四川省资阳市安岳县驯龙中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试卷含解析

四川省资阳市安岳县驯龙中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则（

）

参考答案：D2.命题“对任意，都有”的否定为（

）A．存在，使得 B．对任意，都有C．存在，使得 D．不存在，使得 参考答案：C3.设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是（）A．a﹣b＜0 B．0＜＜1 C． D．ab＞a+b参考答案： C【考点】基本不等式；不等式比较大小．【分析】由不等式的性质易判A、B、D错误，由基本不等式可得C正确．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，故A错误；由a＞b＞0可得＞1，故B错误；当a=，b=时，有ab＜a+b，故D错误；由基本不等式可得≤，由a＞b＞0可知取不到等号，故C正确．故选：C4.设函数.若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.下列各式中,对任意实数都成立的一个是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C6.抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2B．﹣3＜a＜6C．a＜﹣3或a＞6D．a＜﹣1或a＞2参考答案：C

考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．解答：解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选C．点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．8.已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．【解答】解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，故A∩B={﹣1，0，1，2}故选D．9.复数z=1+2i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．的实部为﹣1 B．的虚部为﹣2i C．z?=5 D．=i参考答案：C【考点】A2：复数的基本概念．【分析】计算=5，即可得出．【解答】解：=（1+2i）（1﹣2i）=12+22=5，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.直线L1:2x＋(m＋１)y＋4＝０与直线Ｌ2：mx＋3y－2=0平行，则m的值为（

）A．2

B.-3

C.2或-3

D.-2或-3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若，则该椭圆的离心率的值为

参考答案：12.已知,若,则的最小值为

▲

.参考答案：略13.有一组统计数据共10个，它们是：，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为参考答案：14.若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是

．参考答案：4【考点】7F：基本不等式．【分析】先根据ln（a+b）=0求得a+b的值，进而利用=（）（a+b）利用均值不等式求得答案．【解答】解：∵ln（a+b）=0，∴a+b=1∴=（）（a+b）=2++≥2+2=4故答案为：415.已知直线l截圆所得的弦AB的中点坐标为，则弦AB的垂直平分线方程为

.参考答案：16.已知z＝1＋i，(1)求w＝z2＋3－4(2)如果＝1－i，求实数a、b.参考答案：z=-1-i

a=-1

b=217.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为_________________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，(1)若，证明：函数是(0,+∞)上的减函数；(2)若曲线在点处的切线不直线平行，求a的值；(3)若，证明：(其中…是自然对数的底数)．参考答案：（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.试题分析：(1)由题意二次求导可得，函数是上的减函数.(2)利用题意由导函数研究函数的切线得到关于a的方程，解方程可得.(3)原不等式等价于，结合(1)的结论构造函数，令，可证得．试题解析：（1）当时，函数定义域是，所以，令，只需证：时，．又，故在上为减函数，所以，所以，函数是上的减函数．（2）由题意知，，且，所以，即有，令，，则，故是上的增函数，又，因此是的唯一零点，即方程有唯一实根，所以．（3）因为，故原不等式等价于，由（Ⅰ）知，当时，是上的减函数，故要证原不等式成立，只需证明：当时，，令，则，在上的增函数，所以，即，故，即．19.（13分）已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．参考答案：【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．解：（Ⅰ）由已知得，c=，，解得a=，又b2=a2﹣c2=4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0==﹣，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=﹣3，x2=0，所以y1=﹣1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．到直线AB：y=x+2距离d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．【点评】：此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．20.在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，0），点B（0，2），点C（﹣，﹣1）．（1）求经过A，B，C三点的圆P的方程；（2）若直线l经过点（1，1）且被圆P截得的弦长为2，求直线l的方程．参考答案：解：（1）设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆经过三个点A（2，0），点B（0，2），点C（﹣，﹣1）．∴，解得D=0，E=0，F=﹣4，即圆P的方程为x2+y2=4．（2）当直线斜率k不存在时，直线方程为x=1，代入x2+y2=4．得y1=或y2=﹣，故弦长|y1﹣y2|=2，设点C到直线M得y=，满足条件．当直线斜率k存在时，设所求的方程为y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+1=0，由已知弦心距d==1，∴，解得k=0，即直线方程为y=1，综上所求的直线方程为x=1或y=1．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆C的方程；（2）根据直线和圆相交的弦长公式，以及结合点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：（1）设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆经过三个点A（2，0），点B（0，2），点C（﹣，﹣1）．∴，解得D=0，E=0，F=﹣4，即圆P的方程为x2+y2=4．（2）当直线斜率k不存在时，直线方程为x=1，代入x2+y2=4．得y1=或y2=﹣，故弦长|y1﹣y2|=2，设点C到直线M得y=，满足条件．当直线斜率k存在时，设所求的方程为y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+1=0，由已知弦心距d==1，∴，解得k=0，即直线方程为y=1，综上所求的直线方程为x=1或y=1．点评：本题主要考查直线和圆的方程的应用，利用待定系数法结合点到直线的距离是解决本题的关键．21.已知直线与抛物线交于A，B两点，且经过抛物线的焦点F，（1）若已知A点的坐标为，求线段AB中点到准线的距离．（2）求面积最小时，求直线的方程。参考答案：1）依题意得，∴直线AB方程为，化简得，代入得，∴线段AB中点横坐标为，又准线方程为，∴中点到准线距离（2）面积最小为8，所求直线方程为：略22.已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且．（Ⅰ）求此抛物线C的方程；（Ⅱ）过点（4，0）做直线l交抛物线C于A，B两点，求证：OA⊥OB．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设抛物线C：y2=2px（p＞0），点A（2，y0），代入抛物线方程，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可求得p=2，进而得到抛物线方程；（Ⅱ）讨论当直线l斜率不存在时，求出A，B坐标，可得OA⊥OB；当直线l斜率存在时，设l：y=k（x﹣4），联立抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，化简整理即可得证．【解答】（Ⅰ）解：设抛物线C：y2=2px（p