湖南省郴州市博文实验中学高三数学文下学期期末试卷含解析

湖南省郴州市博文实验中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得m，，，则A、B两点的距离为A．m

B．mC．m

D．m参考答案：D2.复数满足，若复数对应的点为，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．参考答案：D由得，∴，∴对应的点为，∴所求距离为.3.已知为全集，,则（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C略4.设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意∈[a，b]，都有成立，则称和在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”.若与在[a，b]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（

）（A）[1，4]

（B）[2，4]

（C）[3，4] （D）[2，3]参考答案：D5.已知,点在内，且，设，则等于（

）A．

B．3

C．

D．参考答案：B【知识点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．F3

∵,∴,,,∴在x轴方向上的分量为,在y轴方向上的分量为∵∴两式相比可得：．故选B.【思路点拨】先根据可得，再计算出，又根据，可得答案．6.设全集U=R，集合，则?UB＝()A．

B．

C．

D．

参考答案：D7.已知函数给出下列两个命题，p：存在，使得方程f（x）=0有实数解；q：当时，f（f（1））=0，则下列命题为真命题的是（）

参考答案：B8.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD的中点，则当点P沿着路径A-B-C-M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数的图像的大致形状是（

）

A

B

C

D参考答案：A9.函数的零点个数为A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B10.已知等差数列中，公差为1，前7项的和，则的值为（

）

A．5

B．4

C．3

D．2参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在点处的切线与垂直，则实数

．参考答案：112.已知，并且成等差数列，则的最小值为_________.参考答案：16由题可得：，故13.在ABC中，，D是AB边上的一点，，△CBD的面积为1，则AC边的长为_______.参考答案：略14.如图是一个算法的程序框图，若输入的x=8，则输出的k=

；若输出的k=2，则输入的x的取值范围是

。参考答案：4,(28,57]

15.是定义在上的偶函数，当时，，那么当时， .参考答案：略16.等比数列{an}的前n项和为Sn，Sn=b（﹣2）n﹣1﹣a，则=．参考答案：﹣

【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用递推关系、等比数列的定义与通项公式即可得出．【解答】解：n=1时，a1=b﹣a．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，上式对于n=1时也成立，可得：b﹣a=b+．则=﹣．故答案为：﹣．17.已知R上可导数学的图象如图所示,则不等式的解集为_______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=，a=bcosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使PC=2，过点P作PM⊥CA于M，PN⊥CD于N，设线段PM，PN的长分别为m，n，∠PCM=x，且，求f（x）=mn的最大值及相应x的值．参考答案：【考点】三角形中的几何计算；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（Ⅰ）用正弦定理把a=bcosC化为sinA=sinBcosC，再用三角形的内角和定理与三角恒等变换，求出C的值；（Ⅱ）根据直角三角形中的边角关系，求出m、n，写出f（x）的解析式，利用三角函数求出f（x）的最大值以及对应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，A=，a=bcosC，∴sinA=sinBcosC，即sin（B+C）=sinBcosC，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，∴cosBsinC=0；又B、C∈（0，π），∴sinC≠0，cosB=0，∴B=，C=；（Ⅱ）△ABC的外角∠ACD=π﹣=，PC=2，且PM⊥CA，PN⊥CD，PM=m，PN=n，∠PCM=x，；∴m=2sinx，n=2sin（﹣x），∴f（x）=mn=4sinxsin（﹣x）=4sinx（sincosx﹣cossinx）=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+（1﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1；∵＜x＜，∴＜2x＜π，∴＜2x﹣＜，∴sin（2x﹣）≤1，∴f（x）≤2+1=3，当2x﹣=，即x=时，f（x）取得最大值3．【点评】本题考查了三角形中的边角关系的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．19.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽率，得到如下表格：（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“均不小于25”的概率；（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出关于的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？参考公式：，.参考答案：(1)所有的基本事件为(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个.

设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)，共3个.

所以P(A)＝.3.(2)由数据得，另3天的平均数，，法一：，法二：，所以＝27－×12＝－3，

所以y关于x的线性回归方程为＝x－3.(3)依题意得，当x＝10时，＝22，|22－23|<2；当x＝8时，＝17，|17－16|<2，…11分所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的.20.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（1）证明：PB∥平面AEC（2）已知，，求二面角的余弦值.参考答案：(1)证明见解析；(2).试题分析：(1)以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，可得：直线的方向向量为：，平面的一个法向量为，结合可得：平面.(2)结合(1)的结论结合题意可得平面的一个法向量为.平面的一个法向量为：，据此计算可得二面角的余弦值为.试题解析：(1)以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由几何关系有：，则直线的方向向量为：，，设平面的法向量，则：，据此可得：平面的一个法向量为，结合可知：，据此可得：平面.(2)结合(1)的结论可知：，则平面的一个法向量为.由平面可知平面的一个法向量为：，据此可得：，则，观察可知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.21.在数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足的前n项和Sn.参考答案：略22.选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|，（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；（Ⅱ）当x＜5时，不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|＞2恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（I）由于函数f（x）=|x﹣7|﹣|x﹣3|=，由此根据函数的解析式作出函数的图象．（II）当x＜5时，由题意可得|x﹣a|＜6﹣x恒成立．平方可得（12﹣2a）x＜36﹣a2．结合题意可得12﹣2a＞0，且x＜．故有≥5，且a＜6，由此求得a的范围．【解答