2024届海南省鲁迅中学高二上数学期末质量跟踪监视试题含解析

2024届海南省鲁迅中学高二上数学期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（）A. B.C. D.2．曲线与曲线的A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等3．已知直线与直线垂直，则a＝（）A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣14．已知下列四个命题，其中正确的是（）A. B.C. D.5．倾斜角为45°，在轴上的截距是的直线方程为（）A. B.C. D.6．若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A.或 B.C.或 D.7．命题“对任意，都有”的否定是（）A.对任意，都有 B.存在，使得C.对任意，都有 D.存在，使得8．如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（）A.2 B.C.4 D.9．若圆C与直线：和：都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（）A. B.C. D.10．圆上到直线的距离为的点共有A.个 B.个C.个 D.个11．下列椭圆中，焦点坐标是的是（）A. B.C. D.12．已知命题“若，则”，命题“若，则”，则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，且，则的最小值为____________14．若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______15．若满足约束条件，则的最大值为_____________16．已知函数，是的导函数，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知数列，，，为其前n项和，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，O为BD的中点，，（1）证明：平面ABCD；（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值20．（12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，证明：21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为（1）求点的位置；（2）求点到平面的距离22．（10分）设函数（1）求在处的切线方程；（2）求在上的最大值与最小值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】根据原函数图象判断出函数单调性，由此判断导函数的图象.【题目详解】原函数在上从左向右有增、减、增，个单调区间；在上递减.所以导函数在上从左向右应为：正、负、正；在上应为负.所以A选项符合.故选：A2、D【解题分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断【题目详解】解：曲线表示焦点在轴上，长轴长10，短轴长为6，离心率为，焦距为8曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为8对照选项，则正确故选：【题目点拨】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题3、D【解题分析】根据，得出关于的方程，即可求解实数的值.【题目详解】直线与直线垂直，所以，解得或.故选：D.4、B【解题分析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则即可求解判断.【题目详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.5、B【解题分析】先由倾斜角为45°，可得其斜率为1，再由轴上的截距是，可求出直线方程【题目详解】解：因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为，因为直线在轴上的截距是，所以所求的直线方程为，即，故选：B6、A【解题分析】由和的分母异号可得【题目详解】由题意，解得或故选：A7、B【解题分析】根据全称命题的否定是特称命题形式，可判断正确答案.【题目详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意，都有”的否定是“存在，使得”故选：B.8、D【解题分析】先确定是等腰直角三角形，求出，再确定原图的形状，进而求出.【题目详解】由题意可知是等腰直角三角形，，其原图形是，，，，则，故选：D.9、B【解题分析】首先求出两平行直线间的距离，即可求出圆的半径，设圆心坐标为，，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出的值，即可得解；【题目详解】解：因为直线：和：的距离，由圆C与直线：和：都相切，所以圆的半径为，又圆心在轴上，设圆心坐标为，，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以或（舍去），所以圆心坐标为，故圆的方程为；故选：B10、C【解题分析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.【题目详解】圆可变为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，圆上到直线的距离为的点共有个.故选：C.【题目点拨】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.11、B【解题分析】根据给定条件逐一分析各选项中的椭圆焦点即可判断作答.【题目详解】对于A，椭圆的焦点在x轴上，A不是；对于B，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，B是；对于C，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，C不是；对于D，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，D不是.故选：B12、D【解题分析】利用指数函数的单调性可判断命题的真假，利用特殊值法可判断命题的真假，结合复合命题的真假可判断出各选项中命题的真假.【题目详解】对于命题，由于函数为上的增函数，当时，，命题为真命题；对于命题，若，取，，则，命题为假命题.所以，、、均为假命题，为真命题.故选：D.【题目点拨】本题考查简单命题和复合命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、16【解题分析】根据，且，利用“1”的代换将，转化为，再利用基本不等式求解.【题目详解】因为，且，所以，当且仅当，，即时，取等号.所以的最小值为16.故答案为：16【题目点拨】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14、【解题分析】若Q到的距离为有，由题设有，结合双曲线离心率的性质，即可求离心率的范围.【题目详解】由题意，，即，整理有，所以或，若Q到的距离为，则Q到左、右焦点的距离分别为、，又Q在C的右支上，所以，则，又，综上，双曲线的离心率的取值范围是.故答案为：【题目点拨】关键点点睛：若Q到的距离为，根据给定性质有Q到左、右焦点的距离分别为、，再由双曲线性质及已知条件列不等式组求离心率范围.15、【解题分析】由下图可得在处取得最大值，即.考点：线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.16、2【解题分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的加法法则，对求导，再求即可.【题目详解】由题设，，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）取的中点，连接，，证明两两垂直，如图建系，求出的坐标以及平面的一个法向量，证明结合面，即可求证；（2）求出的坐标以及平面的法向量，根据空间向量夹角公式计算即可求解.【小问1详解】如图：取的中点，连接，，因为是边长为等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，可得，，因为面面，面面，，面，所以平面，因为面，所以，可得两两垂直，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量，由，可得，令，则，所以，因为，所以，因为面，所以平面.【小问2详解】，，，设平面的一个法向量，由，令，，，所以，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.18、（1）（2）【解题分析】(1)按照所给条件，先算出的表达式，再按照与的关系计算,；(2)裂项相消求和即可.【小问1详解】由题可知数列是等差数列，所以，，又因为，所以；【小问2详解】所以；故答案为：，.19、（1）见解析（2）【解题分析】（1）连接，利用勾股定理证明，又可证明，根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可小问1详解】证明：如图，连接，在中，由，可得，因为，，所以，，因为，，，则，故，因为，，，平面，则平面；【小问2详解】解：由（1）可知，，，两两垂直，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，所以，则，，，又，设平面的法向量为，则，令，则，，故，设平面的法向量为，因为，所以，令，则，，故，所以，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为20、（1）函数的单调性见解析；（2）证明见解析.【解题分析】(1)求出函数的导数，按a值分类讨论判断的正负作答.(2)将分别代入计算化简变形，再对所证不等式作等价变形，构造函数，借助函数导数推理作答.【小问1详解】已知函数的定义域为，，当时，恒成立，所以在区间上单调递增；当时，由，解得，由，解得，的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】依题意，不妨设，则，，于是得，即，亦有，即，因此，，要证明，即证，即证，即证，即证，令，，，则有在上单调递增，，，即成立，所以.【题目点拨】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理.21、（1）为棱中点（2）【解题分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合求出的值，即可得出点的位置；（2）利用空间向量法可求得点到平面的距离【小问1详解】解：因为平面，底面为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，设，其中，则，设平面的法向量为，，，由，取，可得，由题意可得，