当d

(a

,

b

)

£

d

(a

,g)

+

d

(g,

b

)a

=

b定义设V

是欧氏空间，W是V

的子空间。对a

˛

V，若a与W

中每个向量都正交，则称向量a

与子空间W

正交，记为a

^

W。定理设V

是欧氏空间，W

是V

的子空间。任取a

˛

V

，若存在b

˛

W

满足a

-b

^

W

，则对任一g

˛

W

均有d

(a

,

b

)£

d

(a

,

g)证明

任取

g

˛

W

，则

b

-

g

˛

W

。∵于是，a

-

b

^

W∴a

-

b

^

b

-

g|

a

-

b

|2

+

|

b

-

g

|2

=|

(a

-

b

)

+

(b

-

g)

|2=|

a

-

g

|2|

a

-

b

|2

£|

a

-

g

|2即d

(a

,

b

)

£

d

(a

,g)▌二、不相容线性方程组的最小二乘解考虑不相容线性方程组AX

=

b(*)设其为am1

x1

+

am

2

x2

+

+

amn

xn

=

bm

a21

x1

+

a22

x2

+

+

a2n

xn

=

b2a11

x1

+

a12

x2

+

+

a1n

xn

=

b1

若实数c1

,c2

,,cn

，使mi=1i1

1

i

2

2

in

n

i(a

c

+

a

c

+

+

a

c

-

b

)2①最小，则称(c1

,c2

,,cn

)是不相容方程组(*)的最小二乘解。考虑欧氏空间

Rm

，则

AX

,

b

˛

Rm

。①式可表为|

AX

*

-

b

|2②其中

X

*

=

(c1

,

c2

,,

cn

)T

。W

=

{

AX

|

X

˛

Rn

}则W

是Rm

的子空间，且求X

*使②最小，即是求X

*使d

(b,AX

*)最小，亦即求b到W

的最短距离。由前面定理，只须求X

*，使AX

*

-b^

W

，即对"X

˛

Rn

，均有AX

*

-

b

^

AX

(

AX

*

-

b,

AX

)

=

0

(

AX

*

-

b)T

AX

=

0

(

AX

*

-

b)T

A

=

0令

AT

AX

*

=

AT

b故X

*

应为线性方程组AT

AX

=

AT

b的解。定理设AX

=b

是不相容线性方程组，则下列线性方程组③AT

AX

=

AT

b的解就是原方程组的最小二乘解。称③为正规方程。例任取A

˛

Rm·n

,b

˛

Rm

，则线性方程组一定有解。例物理学中的Huke定律指出，在弹性范围内，一个匀质弹簧的长度x是作用力y的线性函数，可设之为y

=

y0

+

k

x其中k

称为该弹簧的弹性系数。现有一匀质弹簧，经实验得到下列数据AT

AX

=

AT

b确定此弹簧的弹性系数k

。解

把数据代入

y

=

y0

+

kx

，得

y0

+

4.3k

=

3

y0

+

2.6k

=

0

y0

+

3.0k

=

1y0

+

3.5k

=

2记b

=

(01

2

3)T

k3.0,3.51

1

4.3A

=

1

X

=

y0

,1

2.6则上述方程组可表为(*)AX

=

b它是不相容的。考虑其正规方程AT

AX

=

AT

b③因

AT

A

可逆，故③的解为

1.739

-

4.326TX

*

=

(

AT

A)-1

A b

=由X

*是(*)的最小二乘解，可得b*

=

1.739kg

/

cm于是，此弹簧的受力方程为y

=

-4.326

+

1.739