1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答汇总

PAGE1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程解：将两边平方，得x2-1=9-6x+x,即x2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0,∴x=2,x=5。经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。2．计算3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg。解：lg=lg=0.8266。4．证明5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。解：由x+y-7=03x-y-1=0,解得x=2,y=5。过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=y(0,5)x=3(1,0)(5,0)Ox(3,-4)7.已知二次函数y=x2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;(2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标。解：如图（列表，描点）略。8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北450东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB。B150450AC解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。由正弦定理可得ADBCE9．有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD·AE=AC·AB。证：联接EC,在△ABD和△AEC中，∠BAD=∠EAC，∠ABD=∠AEC，∴△ABD~△AEC,∴AD·AE=AC·AB10.当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象。解：直线与椭圆的交点适合下面方程组：y=x+m……………①……………②将①代入②得直线与椭圆没有交点的充要条件是：-m2+25<0,即|m|>5参考题1．（1）求函数(2)求椭圆绕x轴旋转而成的旋转体体积。解：（1）当x≠0时，2.(1)试用ε-δ语言叙述“函数f(x)在点x=x0处连续的定义。（2）试证明：若f(x)在点x=x0处连续，且f(x0)>0,则存在一个x0的（x0-δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f(x)>0。（1）答：略。（2）证：由已知f(x)在点x=x0处连续，且f(x0)>0，所以，由定义，对于给定的ε=f(x0)/2>0，必存在δ>0,当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<f(x0)/2,从而f(x)>f(x0)-f(x0)/2=f(x0)/2>0即在（x0-δ，x0+δ）内处处有f(x)>0北京市（文科）1．计算：解：原式=02．化简：3．解方程解：略，原方程的解为x=2。4．不查表求sin1050的值。解：5．一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积。解：体积V=sh=6.一条直线过点（1，-3），并且与直线2x+y-5=0平行，求这条直线的方程。解：∵直线2x+y-5=0的斜率k=-2,∴所求直线斜率k＇=-2。故过点（1，-3）且与已知直线平行的直线为y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.ADEBC7．证明：等腰三角形两腰上的高相等。证：如图，在△BDC与△CEB中，∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=900,BC=BC，∴△BDC≌△CEB，CD=BE。8．为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=1200，求AB。解：由余弦定理可得AB=70米。9．在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？解：设此数列为2，x,y,30。于是有解得x=6,y=18.故插入的两个正数为6，18，因此，所成的数列为2、6、18、30。10．已知二次函数y=x2-4x+3.（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;（2）画出它的图象;（3）求出它的图象与直线y=x-3的交点坐标。解：（1）y=(x-2)2-1顶点坐标为（2，-1），对称轴方程为x=2.(2)图略。（3）解方程得交点坐标为（2，-1）和（3，0）。上海市（理科）1．（1）化简解：原式=（2）计算解：原式=（3），验算i是否方程2x4+3x3-3x2+3x-5=0的解。解：令x=i,左边=2-3i+3+3i-5=0所以i是所给方程的一个解。（4）求证：BD312AEC2．在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=,AC=b,求DE的长。解：∵DE∥BC，∴∠1=∠3。又∠1=∠2，∴∠2=∠3DE=EC由△ADE∽△ABC，b·DE=ab-a·DE，3．已知圆A的直径为，圆B的直径为，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切，∠A=600，求BC及∠C。解：由已知条件可知，AC=，AB=2，∠CAB=600。根据余弦定理，可得BC=。由正弦定理，则4．正六棱锥V-ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm。（1）按1:1画出它的二视图;（2）求其侧面积;（3）求它的侧棱和底面的夹角。解：（1）见六五年试题1。（2）斜高为（3）侧棱与底面的夹角为450。5．解不等式并在数轴上把它的解表示出来。解：略。-4≤x＜-2，3＜x≤4.6．已知两定点A（-4，0）、B（4，0），一动点P（x,y）与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为。求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线。解：直线PA、PB的斜率分别是7．等腰梯形的周长为60，底角为600，问这梯形各边长为多少时，面积最大？解：设等腰梯形的腰长为x，则有BCx600AEDAE=，BE=，等腰梯形ABCD的面积=由此可知，当且仅当x=15时等腰梯形的面积最大。此时，腰AB=CD=x=15,上底BC=7.5，下底AD=BC+2AE=22.5。8．当k为何值时，方程组有两组相同的解？并求出它的解。解：由（1），x≥0，y≥2。由（2），y=kx-2k-10.代入（1），得此方程有二等根的条件是判别式为零，即k2-4(2k+12)=0,k2-8k-48=0,(k-12)(k+4)=0,k1=12,k2=-4(增根）∴当k=12时，x=6,y=38.附加题CBθAO9．如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值。解：四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积设∠AOB=θ，则△OAB的面积△ABC的面积∴四边形OACB的面积∴当θ-600=900，即θ=1500时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为10．已知曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q（3，6）两点，（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率;（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积。Y6QPO3AX解：（1）∵y=x2-2x+3，∴y＇=2x-2,∴过点（0，3）的切线斜率k1=y＇|x=0=-2。过点（3，6）的切线斜率k1=y＇|x=3=4。（2）设所求的带阴影的图形的面积为S。则S为梯形OAQP的面积与曲边梯形OAQP的面积的差。而梯形OAQP的面积曲边梯形OAQP的面积上海市（文科）1．（1）计算解略：原式=（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？解：根据已知条件，今年比去年增长.明年养猪头数为120（1+40%）=168（头）。（3）计算解：原式=4。2．在△ABC中，∠C的平分线与AB相交于D，过D作BC的平分线与AC相交于E，已知BC=，AC=b，求DE的长。BD321AEC解：∵DE∥BC，∴∠1=∠3。又∠1=∠2，∴∠2=∠3DE=EC由△ADE∽△ABC，b·DE=b-·DE，3．（1）化简解：原式=（2）解不等式解：不等式解为x＜5（3）解方程解：可得x2-5x+6=0,x=2,x=3（增根）故原方程的解为x=2.4（1）计算解：原式=（2）求证：证：（3）△ABC中，∠A=450，∠B=750，AB=12，求BC的长。解：由正弦定理可知：5．六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm3）。Φ201020解：由图可知此六角螺帽的体积为6.求直线的斜率和倾角，并画出它的图形。解：由可得图略。7．当x为何值时，函数y=x2-8x+5的值最小，并求出这个最小值。解：y=x2-8x+5=2（x-2)2-3，所以，当x=2时，函数最小值为-3。8．将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？解：设甲种流酸取x升，乙种流酸取y升，根据题意可得如下方程组：由（1）得y=600-x.代入（2）得x=340（升）y=260(升）故应取甲种流酸340升，乙种流酸260升。天津市1．（1）在什么条件下，①是正数;②是负数;③等于零;④没有意义？解：①x和y同号;②x和y异号;③y=0,x≠0;④x=0.（2）比较下列各组数的大小，并说明理由。①;②.解：①因为cosx在是递减函数，所以。②（3）求值：①;②解：①原式=.②原式=（4）计算解：原式=（5）解方程解：略x=1.2．（1）某工厂准备在仓库的一侧建立一个矩形储料场（如图），现有50米长的铁丝网，如果用它来围成这个储料场，那么长和宽各是多少时，这个储料场的面积最大？并求出这个最大的面积。仓库y储料场x解：设矩形储料场的长为x宽为y。则因其一面靠墙，所以应有2x+y=50,即y=50-2x,设储料场的面积为S，则S=xy=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x-12.5)2+312.5∴当x=12.5时，储料场的面积最大。S=312.5米2。此时y=25米。（2）如图，已知AB、DE是圆O的直径，AC是弦，AC∥DE，求证CE=EB。ECB1O2AD⌒⌒⌒证：∵AC∥DE，∴∠1=∠2。⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒EB=EB，CB=2EB。⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒但CB=CE+EB，∴2EB=CE+EB，⌒⌒CE=EB，CE=EB。（3）如图所示的棱长为a的正方体中，①求CD1和AB所成的角的度数;②求∠B1BD1的正弦值。D1C1A1B1DCAB解：①CD1和AB所成的角等于∠D1CD，所以为450。②∵D1B1=a，D1B=a，∴3．如果已知bx2-4bx+2(a+c)=0(b≠0）有两个相等的实数根，求证a,b,c成等差数列。证：∵已知bx2-4bx+2(a+c)=0(b≠0）有两个相等的实数根，∴（-4b)2-4b·2(a+c)=0,但∵b≠0,∴2b-a-c=0,即b-a=c-b.故a,b,c成等差数列。ABDγαβC4．（1）如图，为求河对岸某建筑物的高AB，在地面上引一条基线CD=，测得∠ACB=α，∠BCD=β，∠BDC=γ，求AB。解：由正弦定理得（2）如果α=300，β=750，γ=450，a=33米，求建筑物AB的高（保留一位小数）。解：5．（1）求直线3x-2y+1=0和x+3y+4=0的交点坐标。解：略（-1，-1）（2）求通过上述交点，并同直线x+3y+4=0垂直的直线方程。解：所求直线的斜率为3。所求直线方程为y+1=3(x+1),即3x-y+2=0.6．附加题.（1）求解：应用罗比塔法则。（2）计算河北省1．解答下列各题：（1）叙述函数的定义。答：略。（2）求函数的定义域。解：由（3）计算解：原式=2。（4）计算解：原式=。（5）分解因式x2y-2y3.解：原式=（6）计算解：原式=2．证明：从圆O外一点P向这个圆所引的两条切线PA、PB所成的角APB被PO平分（本题要求写出已知、求证、证明并画图）。解：已知：圆O及圆O外一点P，PA、PB是圆O的切线，A、B是切点（如图），APOB求证：∠OPA=∠OPB。证明：联结OA、OB。∴∠OAP=∠OBP=900在直角△OPA与直角△OPB中，∵OA=OB，OP=OP，∴△OPA≌△OPB，∠OPA=∠OPB。3．证明：证：左边==右边4．已知求x。解：由原方程可得故原方程的解为x=2.5．某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为1350的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD和DC为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？解：如图，设BC长为x，苗圃面积为S.DC1350450AEB过D作DE⊥AB交AB于E.由已知条件可得AB=30-x，∠DAB=450，AE=DE=BC=x，CD=BE=AB-AE=30-2x，由此可知，当x=10时，S取最大值。所以，当BC=10米，AB=20米时，苗圃面积最大，这时S=150米2。6．工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5:2，做这样的容器需要多少平方米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）解：设正四棱台形容器上口边长AB=5x，则下底面边长A1B1=2x，ECBDAFC1E1F1B1D1A1EHFE1F1设表面积为S。因正四棱台的体积故共需铁皮1.56平方米。7．已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC2=AB·AD。DPCBMNA证：在△ABM与△AND中，∠BAM=∠NAD=900∠AMB=∠ADN=900-∠MND，∴△ABM∽△AND，AB:AN=AM:AD,AN·AM=AB·AD……①又∵在直角△MCN中，AC⊥MN，∴AC2=AM·AN………②由①，②得AC2=AB·AD。8．下列两题选做一题。（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长。解：设所求之椭圆方程为∵2b=2,∴b=1.由抛物线方程y2=4x可知它的焦点而（1，0），所以点（1，0）也是椭圆的一个焦点，于是c=1,从而故所求之椭圆方程为，长轴的长为。（乙）已知菱形的一对内角各为600，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形600角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程。解：设以菱形内角为600的一对顶点为端点的对角线所在的直线为X轴，建立直角坐标系YBC＇300COXB＇设欲求之椭圆方程为。由图及已知条件可得b=BO=BC·sin300=2=BC=4.故所求之椭圆方程为参考题1．将函数展开为x的幂级数，并求出收敛区间。（e=2.718为自然对数的底）所以函数可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，因为r>0是任意的，所以，函数在区间上可展成幂级数，特别的它的马克劳林级数是2．利用定积分计算椭圆所围成的面积。解：因为椭圆关于x轴和y轴都是对称的，所以所求之面积为福建省（理科）1．（1）计算解：原式=7。（2）的值是正的还是负的？为什么？解：y的值为负的。因为tg1550<0,又第二象限角的余弦函数值随着角的增大而减小，所以，cos1600-cos1700>0,故y<0.（3）求函数的定义域。解：略1<x<2。D2CMNPQA3.5B（4）如图，在梯形ABCD中，DM=MP=PA，MN∥PQ∥AB，DC=2cm,AB=3.5cm求MN和PQ的长。解：根据梯形中位线性质可得：解之，可得PQ=3（cm),MN=2.5(cm)(5)解：lgx=-3.5229=∴x=0.0003.(6)求解：（7）解方程解：移项得两边平方，得（增根）故原方程的解为x=2。（8）解：原式=（9）求函数的极值。解：略。y的极大值为.（10）画出下面V形铁块的三视图（只要画草图）2．（1）解不等式解略：-2<x<3.（2）证明：（3）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）解：设地球仪的表面积为S，则所以，共需油漆（4）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台。这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务。工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台，求十一月、十二月份平均每月增长率。解：设十一、十二月份平均每月增长率为x，则根据题意可得：1000（1+x)+1000(1+x)2=2310,100x2+300x-31=0,x=0.1,x=-3.1（舍去）故十一月，十二月份平均每月增长率为10%。3．在半径为R的圆内接正六边形内，依次连结各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连结各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n个正六边形的周长之和Sn;（2）所有这些正六边形的周长之和S.解：如图，半径为R的圆内接正六边形的周长为6R，ABCEDO设C为AB的中点，连结OC，OB，则OC⊥AB。∴OC=CD=第二个正六边形的周长同理可得第三个正六边形的周长第四个正六边形的周长…………于是可以得到一个表示正六边形周长的数列：6R，……①前n个正六边形周长的和②所有这些正六边形周长的和4．动点P（x,y)到两定点A（-3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形。解：根据两点间的距离公式可得故动点P的轨迹是以点（5，0）为圆心，以4为半径的圆。5．某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50m，∠BAC=600，∠ABP=1200，∠ACP=1350，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）。CA600PB解：连CB，AP。∵∠CAB=600，AC=AB=50m，∴△ABC为等边三角形。于是，∠BCP=1350-600=750，∠CBP=1200-600，∠BPC=1800-（750+600）=450由正弦定理，得由余弦定理，可得故A、P两点间的距离是米。6．已知双曲线和圆相切于点A（），求的值。解：∵点A（）在双曲线上，∴故双曲线方程为又圆的方程为从（1）得代入（2）得因为交点A是切点，故方程有等根，即其判别式为由此可得，圆的圆心为（），半径7．设数列1，2，4，…前n项和是求这数列的通项的公式，并确定的值。解：依题意得S1=1，即……①S2=3，即………………②S3=7，即………………③上面三式虽然成不定方程组，但可如下解：②-①得………………④③-②得………………⑤⑤-④得……⑥将⑥代入④得……⑦将⑥⑦代入①，得……⑧当n>1时，上式在n=1时，成为∴将分别代入⑥、⑦、⑧中得：参考题1．求函数的导数。解：2．求定积分解：其中福建省（文科）1．（1）计算解：原式=7。（2）求的值。解：（3）化简。解：根据算术根的定义，当时，当时，（4）如图，在△ABC中，MN∥BC，MN=1cm,BC=3cm求AM的长。AMNBC解：设AM为x，∵MN∥BC∴△AMN∽△ABCx=1(cm)(5)解：x=3000.(6)求解：（7）求函数的极小值。解：∴y的极小值为-5。（8）已知的值。解：∵∴∴（9）写出等比数列的通项公式。解：2．（1）求函数的定义域。解：略。1＜x＜2。（2）证明证：左边==∴左边=右边。（3）解方程解：移项得两边同时平方，得x=12,x=4（增根）。∴原方程的根为x=12（4）解不等式解略：-2<x<3.（5）把分母有理化解：原式=（6）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）解：设地球仪的表面积为S，则所以，共需油漆3．某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台。这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务。工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台，①求十一月、十二月份每月增长率;②原计划年产拖拉机多少台？解：①设十一、十二月份平均每月增长率为x，则根据题意可得：1000（1+x)+1000(1+x)2=2310,100x2+300x-31=0,x=0.1,x=-3.1（舍去）故十一月，十二月份平均每月增长率为10%。②设原计划年生产拖拉机y台，则（台）4．求抛物线和圆在第一象限的交点处的切线方程。解：解方程组（1）代入（2）得x=3,x=-12（不合题意）将x=3代入（1），得（仅取正值），∴在第一象限的交点为（）从抛物线得∴过点（）的抛物线的切线方程是过点（）的圆的切线方程是即5．某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50m，∠BAC=600，∠ABP=1200，∠ACP=1350，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）。CA600PB解：连CB，AP。∵∠CAB=600，AC=AB=50m，∴△ABC为等边三角形。于是，∠BCP=1350-600=750，∠CBP=1200-600，∠BPC=1800-（750+600）=450由正弦定理，得由余弦定理，可得故A、P两点间的距离是米。黑龙江省1．解答下列各题：（1）解方程解：方程两边平方得x=4,x=-1（增根）故x=4是原方程的根。（2）解不等式|x|<5.解：-5<x<5.（3）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长。解：设正三角形的边长为，则2．计算下列各题：（1）解：当当（2）（不查表求值）解：原式=（3）解：原式=3．解下列各题：（1）解方程解：（2）求数列2，4，8，16，……前十项的和。解：由题设可知，此等比数列的首项公比4．解下列各题：（1）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成300角，求它的侧面积。解：由题设条件可知，圆锥底面半径R=圆锥母线∴侧面积（2）求过点（1，4）且与直线垂直的直线方程。解：因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为。所求直线的方程为。5．如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，那么AB·AC=AD·AE。CEDBA证：连结BE（如图）∵∠CAE=∠EAB，∠ACB=∠AEB，∴△ACD∽△AEB，∴∴AB·AC=AD·AE。6．前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？解：设后两年造林面积的年平均增长率为x，依照题意可得200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x)2+200（1+x）-528=0，（1+x)2+（1+x）-2.64=0，[（1+x）-1.2][（1+x）+2.2]=0，1+x=1.2，x=0.2=20%1+x=-2.2，x=-3.2（不合题意，舍去）故后两年造林面积的年平均增长率为20%。7．解方程解：8．已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长。解：设三角形三边的长分别为则依题意有由（1）得代入（2）得故此三角形的三边长分别为9cm,12cm,15cm.9．（参考题）如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄。当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标。为什么当是直角时，是最大？ARαOBPX解：过A作AB⊥OP设x为点P的横坐标，则x=OP=OB+BP=因为∠P随连杆位置的变化而改变，但连杆上下摆动的幅度是一样的，所以∠P的最大值是一样的。故可以考虑内∠P变化的情况，由正弦定理得在内，当时，的值最大，因而的值也最大∵OA＜AP，∴∠P＜，即∠P总是锐角。在内，是单调上升的，所以时，∠P最大。10．（加试题）求曲线在上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋