电子科技大学,电磁场与电磁波第一章

第一章矢量分析本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基础内容。

矢量代数常用正交坐标系标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度拉普拉斯运算亥姆霍兹定理本章内容矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示

矢量的几何表示矢量可表示为：其中为模值，表征矢量的大小；为单位矢量，表征矢量的方向；

说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。教材上的矢量符号即采用印刷体。1.1矢量代数1.1.1标量和矢量标量与矢量标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）矢量的代数表示矢量用坐标分量表示zxy1.1.2矢量的运算矢量的加法和减法说明：1、矢量的加法符合交换律和结合律：

2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：矢量的乘法矢量与标量相乘标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。矢量的标积（点积）说明：1、矢量的点积符合交换律和分配律：

2、两个矢量的点积为标量矢量的矢积（叉积）说明：1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：

2、两个矢量的叉积为矢量3、矢量运算恒等式qsinABq三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点来确定。在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。1.2三种常用的正交坐标系1.2.1直角坐标系位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx1.剥2.缝2菌圆伙柱坐跳标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元块矢量圆柱捐坐标型系中品的线壳元、继面元现和体落积元圆柱伤坐标挎系说明艰：圆柱农坐标奶系下钳矢量笨运算汉方法捞：加减典：标积援：矢积欣：1.盾2.湖3层球关面坐损标系球坐国标系球坐痒标系万中的雹线元怒、面袖元和秘体积遥元坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积也元面元宽矢量说明续：球孩面坐更标系袭下矢间量运朽算：加减腔：标积士：矢积它：1.晕2.柏4耻坐冤标单芝位矢卷量之叹间的求关系直角痛坐标与圆柱抱坐标塌系圆柱自坐标与球坐捎标系直角齐坐标与球坐趟标系oφxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系φoθrz单位圆

柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系θθ三种像坐标糕系有廊不同愁适用烘范围此：1、疼直角蹲坐标拥系适蛙用于扫场呈面对圾称分华布的问摧题求半解，羡如无卸限大录面电衣荷分秃布产膜生电加场分劝布。2、地柱面艇坐标伏系适艇用于菊场呈轴对殃称分稍布的问幸题求滑解，任如无纠限长笨线电鱼流产挥生磁切场分棕布。3、彻球面厉坐标塔系适寒用于繁场呈点对朴称分吼布的问挥题求僚解，驻如点士电荷饰产生病电场湖分布肠。1.链3趣标毁量场撕的梯况度如果乘物理剩量是记标量液，称垮该场蒜为标量趣场。例如：温则度场棋、电劈燕位场药、高渣度场馆等。如果响物理滑量是高矢量伏，称锻该场吴为矢量礼场。例如：流手速场、重力侧场、电艘场、隔磁场僚等。如果叶场与庄时间逝无关帝，称护为静态虎场，反溜之为时变徒场。时变标量场和矢量场可分别表示为：

确定紫空间例区域摇上的得每一饿点都航有确劈燕定物饭理量报与之身对应疲，称冻在该准区域舒上定踢义了贩一个场。从数诉学上葬看，越场是致定义魂在空争间区幕域上沿的函约数：标量宏场和捎矢量逮场静态标量场和矢量场可分别表示为：1.肾3.胖1让标郊量场巧的等奏值面标量某场空妇间中愧，由北所有绳场值扮相等爹的点像所构量成的兴面，拿即为昼等值泡面。锯即若示标量较函数既为黄，还则等苦值面太方程工为：1.呈3.毯2挖方传向导乔数方向胁导数乡丰表征攀标量侍场空斤间中旅，某点柱处场值勺沿特定狗方向变化炉的规狠律。方向闻导数鸭定义折：方向途导数侮与选输取的考察忆方向有关蚂。方向摧导数庭物理么意义拖：，标崭量场劳在盒处狼沿到方蛛向增健加率超；，标烈量场歇在切处麦沿湖方诉向减背小率齿；，标萌量场箭在挤处炉沿怪方舱向为垄等值便面方佣向（祸无改锻变）方向雾导数皂的计最算——穗的吵方向肉余弦田。式中：分别宗为估与x势,y杂,z默坐标界轴的送夹角玻。梯度魄的定券义式中渠：努为刷场量最大悬变化贺率的方逼向上牧的单原位矢旗量。梯度花的性聪质标量朱场的贤梯度讽为矢量，且暮是坐骆标位视置的脱函数标量压场梯久度的吸幅度锅表示据标量迫场的最大属增加懒率标量愉场梯热度的柄方向垂直截于等值烘面，从为标院量场增加详最快的方绞向标量造场在冒给定临点沿袜任意磨方向镰的方向鹿导数等于梯度萌在该哑方向掀投影1.爪3.贝3互标单量场蓝的梯好度梯度楼的运序算直角段坐标沉系：哈密顿算符球面坐标系：柱面坐标系：梯度远运算夺相关演公式式中沟：购为捞常数蛙；为坐然标变涛量函是数；1.喜4举矢陪量场配的通铺量与怪散度1.虑4.做1郊矢厌量线世（力驻线）矢量场的通量

矢量损线的疏密表征红矢量多场的大小矢量娘线上弓每点舞的切肉向代扎表该屯处矢悔量场禽的方贞向若矢量诞场六分布则于空雄间中俱，在桨空间监中存城在任匀意曲歼面S，则定恳义：为矢量笛沿有向唤曲面柳S晕的族通量。1.摊4.菊2侵矢量勒场的烟通量矢量线OM

问题：如何驼定量夺描述尸矢量泄场的穷大小鸭？引入通量的概筛念。1)然面到元矢庸量仁定义夜：面隙积很较小的有向曲面生。：面陵元面蝇积，畜为微享分量财，无限辛小：面薯元法标线方弃向，垂直贡于面元震平面挂。说明：2)面元培法向备的确钢定方消法：对非唯闭合誓曲面叔：由鸭曲面遇边线露绕向招按右手袋螺旋忌法则确定悉；对闭备合曲仰面：司闭合矮面外法抖线方狭向若S为闭设合曲足面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。

若穷，样通过本闭合调曲面怨有净龄的矢笔量线滑穿出烘，闭痛合面效内有燃发出橡矢量叙线的正源；若种，石有净品的矢驳量线受进入兽，闭毯合面汗内有订汇集孤矢量列线的负源；若供，毁进入翠与穿猾出闭转合曲殿面的碍矢量滩线相网等，毫闭合送面内无源，或正源幻玉负源棉代数饰和为0。通过闭合伟面S的通栏量的物浩理意谢义：、矢瓶量场卵的散霸度散度幅的定按义在场施空间棍中斥任意池点M百处趁作一璃个闭逮合曲鸦面，策所围法的体胶积为嫂，则恐定义史场矢各量际在M跨点该处的磨散度垒为：即流出贯单位弦体积盆元封伍闭面讽的通贸量。散度克的物劝理意沸义矢量廊场的贺散度榆表征而了矢量量场晌的通量殖源的明分布篇特性(体密勾度)；矢量屠场的散度雁是标赠量；矢量仁场的诉散度邪是空独间坐艰标的底函数形；矢量辞场的隔散度术值表弄征空背间中产某点始处通量乱源的合密度。(正源)

负源)(无源）若沿处处逝成立胸，则奴该矢驰量场乏称为无散办场若问，则这该矢超量场片称为有散荡场，为辛源密泊度讨论：在矢量场中，在直武角坐驰标系彻下：在圆挥柱坐爸标系堪下：在球贿面坐总标系附下：散度漆的计抚算1.躁4.铸4区散脆度定早理（挠矢量愉场的杏高斯殿定理级）该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场穿过包围该体积的边界面S的通量。散度蚁运算窃相关秤公式1.蒙5鼓矢浅量场爆的环流想旋度磁感应线要么穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线磁场混的环节流：1.可5.辞1迁矢量密的环岩流在场屯矢量胜空吧间中地，取但一有旱向闭刻合路华径爹，拉则称加沿结积分渗的结比果称畜为矢古量邪沿僚的足环流战。即轰：线元矢量：长度趋近于0，方向沿路径切线方向。环流夜意义验：若佣矢量贩场环须流不画为零卡，则蛇矢量崖场中版存在辟产生询矢量飞场的周漩涡扭源。反映矢量场漩涡源分布情况讨论冲：环量的定义1.干5.蚁2数矢借量的宾旋度环流贺面密倒度称为捧矢量券场在M拥点处巡寿沿绢方挡向的沾漩涡膜源密窑度。定义抄：空间缠某点祝M处免单位级面元梁边界猾闭合仿曲线幅的环呈流：1)锐环流植面密傅度大兄小与着所选潜取的辆单位脊面元眉方向秤有关兰。2)甚任集意取贩向面旺元的开环流承面密奏度与股最大侍环流雪面密隔度的冷关系流：矢量完场的旋度矢量丈场在钟M点略的旋箩度为张该点纹处环流寸面密听度最吨大时对应漫的矢第量，弃模值鹊等于M点繁处最祝大环岛流面白密度，方鞠向为环流浑密度前最大绢的方厕向，表哪示为军，即踏：式中：表示矢量场旋度的方向；旋度派的物表理意花义矢量泊的旋延度为矢量，是拥空间骡坐标霉的函何数矢量眠在空沟间某房诚点处饮的旋浩度表丛征矢卡量场巴在该待点处塘的漩涡酷源密特度旋度蛮的计逃算直角麻坐标哪系：柱面霸坐标往系：球面卖坐标急系：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零旋度煮计算厅相关模公式滩：证明证明讨论苏：散弟度和你旋度组比较1.液5.森3灿斯托怜克斯撑定理由旋决度的坟定义对于裕有限零大面积s，可将炎其按印如图响方式凳进行据分割阿，对挪每一纠小面鹅积元伐有斯托帝克斯静定理示的证规明：＝得证相！意义巷：矢般量场晴的旋劫度在零曲面洪上的西积分如等于桂该矢岁量场胃在限耕定该零曲面丘的闭泛合曲蕉线上撑的环怒流。曲面也的剖分方向酷相反章大小寒相等妨抵消若矢抵量场概在多某区袜域V锈内，氏处处裂，但殊在某乱些位沉置或决整个肃空间芬内，盛有中，登则称齿在该犬区域碰V内谜，场很为掠无旋休场。1.席6略无采旋场经与无峰散场1.悬6.辈1拳无旋桥场结论哗：无旋程场场娘矢量怀沿任涉何闭逆合路糕径的港环流拳等于熊零(钻无漩帅涡源悦)。重要布性质：无旋麻场的偶旋度爪始终席为0棚，可引登入标扬量辅喇助函偿数表征阿矢量贸场，床即例如守：静月电场1.些6.州2漠无散犁场若矢产量场水在偏某区下域V闭内，剩处处道，窝但在杜某些隔位置聪或整夏个空谱间内夏，有俯，疫则称疗在该虚区域羽V内星，场帅为柏无源透有旋热场。结论团：无散搏场通予过任详意闭秘合曲戴面的汽通量台等于颂零（测无散蛮度源泪）。重要顽性质盛：无散螺场的浆散度旨始终耍为0胶，可梢引入查矢量贯函数养的旋坝度表主示无使散场例如笔，恒份定磁灿场（3茶）无碎旋、框无散搞场（源茎在所点讨论时的区拖域之茂外）（4挤）有焦散、锄有旋鞋场这样军的场职可分执解为胁两部鞋分：检无旋怒场部殖分和吼无散灰场部宏分无旋场部分无散场部分1.咱7网拉虎普拉爆斯运送算标量详场的便拉普芦拉斯筝运算对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：式中：称为拉普拉斯算符。在直角坐标系中：在圆动柱坐曾标系痕中：在球写面坐赖标系帆中：(1值.7廉.3艇)矢量客场的育拉普焰