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力学1-7章第四章 曲线运动第3节

圆周运动栏目

导

航1234抓知识点抓重难点课时跟踪检测抓易错点抓知识点用心研读领悟细微深处1(2)特点：加速度大小

(3)条件：合外力大小，方向始终指向

，是变加速运动．、方向始终与

方向垂直且指向圆心．一、匀速圆周运动及描述圆周运动的物理量1．匀速圆周运动(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长

相等

，就是匀速圆周运动．不变圆心不变速度2．描述圆周运动的物理量描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：定义、意义公式、单位线速度(v)①描述物体沿圆周运动快慢的物理量②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切Δs①v＝

Δt

＝2πrT②单位：m/s角速度(ω)①描述物体绕

圆心

转动快慢的物理量②是矢量，但不研究其方向①ω＝Δθ

2πΔt

＝

T

②单位：rad/s定义、意义公式、单位周期(T)转速(n)频率(f)①周期是物体沿圆周运动一周的时间②转速是单位时间内物体转过的

圈数

，也叫频率2πr

1①T＝

v

＝

f②T

的单位：sn

的单位：r/s、r/minf

的单位：Hz向心加速度(a)①描述速度

方向变化快慢的物理量②方向指向圆心v2①a＝

r

＝_rω2

＝ωv②单位：m/s2判断正误．1．匀速圆周运动是匀变速曲线运动．(

)3．匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比．(

)即时突破×2．物体做匀速圆周运动时，其角速度是不变的．(

√

)×4．比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，比较物体绕圆心转动的快慢，看周期或角速度．(

√

)的

．二、匀速圆周运动的向心力v21．大小：F＝m

＝

＝mr4π2r

T22

2＝mr4π

f

＝mωv.mrω2方向：始终沿半径方向指向

圆心

，时刻在改变，即向心力是一个变力．作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的

方向

，不改变速度大小4．来源向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的

合力

提供，还可以由一个力的

分力

提供．加深理解“向心力”是一种效果力．任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力．“向心力”不一定是物体所受合外力．做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心．做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变．如图所示，洗衣机脱水筒在转动时，衣服贴靠在匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来，则衣服(

)A．受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用

B．所需的向心力由重力提供

C．所需的向心力由弹力提供

D．转速越快，弹力越大，摩擦力也越大答案：C即时突破惯性三、离心运动1．定义：做

圆周运动

的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需

向心力

的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动．2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的 ，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向．3．受力特点当Fn＝mω2r时，物体做

圆周

运动．当Fn＝0时，物体沿

切线

方向飞出．当Fn<mω2r时，物体逐渐

远离

圆心，做离心运动．当Fn＞mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动．加深理解物体做离心运动的条件：合外力突然消失或者不足以提供做圆周运动所需的向心力．注意所有远离圆心的运动都是离心运动，但不一定沿切线方向飞出．判断正误．即时突破在绝对光滑的水平路面上汽车可以转弯．(

×

)火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大．(

)√做匀速圆周运动的物体，当合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出．(

×

)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故．(

×

)抓重难点动手演练掌握提分技巧2重难点

1

圆周运动中的运动学分析对公式v＝ωr

的理解当r

一定时，v

与ω

成正比．当ω

一定时，v

与r

成正比．当v

一定时，ω

与r

成反比．v2对a＝

r

＝ω2r＝ωv

的理解在v

一定时，a

与r

成反比；在ω

一定时，a与r

成正比．如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑．在O1

、O2

、O3

三个轮的边缘各取一点A

、B

、C

，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；(2)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC.例1【解析】

(1)令

vA＝v，由于皮带转动时不打滑，所以

vB＝v.因

ωA＝ωC，由公C21式v＝ωr

知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故v

＝

v，所以v

∶v

∶vA

B

C＝2∶2∶1.A

C

A

Bv(2)令ω

＝ω，由于共轴转动，所以ω

＝ω.因v

＝v

，由公式ω＝r

知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω，所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1.【答案】

(1)2∶2∶1

(2)1∶2∶1

(3)2∶4∶1v2(3)令A

点向心加速度为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝

r

知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB＝2a.又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r

知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比．故

a

＝1

.C

2a所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1.常见的传动方式及特点1．皮带传动：如下图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.提分秘笈2．摩擦传动和齿轮传动：如下图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.3．同轴传动：如下图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．跟踪训练1如图所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数

z2＝8，当主动轮以角速度

ω

顺时针转动时，

从动轮的运动情况是(

)A．顺时针转动，周期为2π3ωB．逆时针转动，周期为2π3ω6πC．顺时针转动，周期为ω6πD．逆时针转动，周期为ω解析：主动轮顺时针转动，从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度大小相等，由从3ω齿数关系知主动轮转一周时，从动轮转三周，故

T

＝

2π，选项

B

正确．答案：B重难点

2

圆周运动中的动力学分析向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．向心力的确定确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．(2017届福建晋江月考)如图所示，AB为竖直转轴，细绳AC和BC的结点C系一质量为m的小球，两绳能承受的最大拉力均为2mg.当AC和BC均拉直时∠ABC＝90°，∠ACB＝53°，BC＝1

m．ABC能绕竖直轴AB匀速转动，因而C球在水平面内做匀速圆周运动．当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，则最先被拉断的那根绳及另一根绳被拉断时的速度分别为(g取10

m/s2)()A．ACC．AC5m/s5.24

m/sB．BCD．BC5m/s5.24

m/s例2v2【解析】

根据题意，小球转动时向心力为

TBC＋TACcos53°＝m

R

，此时设

BC绳刚好被拉断，则拉力为

T

＝2mg，此时

T

sin53°＝mg，即

TBC

AC

AC＝54mg，说明BC绳先被拉断；当AC

绳拉断时，有TAC′＝2mg，此时由于小球重力等于mg，则ACv′2绳与水平方向的夹角等于30°，有TAC′cos30°＝m

R′，此时小球转动半径为R′＝

BC

cos30°＝5

3

m，代入数值得v′＝5

m/s，故选项B

正确．cos53°

6【答案】

B“一、二、三、四”求解圆周运动问题提分秘笈跟踪训练

2 如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；当物块在A点随筒匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．解析：(1)物块静止时，对物块进行受力分析如图甲所示，设筒壁与水平面的夹角为θ.由平衡条件有Ff＝mgsinθ，FN＝mgcosθ由图中几何关系有cosθ＝，sinθ＝R

HR2＋H2

R2＋H2f故有F

＝N，F

＝mgH

mgRR2＋H2

R2＋H2.(2)分析此时物块受力如图乙所示由牛顿第二定律有mgtanθ＝mrω2其

tanθ＝H

r

RR，

＝2可得ω＝

2gHR.答案：(1)mgHR2＋H2R2＋H2mgR

(2)

2gHR重难点

3

圆周运动的实例分析1．凹形桥与拱形桥模型概述如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F

向＝FNv2－mg＝m

r规律v2桥对车的支持力FN＝mg＋m

r

>mg，汽车处于超重状态概述如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的v2规律最高点时，向心力F

向＝mg－FN＝m

rv2桥对车的支持力FN＝mg－m

r

<mg，汽车处于失重状态．若v＝

gr，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动2.火车转弯问题概述如图所示，火车转弯轨道，外高内低．火车转弯时，设转弯半径为r，若F

向＝mgtanθv2规律＝m

r

，车轮与内、外侧轨道无作用力，即v＝

grtanθ当火车转弯时，若

v>

grtanθ，则火车车轮对外侧轨道有作用力，若

v<

grtanθ，火车车轮对内侧轨道有作用力汽车沿半径为R的圆形跑道匀速行驶，设跑道的路面是水平的，路面作用于车的摩擦力的最大值是车重的1/10，要使汽车不致冲出圆形跑道，车速最大不能超过多少？如图所示是汽车沿圆形跑道行驶时的背影简图，试根据图中车厢的倾侧情况和左右轮胎受挤压后的形变情况判断圆形跑道的圆心位置在左侧还是在右侧？例3【解析】如果不考虑汽车行驶时所受的阻力，那么汽车在圆形跑道匀速行驶时，轮胎所受的静摩擦力Ff(方向指向圆心)提供向心力．车速越大，所需向心力也越大，f

max

max则静摩擦力

F

也越大，设车速的最大值为

v

，则

Ff

＝mvmax2mg，即10

＝mR

Rvmax2，max解得

v

＝10.gR

对车厢进行受力分析可知，其支持力和重力的合力一定指向右侧，即向心力指向右侧，所以跑道的圆心一定在右侧．【答案】

速度不能超过gR10跑道的圆心在右侧A．3∶1C.1∶3B．3∶2D．1∶2跟踪训练

3 一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1

为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为

FN2，则FN1与FN2之比为(

)解析：汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力．如图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即FN1＝FN1′①mv2所以由牛顿第二定律可得

mg－FN1′＝

R

②同样，如图乙所示，FN2′＝FN2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有FN2′－mv2mg＝

R

③由题意可知FN1＝12mg④3由①②③④式得FN2＝2mg，所以FN1∶FN2＝1∶3.答案：C重难点

4

水平面内圆周运动的临界问题水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题．1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有Fm＝mv2r，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．2．与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等．C．ω＝kg2l

是b

开始滑动的临界角速度D．当ω＝3l2kg时，a

所受摩擦力的大小为kmg(多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用

ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A．b

一定比a

先开始滑动B．a、b

所受的摩擦力始终相等例4【解析】

木块

a、b

的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力Ffm＝kmg

相同．它们所需的向心力由F向＝mω2r知Fa<Fb，所以b一定比a

先开始滑动，A

项正确；a、b

一起绕转轴缓慢地转动时，Ff＝mω2r，r不同，所受的摩擦力不同，B

项错误；b

开始滑动时有kmg＝mω2·2l，其临界角速度为ωb＝2l

，选项C

正确；当ω＝kg

2kg3lf2时，a

所受摩擦力大小为F

＝mω

r23＝

kmg，选项D错误．【答案】

AC解决此类问题的一般思路首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态，其次分析该状态下物体的受力特点，最后结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合分析．提分秘笈跟踪训练

4 如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度

ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g.若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；若ω＝(1±k)ω0，且0<k<1，求小物块受到的摩擦力大小和方向．解析：(1)物块在弹力和重力的作用下做圆周运动，弹力的竖直分力与重力平衡，弹力的水平分力提供向心力，所以有

F

cosθ＝mg，F

sinθ＝mω2Rsinθ，得

ω

＝

2gN

N

0

0

R

.(2)当ω＝(1＋k)ω0时，滑块有沿斜面向上滑的趋势，摩擦力沿罐壁切线向下，受力分析如图甲竖直方向：FNcosθ－Ffsinθ－mg＝0水平方向：FNsinθ＋Ffcosθ＝mω2Rsinθ联立得Ff＝

3k(2＋k)2mg当ω＝(1－k)ω0时，滑块有沿斜面向下滑的趋势，摩擦力方向沿罐壁切线向上，受力分析如图乙竖直方向：FNcosθ＋Ffsinθ－mg＝0水平方向：FNsinθ－Ffcosθ＝mω2Rsinθ联立得Ff＝

3k(2－k)2mg.答案：(1)2g

R0

f2(2)当ω＝(1＋k)ω

时，摩擦力方向沿罐壁切线向下，大小为F

＝

3k(2＋k)mg当ω＝(1－k)ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，大小为Ff＝

3k(2－k)2mg重难点

5

竖直面内圆周运动的临界问题1．轻杆、轻绳模型“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力．2．两种模型的比较轻绳模型轻杆模型讨论分析(1)过最高点时，v≥

gr，N2r轨道对球产生弹力FN轨道(1)当v＝0

时，FN＝mg，FN

为支持力，沿半径背离圆心F

＋mg＝mv

，绳、(2)当0<v<v2gr时，－FN＋mg＝m

r

，FN

背离圆心且随v

的增大而减小gr时，(2)不能过最高点时，(3)当v＝v<

gr，在到达最高点FN＝0前小球已经脱离了圆(4)当v>NF

＋mg＝gr时，2Nvm

r

，F

指向圆心并随v

的增大而增大如图所示，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球．现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动．已知水平地面上的C点位于O点正下方，且到O点的距离为1.9L.不计空气阻力．求小球通过最高点A时的速度vA；若小球通过最低点B时，细线对小球的拉力FT恰好为小球重力的6倍，且小球经过B点的瞬间细线断裂，求小球的落地点到C点的距离．例5【解析】

(1)若小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过

A

点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有mg＝mv2AL解得vA＝

gL.(2)小球在B点时，根据牛顿第二定律有TF

－mg＝mv2BL其中FT＝6mg解得小球在B

点的速度大小为vB＝

5gL细线断裂后，小球从B

点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得1＝2gt2竖直方向上：1.9L－L水平方向上：x＝vBt解得x＝3L即小球落地点到C

点的距离为3L.【答案】

(1)

gL

(2)3L竖直面内圆周运动的求解思路提分秘笈跟踪训练

5 (2017届烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(

)小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零小球过最高点的最小速度是gR

C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大

D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小解析：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度

v＝

gR时，杆所受的弹力等于零，A

正确，B

错误；若

v<

gR，v2则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m

R

，随

v

增大，F

减小，若

v>

gR，v2则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m

R

，随v

增大，F

增大，故C、D均错误．答案：A抓易错点亲身体会击破薄弱环节3圆环例绕1

通过直径的竖直轴OO′匀速转动，在圆环上套有两个质量相等的小球，如图所示，连接小球与圆环中心C的连线AC、BC分别与转轴成37°和53°角，转动中小球均没有在圆环上滑动．已知sin37°＝0.6，sin53°＝0.8，下列说法中错误的是

()A．圆环对A的弹力方向可能沿AC方向向下

B．圆环对B的弹力方向只能沿BC方向向上C．A与圆环间可能没有摩擦力D．A、B两球所受的合力大小之比为3∶4易错点

1不能正确地确定圆平面，判断向心力造成错误【解析】

A、B

两球均做匀速圆周运动，它们的合外力提供向心力，因为它们的质量相等，做圆周运动的角速度相等，轨道平面为垂直于转轴的水平面，半径等于小球到轴

OO′的距离，因此轨迹半径之比为

＝rA

Rsin37°

3r

Rsin53°

4＝

，向心力之比

＝FA

ω2rA2F ω

rB

B

B＝34，D

项正确；圆环对小球的弹力只能垂直于小球所在点圆环的切线，弹力方向沿小球与圆环中心连线向上或向下，两球所受合力指向轨迹圆心为向心力，且竖直方向为平衡力，可能的受力情况分别如图(a)、(b)，能满足条件的圆环的弹力：A

球可以沿AC

方向向上或向下，而B

球只能沿BC

方向向上，A、B

是正确的；若A与圆环间摩擦力为零，当A球受到的弹力沿CA方向向上时，合力不可能指向轨迹圆心，当A球受到的弹力沿AC方向向下时，则竖直方向不能平衡，即无论弹力是哪个方向，A与圆环间摩擦力为零均不能成立，C项错误．【答案】

C【错后感悟】

对圆周运动容易出现的错误如下：(1)易将匀速圆周运动当成匀速运动，对向心力与速度方向垂直不理解；

(2)不知道物体做向心运动还是离心运动是由F供与F需的大小关系决定的．跟踪训练

1 (多选)(2017届安徽马鞍山二中、安师大附中、淮北一中期中联考)如图所示为花样滑冰双人自由滑比赛时的情形．男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动．若男运动员转速为30

r/min，手臂与竖直方向夹角约为60°，女运动员质量是50

kg，她触地冰鞋的线速度为4.7m/s，则下列说法正确的是(

)A．女运动员做圆周运动的角速度为π

rad/s

B．女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径约为2

mC．男运动员手臂拉力约是850

N

D．男运动员手臂拉力约是500

N解析：已知转速n＝30

r/min＝0.5

r/s，由公式ω＝2πn，解得ω＝π

rad/s，故A正确；由v＝ωr

得rv

4.7＝ω＝3.14m＝1.5

m，故B

错误；对女运动员研究可知，其在竖v2直方向上受力平衡，拉力的水平分力提供向心力，则有Fsin60°＝m

r