回归分析基本思想第二课时课件人教版选修

3.1

回归分析的基本思想及其初步应用(二)选修2-3之第三章《统计案例》1aˆ

=

Y

-

bXn(xi

-

X

)(

yi

-Y

)=

i=1n

i(

X

-

X

)2i=1nn-

nx

xiyi

-

nxy

xii=122bˆ

=

i=1

前置测评1、求回归直线方程yˆ

=bˆx

+aˆ

(最小二乘法)：(X

,Y

)为样本点的中心22、我们通常用相关系数r来描述两个变量之间线性相关关系的强弱。

2n22n

i=1

i=12i

ix

y

x

-

n(

)

y

-

n(

)n

xi

yi

-

n

x

yr

=

i=1

★其中：(1)|r|≤1；|r|越接近于1，相关程度越强，|r|越接近于0，相关程度越弱；b

与r

同号。前置测评3无法显示该图片。3、线性回归模型：2y

=

bx

+

a

+

eE(e)

=

0,

D(e)

=

s其中：e是随机误差，均值E(e)=0，方差D(e)=σ2>0当随机误差e恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型。即：一次函数模型是线性回归模型的特殊形式。4、相关系数r与随机误差e一般有什么关系？前置测评45随机误差e

=y

-yˆe的估计量eˆ

=y

-yˆ样本点：(x1

,y1

),(x2

,y2

),...,(xn

,yn

)相应的随机误差为：ei

=

yi

-

yˆi

=

yi

-

bxi

-

a,

i

=

1,

2,

...,

n相应的随机误差估计值为：eˆi

=

yi

-

yˆi

=

yi

-

bˆxi

-

aˆ,

i

=

1,

2,

...,

neˆi

称为相应于点(xi

,yi

)的残差ˆ

2ˆ2i

=1ˆ

ˆs

=

n

-

2ie

=

Q(a,

b)(n

>

2)n

-

2n

1

1

2

的估计量s为Q(aˆ,bˆ)

称为残差平方和。实际上即为具体到某

点的随机误差估计值。6残差分析在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否是线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，可以通过残差eˆ1

,eˆ2

,,eˆn

来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据.这方面的分析工作称为残差分析。7编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差eˆ-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382下表为女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据：以纵坐标为残差，横坐标为编号，作出图形（残差图）来分析残差特性.886420-2

0-4-6-8246810残差系列1编号由图可知，第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的

错误.如果数据采集有错误，就予以纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误，则需要寻找其他原因.22ˆ)问：如何刻画模型拟合的精度？ni

ini

=1(

y

-

y相关指数：R2

=

1

-

i

=1

i(

y

-

y)在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数r的平方.R2取值越大（越接近1），则残差平方和越小，即模型的拟合效果越好.(实际上就是：|r|越大，则|e|越小)在例1中我们可以求出R2=0.64，表明：“女大学生的身高解释了64％的体重变化”，或者说“女大学生的体重差异有64％是由身高引起的”。9★其中：10建立回归模型的基本步骤：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量;（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，（是否存在线性关系观察它们之间的关系由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）；按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.是否存在线性关系）；11例2、一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表，试建立y与x之间的回归方程.温度x/0C21232527293235产卵数y/个711212466115325解：收集数据作散点图：350300250200150100500010304020温度产卵数系列112在散点图中，样本点没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈现线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线参数.的周围，其中c1和c2是待定21c

xy

=

c

e令z=lny，则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a（a=lnc1，b=c2）的周围.利用线性回归模型建立y和x之间的非线性回归方程.当回归方程不是形如y=bx+a时，我们称之为非线性回归方程.13X21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784所得线性回归方程为：zˆ

=0.272

x

-3.84921c

xy

=

c

ea=lnc1，b=c2所以红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为：yˆ(1)

=

e0.272

x

-3.849350300250200150100500010304020温度产卵数系列1若看成样本点集中在某二次曲线y=c3x2+c4的附近.作变换t=x2，建立y与t之间的线性回归方程：y=c3t+c4.14还可以拟合成什么函数模型？t44152962572984110241225y7112124661153253503002502001501005000

5001000

1500温度的平方产卵数系列1yˆ(2)

=

0.367t

-

202.543y关于x的二次回归方程为：yˆ(2)

=

0.367

x2

-

202.54315yˆ(2)

=

0.367

x2

-

202.543yˆ(1)

=

e0.272

x

-3.849利用残差计算公式：eˆ

(1)

=

y

-

yˆ

(1)

=

y

-

e0.272

xi

-3.849

,

i

=

1,

2,,

7i

i

i

ieˆi

=

y

-

yˆ

=

y

-

0.367

x

+

202.543,

i

=

1,

2,,

7(2) (

2)

2i

i

i

iX21232527293235Y711212466115325eˆ(1)i0.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.675eˆ(2)i47.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968由残差平方和：Qˆ

=2ˆniei

=1或由条件R2分别为0.98和0.80，同样可得它们的效果.故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好16.Qˆ

(1)

=

1550.538,Qˆ

(

2)

=

15448.431.17给定样本点：(x1

,y1

),(x2

,y2

),...,(xn

,yn

)两个含有未知参数（a、b为未知参数）的模型：yˆ(1)

=

f

(

x,

aˆ)

yˆ(2)

=

g(

x,

bˆ)aˆ,bˆ分别是参数a和b的估计值.（2）分别计算两个回归方程的残差平方和(1)(1)

2(

2)(

2)

2ˆˆˆˆ)n

ni

ii

=1i

=1(

y

-

y)

Q

=i

i(

y

-

yQ

=yˆ(1)

=

f

(