江苏省常州市溧阳燕山中学2022-2023学年高三数学文月考试题含解析

江苏省常州市溧阳燕山中学2022-2023学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为与，则A．的最小正周期为，且在上为单调递增函数B．的最小正周期为，且在上为单调递减函数C．的最小正周期为，

且在上为单调递增函数D．的最小正周期为，

且在上为单调递减函数参考答案：C略2.抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A. B.(0,－1) C.(0,－2) D.(0,－4)参考答案：B试题分析：准线方程为：，与轴的交点为，故选B.考点：抛物线的性质.3.对于函数若对于任意存在使得且，则称为“兄弟函数”.已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数在区间上的最大值为

（A）

（B）2

（C）4

（D）参考答案：B4.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点M在第一象限的抛物线C上，直线MF的斜率为，点M在直线l上的射影为A，且△MAF的面积为4，则p的值为（

）A.1 B.2 C. D.4参考答案：B【分析】如图所示，由直线MF的斜率为，可得∠AMF＝60°．再利用抛物线的定义得出面积的表达式，解出p即可．【详解】如图所示，∵直线MF的斜率为，∴∠MFx＝60°．∴∠AMF＝60°，由抛物线的定义可得：|MA|＝|MF|，∴得，所以为等边三角形，∴，，故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知幂函数的图像经过点（9，3），则=（

）

A.3

B.

C.

D.1参考答案：C略6.已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），则f的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：C【考点】函数的值；偶函数；函数的周期性．【分析】本题函数解析式只知道一部分，而要求的函数值的自变量不在此区间上，由题设条件知本题中所给的函数是一个周期性函数，故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要求的函数值转化到区间[2，4）上求解．【解答】解：由题意定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），得f（x）=﹣f（x﹣4），此式恒成立，故可得f（x）=f（x﹣8），由此式恒成立可得，此函数的周期是8．又当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），由此f=f（2）+f（3）=log2（2﹣1）+log2（3﹣1）=1．故选C7.已知集合，则{1,3}

{1,3,9}

{3,9,27}

{1,3,9,27}参考答案：A8.（多选题）若a、b为正实数，则的充要条件为（

）A. B. C. D.参考答案：BD【分析】根据充要条件的定义，寻求所给不等式的等价条件，满足与等价的即可.【详解】因为，故A选项错误；因为，为正实数，所以，故B选项正确；取，则，，即不成立，故C选项错误；因为，当时，，所以在上单调递增，即，故D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了充要条件，不等式的性质，函数的单调性，属于中档题.9.等比数列{an}中，a2=4，，则a3a6+a4a5的值是（）A．1 B．2 C． D．参考答案：C【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的定义和性质可得a3a6=a4a5=a2?a7，由此求得a3a6+a4a5的值．【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=4，，∴a3a6=a4a5=a2?a7=4×=，故a3a6+a4a5=+=，故选C．10.若cosα＝，cos(α＋β)＝－，α∈(0,)，α＋β∈(,π)，则β为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C∵cosα＝，α∈，∴sinα＝.又∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈(,π)，∴sin(α＋β)＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝.又∵α∈(0,)，α＋β∈(,π)，∴β∈(0，π)，∴β＝.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是__________________.参考答案：略12.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,则=_______参考答案：略13.函数f（x）=ex（x+sinx+1）在x=0处的切线方程为

．参考答案：3x﹣y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得在x=0处切线的斜率，求得切点坐标，运用斜截式方程可得切线的方程．【解答】解：f′（x）=ex（sinx+cosx+x+2），f′（0）=3，f（0）=1，故切线方程是：y﹣1=3x，即3x﹣y+1=0，故答案为：3x﹣y+1=0．14.已知数列{an}的前n项积为Tn，若对，，都有成立，且，，则数列{an}的前10项和为____．参考答案：1023【分析】把化成，结合可知为等比数列，从而可求其通项与其前项和.【详解】因为，故即（），而，所以为等比数列，故，所以，填.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果数列是等比数列或等差数列，则用公式直接计算；如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是___________。参考答案：略16.体积为的球的内接正方体的棱长为_____________。参考答案：2可知球半径，而球内接正方体的体对角线长等于球直径。设正方体的棱长为，则有，解得17.方程有实根的概率为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知函数f（x）=lg（ax﹣kbx）（k＞0，a＞1＞b＞0）的定义域恰为（0，+∞），是否存在这样的a，b，使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值，且f（3）=lg4？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题．【分析】先带着参数求出函数f（x）=lg（ax﹣kbx）的定义域，为（k，+∞），因为已知函数的定义域为（0，+∞），所以可知k=0，求出k值为1．这样函数可化简为f（x）=lg（ax﹣bx）．假设存在适合条件的a，b，使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值，且f（3）=lg4，则f（3）=lg（a3﹣b3）=lg4且lg（ax﹣bx）＞0对x＞1恒成立，根据函数的单调性知，x＞1时f（x）＞f（1），又因为f（1）=0，所以a﹣b=1

又a3﹣b3=4，即可求出a，b的值．【解答】解∵ax﹣kbx＞0，即（）x＞k．又a＞1＞b＞0，∴＞1∴x＞k为其定义域满足的条件，又∵函数f（x）的定义域恰为（0，+∞），∴k=0，∴k=1．∴f（x）=lg（ax﹣bx）．若存在适合条件的a，b，则f（3）=lg（a3﹣b3）=lg4且lg（ax﹣bx）＞0对x＞1恒成立，又由题意可知f（x）在（1，+∞）上单调递增．∴x＞1时f（x）＞f（1），由题意可知f（1）=0

即a﹣b=1

又a3﹣b3=4注意到a＞1＞b＞0，解得a=，b=．∴存在这样的a，b满足题意．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，考察了学生的理解力，转化能力以及计算能力．19.（满分10分）《选修4-5：不等式选讲》已知函数．（I）证明：≤≤3；（II）求不等式≥的解集．参考答案：解：（I）

当

所以

………………5分

（II）由（I）可知，

当的解集为空集；

当；

当.

综上，不等式

…………10分20.设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

（I）求数列与数列的通项公式；（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；参考答案：解析：（I）当时，

又∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，

…………………3分（II）不存在正整数，使得成立。证明：由（I）知

∴当n为偶数时，设

∴当n为奇数时，设∴∴对于一切的正整数n，都有

∴不存在正整数，使得成立。

…………………8分（III）由得

又，

当时，，当时，

21.（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．参考答案：考点： 与圆有关的比例线段．专题： 几何证明．分析： （1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果解答： （1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED

∵AB=2

求得：BD=4，AD=2

∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2

故答案为：（1）略（2）CD=2点评： 本题考查的知识点：证明切线的方法：连半径，证垂直．三角形相似的判定，勾股定理的应用．22.（本小题满分14分）已知函数的导数为实数，.（Ⅰ）若在区间［-1，1］上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；（Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数。参考答案：解：（Ⅰ）由已知得，，……1分由得.，当时，递增；当时，，递减.在区间［-1，1］上的最大值为.………………3分又.由题意得，即，得为所求。

………………5分（Ⅱ）解：由（1）得