广西钦州一中届高三开学摸底考试数学（文）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精钦州市第一中学2021届高三入学测试试卷数学（文科）考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：共12小题．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则(）A。 B. C。 D。【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集的概念及运算，即可求解。【详解】由题意，集合，，根据集合的交集的运算，可得。故选:C。【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中熟记集合的交集的概念是解答的关键，属于容易题.2。若(为虚数单位),则复数（）A. B. C。 D。【答案】B【解析】【分析】根据，利用复数的除法求解。【详解】因为，所以,故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算,属于基础题.3。已知向量，，且，则实数()A.3 B.1 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】由题意,得到,再根据向量的数量积的运算公式,列出方程,即可求解。【详解】由题意，向量,，可得，因为，可得，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量的坐标表示和向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力。4。《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．已知在直三棱柱中，，,，，截面将该直三棱柱分割成一个阳马和一个鳖臑，则得到的阳马和鳖臑的外接球的半径之比为（）A。 B。 C. D。【答案】C【解析】分析：利用补形法求得到的阳马和鳖臑的外接球的半径之比.详解：由题得四棱锥为阳马，三棱锥为鳖臑，将两个直三棱柱拼在一起，得到一个长方体，则四棱锥、三棱锥和长方体的外接球是一样的，所以得到的阳马和鳖臑的外接球的半径之比为1:1。故答案为C点睛:（1)本题主要考查几何体的外接球半径的求法,意在考查学生对该基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2）解答本题的关键是补形,解决几何体的外接球问题有直接法和补形法。5。已知，则(）A。 B. C. D。【答案】D【解析】分析：先将根据二倍角公式化简即可求值.详解:由题可得:=3故选D.点睛：考查三角函数的二倍角公式的运用,属于基础题.6。已知，则的大小关系为（）A。 B。 C。 D.【答案】D【解析】分析：可以先比较同底的对数大小，再结合中间值1，进行比较即可.详解：,故,选D。点睛：考查对数函数的基本性质和运算公式，比较大小通常先比较同底的然后借助中间值判断不同底的即可.属于基础题.7.如果圆上任意一点都能使成立，那么实数的取值范围是（）A。 B. C. D.【答案】C【解析】设圆上任意一点的坐标为，即，即,即，又,得到，则，故选C.【方法点晴】本题主要考查圆的参数方程、利用辅助角公式求最值以及不等式恒成立问题，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据：配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用三角函数法求最值，首先将参数换元，然后利用辅助角公式及三角函数的有界性求解即可.8.点在边长为2的正方形内运动，则动点到顶点的距离的概率为（）A B。 C。 D.【答案】C【解析】分析：先根据题意得出PA等于2的临界值情况，再根据几何概型求解即可。详解：由题可知当PA=2时是以A为圆心2为半径的四分之一圆，所以概率为P=，故选C点睛：考查几何概型，根据条件先找出问题的临界条件是解题关键，属于基础题。9.已知为三次函数的导函数,则它们的图象可能是（）A。 B.C. D.【答案】D【解析】分析:先求出g（x)的解析式,再求其零点得解.详解：，所以的零点为.故答案为D点睛：(1）本题主要考查函数求导和函数的零点,考查函数图像的判断，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)根据解析式找图像时，一般是先找差异再验证，四个选项很明显的是零点不同，所以可以先求函数的零点再判断。10。的内角的对边分别为，，，若的面积为,则A。 B. C. D。【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛:本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．11.已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得双曲线的方程的渐近线方程，求得圆的圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式,解方程可得a2=2b2,由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】双曲线﹣=1(a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆x2+y2﹣6x+5=0即为（x﹣3）2+y2=4,圆心为（3,0），半径为2，圆心到渐近线的距离为d=，由弦长公式可得2=2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，则e==．故选：．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．12。已知是上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（）A。 B。C. D。【答案】B【解析】【分析】根据偶函数的性质可得在上单调递增,可将问题转化为和1到对称轴的距离的大小的问题求解．【详解】由题意，根据偶函数的性质知，在上单调递增，又，所以，解得，由在上为单调递增,所以．故选B．【点睛】偶函数具有性质,利用这一性质,可将问题转化到函数的同一个单调区间上去研究，同时也可将函数值的大小转化为变量到对称轴的距离的大小的问题求解．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13.若，满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域,再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义,可以发现直线过B点时取得最大值,联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由，可得，画出直线,将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式,判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式,应用相应的方法求解。14.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】【分析】求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.【详解】由,得，则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率;②写出切线的点斜式方程;③化简整理.15。一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______．【答案】【解析】有三视图可知，几何体为三棱锥，底面三角形面积为,高为，故体积为。16.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，且,则__________。【答案】6.【解析】易知抛物线的焦点为，准线为.如图,取的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为。由抛物线的定义可知,则.设,则，又,所以，又,即，解得。所以.三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题17。记为等差数列的前项和，已知，．(1）求的通项公式；(2)求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1)根据等差数列前n项和公式，求出公差,再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值。详解:（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2)由（1)得Sn=n2–8n=（n–4)2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值,最小值–16．点睛：数列是特殊的函数,研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18。某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人?（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．【答案】（1）男30人，女45人(2)【解析】【分析】（1)根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；（2）求出样本中的男生和女生的人数,写出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可．【详解】（1）由题可得，男生优秀人数为人,女生优秀人数为人;(2）因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人．设两名男生为,，三名女生为，．则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为:，，，，，,，,，共10个,记事件:“选取的2人中至少有一名男生”，则事件包含的基本事件有：，，，，,，共7个．所以．【点睛】本题考查了频率分布问题，考查了古典概型概率问题，是一道中档题．19。如图所示，在三棱锥中，平面，，、分别为线段、上的点,且,。（Ⅰ）求证：平面；(Ⅱ）求点到平面的距离。【答案】(1)见解析;（2)点到平面的距离为。【解析】试题分析：(1）所以平面;（2）利用等体积法，，所以点到平面的距离为.试题解析：（Ⅰ）证明：由平面，平面,故由，得为等腰直角三角形，故又，故平面．(Ⅱ）由（Ⅰ)知，为等腰直角三角形,过作垂直于，易知,又平面，所以,，设点到平面的距离为，即为三棱锥的高，由得，即,即，所以，所以点到平面的距离为。20.设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．（1）求椭圆的方程；（2)设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．【答案】（1）;(2）．【解析】分析：（I）由题意结合几何关系可求得。则椭圆的方程为。（II）设点P的坐标为,点M的坐标为，由题意可得.易知直线的方程为,由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，或。经检验的值为.详解：（I)设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由，从而．所以，椭圆的方程为．（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意,,点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，从而，即．易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由,可得，两边平方，整理得,解得，或．当时，,不合题意,舍去；当时，,，符合题意．所以，的值为．点睛:解决直线与椭圆的综合问题时,要注意：（1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件;（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21。设函数（1）讨论的单调性；（2)当时,恒成立,求的取值范围。【答案】（1）答案见解析;（2)a≥-2.【解析】【分析】(1)求函数导数，由得函数增区间，由得函数减区间；（2）由，可得在上恒成立，令,求最大值即可。【详解】(1）令得当时,f’(x)<0；当时，f’（x)>0；当时,f’（x）〈0。所以f（x)在，单调递减，在单调递增（2）由得,因为,所以令,则0得极大值点x=1,g(x)的最大值为g（1)=—2,故，a≥—2【点睛】本题考查了新定义和函数的单调性和最值的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0;或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数(二）选考题：请考生在第22/23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22。已知曲线的参数方程为(为参数）,在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线。（1）求曲线普通方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时,求中点的轨迹方程.【答案】（1）(2)【解析】【分析】(Ⅰ）根据坐标变换，代入变换方程,即可得到变换后的参数方程，进而转化为普通方程．(Ⅱ)根据中点坐标公式求出P点的参数方程，代入普通方程得到中点的轨迹，再化为标准方程即可．【详解】（Ⅰ）将代入，得的参数方程为，∴曲线的普通方程为.（Ⅱ）设，，又，且中点为，所以有:,又点在曲线上,∴代入的普通方程得，∴动点轨迹方程为。【点睛】本题主要考查了利用迭代法求方程的方法，参数方程与普通方程间的转化，属于简单题．选修4—5：不等式选讲23.已知函数（Ⅰ）解不等式．（Ⅱ)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．【答案】（I)或；(II）或