第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第1节 函数及其表示

第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示考试要求1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层训练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1知识梳理1.函数与映射的概念

函数映射两个集合A，B设A，B是两个__________设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的____一个数x，在集合B中都有_________的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应非空数集任意唯一确定名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______.(2)如果两个函数的定义域相同，并且__________完全一致，则这两个函数为相等函数.2.函数的定义域、值域定义域值域对应关系表示函数的常用方法有________、图象法和列表法.3.函数的表示法解析法(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的______.4.分段函数并集常用结论1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1交点.3.注意以下几个特殊函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.×诊断自测解析(1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)×××(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数.B解析A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].2.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)D所以函数的定义域为(0，＋∞).(0，＋∞)x2－1(x≥0)∴f(t)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥0).解析当x≤1时，f(x)＝x2＋2，∴f(x)∈[2，＋∞)，(0，1)∪[2，＋∞)综上，f(x)的值域为(0，1)∪[2，＋∞).KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一函数的定义域A.(2，＋∞)B.(－1，2)∪(2，＋∞)C.(－1，2)D.(－1，2]CC解析∵f(x)的定义域为[－8，1]，A.(－1，0) B.(－1，0]C.[－1，0) D.[－1，0]A解析由题意0≤x≤1，∴－1≤2x－1≤1，1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.感悟提升考点二求函数解析式(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；例1

求下列函数的解析式：解(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t.∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；解(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.解(构造法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①×2－②，得f(x)＝3x.感悟提升∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞).x2－2，x∈[2，＋∞)(3)(2022·唐山模拟)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝______________.解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且f(0)＝c＝2，∴f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝x－1，角度1分段函数的求值考点三分段函数解析∵f(0)＝2－0＝1，f(－3)＝log2(1＋3)＝2，∴f(0)－f(－3)＝－1.－1解析∵f(2)＝a2＝4，∴a＝2.又f(x)＝f(x＋8)(x<0)，∴f(－2023)＝f(－253×8＋1)＝f(1)＝2.2角度2分段函数与方程2解析由题意，若a－1≤0，即a≤1，log23角度3分段函数与不等式C解析当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)，当0<x≤1时，x＋1>1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，∴0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)；当x>1时，f(x)<f(x＋1)⇔log2x<log2(x＋1)恒成立，1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.3.对于分段函数的不等式问题要分段解决.感悟提升A.定义域为R B.值域为(－3，＋∞)C.在R上为增函数 D.只有一个零点BD一、单调性法函数的值域微点突破

求函数值域的一般方法：(1)单调性法；(2)不等式法；(3)配方法；(4)换元法；(5)数形结合法；(6)分离常数法；(7)导数法.CA.2023 B.2024C.4045 D.4046所以f(x)在[－a，a]上递增，故最大值为f(a)，最小值为f(－a)，二、不等式法3三、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的最值问题，可以考虑用配方法.例3

已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值.解y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x(t≥2)，设f(t)＝t2－2at＋2a2－2.因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2，定义域为[2，＋∞).因为函数y＝f(t)图象的对称轴为直线t＝a，所以当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2.四、换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值.2解析由4－x2≥0，得－2≤x≤2，所以设x＝2cosθ(θ∈[0，π])，五、数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法.解析由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2.其图象如图所示.六、分离常数法故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).七、导数法例7

已知f(x)＝2x－lnx，求f(x)的值域.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3A级基础巩固解析由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意.1.如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(

)DA.1 B.2 C.3 D.42.下列所给图象是函数图象的个数为(

)B解析图象①关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图象②中x0对应2个y，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象.CCC解析由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；所以实数x0的值为－1或1.A.[0，1] B.(0，1) C.[0，1) D.(0，1]B解析由函数f(x)的定义域为[－1，1]，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又由1－x>0且1－x≠1，解得x<1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0，1).B解析令t＝2x，t∈(1，4)，因此[g(t)]∈{－1，0，1}，则函数y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}.A.(1，＋∞) B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪