高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理

高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第1页。高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第1页。第7讲正弦定理与余弦定理

[学生用书P82]1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形形式a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝，sinB＝，sinC＝；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；＝cosA＝；cosB＝；cosC＝2.三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)；(2)S＝bcsinA＝acsin_B＝absinC；(3)S＝，其中p＝(a＋b＋c)．1．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第2页。高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第2页。(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2．余弦定理的推导过程如图，设＝a，＝b，＝c.则c＝a－b，所以|c|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cosC.即c2＝a2＋b2－2abcosC.同理可证a2＝b2＋c2－2bccosA.b2＝c2＋a2－2cacosB.3．三角形解的判断

A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解1.在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于()A．3

B．6高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第3页。C．2

D．高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第3页。B[解析]由正弦定理得＝，所以a＝＝＝6.2.在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝()A．90°

B．120°C．135°

D．150°B[解析]cosB＝＝＝.所以B＝60°，所以A＋C＝120°.3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形()A．无解

B．有两解C．有一解

D．解的个数不确定B[解析]因为＝，所以sinB＝·sinA＝×sin45°＝.又因为a<b，所以B有两解．4．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cosB＝，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝________．[解析]依题意可得sinB＝，又S△ABC＝acsinB＝42，则c＝14.[答案]145．(2016·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________．[解析]在△ABC中，∠A＝，所以a2＝b2＋c2－2bccos，即a2＝b2＋c2＋bc.因为a＝c，所以3c2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋bc－2c2＝0，所以(b＋2c)(b－c)＝0，所以b－c＝0，所以b＝c，所以＝1.[答案]1利用正、余弦定理解三角形(高频考点)[学生用书P83]利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下两个命题角度：高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第4页。(1)高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第4页。(2)解三角形与三角函数结合．[典例引领](1)(2016·高考全国卷丙)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A.

B.C．－

D．－(2)(2016·高考全国卷甲)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________．【解析】(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.由余弦定理，可得cosA＝＝＝－，故选C.(2)因为A，C为△ABC的内角，且cosA＝，cosC＝，所以sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.【答案】(1)C(2)利用正、余弦定理解三角形的应用(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[题点通关]

角度一由已知求边和角1．(2017·兰州市实战考试)在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝，则b＝()A．14

B．6高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第5页。高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第5页。D[解析]bsinA＝3csinB⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，所以b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝，故选D.

角度二解三角形与三角函数结合2．(2017·河北省五校联盟质量检测)已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2＋b2＝6abcosC，且sin2C＝2sinAsinB.(1)求角C的值；(2)设函数f(x)＝sin－cosωx(ω＞0)，且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为π，求f(A)的取值范围．[解](1)因为a2＋b2＝6abcosC，由余弦定理知a2＋b2＝c2＋2abcosC，所以cosC＝，又sin2C＝2sinAsinB，则由正弦定理得c2＝2ab，所以cosC＝＝＝，又因为C∈(0，π)，所以C＝.(2)f(x)＝sin－cosωx＝sinωx－cosωx＝sin，由已知可得＝π，所以ω＝2，则f(A)＝sin，因为C＝，所以B＝－A，因为0＜A＜，0＜B＜，所以＜A＜，所以0＜2A－＜，所以f(A)的取值范围是(0，]．利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[学生用书P83][典例引领](1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形

B．锐角三角形C．钝角三角形

D．不确定(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC是()A．等边三角形

B．锐角三角形C．等腰直角三角形

D．钝角三角形【解析】(1)由正弦定理得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，则高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第6页。sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和，得sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，即sinA＝1，所以∠A＝.即△ABC高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第6页。(2)因为＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sinC，而＋≥2＝2，当且仅当sinA＝sinB时取等号，所以2sinC≥2，即sinC≥1.又sinC≤1，故可得sinC＝1，所以∠C＝90°.又因为sinA＝sinB，可得A＝B，故三角形为等腰直角三角形，故选C.【答案】(1)A(2)C若将本例(1)条件改为“2sinAcosB＝sinC”，试判断△ABC的形状．[解]法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b，故△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[通关练习]1．在△ABC中，已知2A＝B＋C，且a2＝bc，则△ABC的形状是()A．两直角边不等的直角三角形B．顶角不等于90°或60°的等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形C[解析]由2A＝B＋C，知A＝60°.高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第7页。又cosA＝高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第7页。所以＝，所以b2＋c2－2bc＝0，即(b－c)2＝0，所以b＝c.故△ABC为等边三角形．2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．[解](1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.(*)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，所以A＝120°.(2)由(*)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝.因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．与三角形面积有关的问题[学生用书P84][典例引领](2017·高考全国卷乙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解】(1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.由正弦定理得sinCsinB＝.故sinBsinC＝.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题设得bcsinA＝，即bc＝8.高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第8页。由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第8页。故△ABC的周长为3＋.与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．(2017·重庆第一次适应性测试)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(B＋C)＝－sin2A.(1)求A；(2)设a＝7，b＝5，求△ABC的面积．[解](1)由cos(B＋C)＝－sin2A可得，－cosA＝－sin2A，所以cosA＝×2sinAcosA，因为△ABC为锐角三角形，所以cosA≠0，故sinA＝，从而A＝.(2)因为A＝，故cosA＝，由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccosA，即49＝25＋c2－5c，所以c2－5c－24＝0，解得c＝－3(舍去)，c＝8，所以△ABC的面积为bcsinA＝×5×8×＝10.

[学生用书P85])——正、余弦定理的应用(本题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第9页。[思维导图高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第9页。(1)(2)(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，所以－cos2B＝sin2C.(3分)又由A＝，即B＋C＝π，得－cos2B＝sin2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2.(6分)(2)由tanC＝2，C∈(0，π)，得sinC＝，cosC＝.(8分)因为sinB＝sin(A＋C)＝sin，所以sinB＝.(9分)由正弦定理得c＝，(10分)又因为A＝，bcsinA＝3，所以bc＝6，(11分)故b＝3.(12分)(1)本题是解三角形与三角恒等变换的结合，求解中首先利用正弦定理把边的关系转化为三角函数关系，再利用恒等变换，再次应用正弦定理，求解所求问题．(2)计算准确，争取得满分①公式运用要准确，这是计算正确的前提．②算数要准确无误，尤其注意正、负号的选择，计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程．

[学生用书P280(独立成册)]高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第10页。1．(2017·兰州市实战考试)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cosC＝(高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第10页。A.

B．－C.

D．－B[解析]由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝a，所以cosC＝＝＝－，故选B.2．(2017·重庆适应性测试(二))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为()A.

B.C.

D.B[解析]依题意得cosC＝＝，C＝60°.因此，△ABC的面积等于absinC＝××＝，选B.3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cosA，则△ABC为()A．钝角三角形

B．直角三角形C．锐角三角形

D．等边三角形A[解析]已知＜cosA，由正弦定理，得＜cosA，即sinC＜sinBcosA，所以sin(A＋B)＜sinBcosA，即sinB·cosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0，所以cosBsinA＜0.又sinA＞0，于是有cosB＜0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．4．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则的值为()A．1

B．2C．3

D．4A[解析]由正弦定理得＝，由余弦定理得cosA＝，因为a＝4，b＝5，c＝6，所以＝＝2··cosA＝2××＝1.5．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA－acosB＝0，且b2＝ac，则的值为()A.

B.C．2

D．4高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第11页。C[解析]在△ABC中，由bsinA－acosB＝0高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第11页。利用正弦定理得sinBsinA－sinAcosB＝0，所以tanB＝，故B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac，又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.6．(2017·哈尔滨一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为()A.

B.C.

D.B[解析]当C取最大值时，cosC最小，由cosC＝＝＝≥，当且仅当c＝时取等号，且此时sinC＝，所以当C取最大值时，△ABC的面积为absinC＝×2c×1×＝.7．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为________．[解析]由面积公式，得S＝bcsinA，代入得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，故a＝2，由正弦定理，得2R＝＝，解得R＝2.[答案]28．(2017·高考浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．[解析]在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝.因为BD＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，则cos∠CDB＝＝.高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第12页。[答案]高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第12页。9．(2017·贵阳市监测考试)在△ABC中，内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．[解析]由题意，得＝，即cosB＝，又由余弦定理，得＝，整理，得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．[答案]直角三角形10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sinA，sinB，sinC成等差数列，且a＝2c，则cosA＝________．[解析]因为sinA，sinB，sinC成等差数列，所以2sinB＝sinA＋sinC.因为＝＝，所以a＋c＝2b，又a＝2c，可得b＝c，所以cosA＝＝＝－.[答案]－11．(2016·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin2B＝bsinA.(1)求B；(2)若cosA＝，求sinC的值．[解](1)在△ABC中，由＝，可得asinB＝bsinA.又由asin2B＝bsinA，得2asinBcosB＝bsinA＝asinB，所以cosB＝，所以B＝.(2)由cosA＝，可得sinA＝，则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin＝sinA＋cosA＝.12．(2017·河南省八市重点高中质量检测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asinA＝(2sinB－sinC)b＋(2sinC－sinB)c.(1)求角A的大小；高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第13页。(2)若a＝2，b＝2，求△ABC高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理全文共14页，当前为第13页。[解](1)由已知及正弦定理可得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝.又A∈(0，π)，故A＝.(2)由正弦定理＝，a＝2，b＝2，A＝，得sinB＝.又B∈，故B＝或.若B＝，则C＝，于是S△ABC＝ab＝2；若B＝，则C＝，于是S△ABC＝absinC＝.13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为()A．2

B．3C．2