方程的导出定解条件

《数学物理方程》希尔伯特&柯朗合编巨著：《数学物理方法》Hilbert的博士宣誓仪式，校长主持：“我庄严的要你回答，宣誓是否能使你用真诚的良心承担如下的许诺和保证：你将勇敢的去捍卫真正的科学，将其开拓，为之添彩；既不为厚禄所驱，也不为虚名所赶，只求上帝真理的神辉普照大地，发扬光大。”Hilbert：我们必须知道，我们必将知道。1.弦振动方程的导出（达朗贝尔）§1方程的导出、定解条件*历史背景：弦的振动为何能产生动听的音乐。福州大学数学与计算机科学学院－江飞:jiangfei0591@163.com*物理模型：给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，其长度为，在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动。*理想化假设（抓住本质特征，够用即可）：还有一种假设是“缺啥补啥”。１.弦是均匀的，并视为一条曲线，线密度为常数。２.弦在某平面内作微小横振动。３.弦是柔软的，在形变时不抵抗弯曲。各质点的张力方向与弦的切线方向一致，且弦的伸长变形与张力的关系服从虎克定律。均匀、柔软且在平面内小振动的弦，点上张力方向与切线方向一致，且张力大小与伸长形变满足胡克定律。*物理守恒律（转化方程等式）：牛顿第二定律：或冲量定理：教材采用*目标函数：弦上质点相对于平衡位置的位移时刻示意图（１）取一弦段,它的弧长为考虑到是小振动，故可忽略二阶小项，即得这样，可认为弦在振动过程中并未伸长。由胡克定律知，弦上每点所受的张力大小与时间无关。时刻示意图下面我们推导弦振动方程，先考虑无外力情况：其中（2）设点处张力为由于弦只在轴的垂直方向作横振动，所以水平方向的合力为零，即方向与该点的切线方向一致。负号表示与坐标轴方向相反记

由于小振动，故即知负号表示与坐标轴方向相反记

（3）张力在轴方向上的合力为：记

则在时间段中该合力产生的冲量为：在时间段内弦段的受到的冲量为：（4）另一方面，在时刻及时刻弦段的动量分别为故在时间段内弦段的动量变化为（5）由冲量定理，可得（6）化成微分形式：利用N-L公式，可得由的任意性，知被积函数必须为零，即其中波速（7）有外力情况：假定有垂直于轴方向的外力存在，并设其线密度为，它在时间段内的冲量为于是有无外力的弦振动方程（1D波动方程）：则弦段上的外力为仍有的任意性，知表示单位质量在每点处所受的外力

弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数所应满足的一般性规律。由于弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此还需要结合实际问题附加某些特定条件。进一本步推替广到乎高维橡情况所：薄膜振动：电磁波、声波的传播：2.定解涨条件偏微分方程（PDE），或称泛定方程（a）第虾一类僚边界风条件断（狄叔利克养雷边万界条拴件）:*初始条件：设弦在初始时刻时的位置和速度为*边水界条粉件（客注意孝该提衣法的扑物理护背景阻）：在前面的推导中，弦的两端被固定在和两点，即（b）第咏二类睛边界仓条件母（诺者伊曼椅边界忧条件泽）:设弦的一端处于自由状态，即可以在垂直于轴的直线上自由滑动，且未受到垂直方向的外力。由于在边界右端的张力的垂直方向分量是，于是边界处应有

也可考虑更一般非零情况。*把华泛定卡方程战和定跨解条损件结宫合起筛来，点就得牺到了输与实山际问叠题相埋对应摄的定询解问叹题压，比辣如弦的一端处于固定在伸缩符合胡克定律的弹性支承上，如果支承的初始位置为，那么在端点的

值表示支承的伸长量，于是其中为弹性系数。可化为其中。也可链进一海步考奸虑一璃般非瓶零情艺况。（c）第丈三类善边界裂条件愉（混咱合边息界条销件）*边叉界条往件与笛初始禽条件毁总称柄为定喇解条窗件。黑点受到的张力在垂直方向的分量形成对弹簧的牵引力。注意形状对于灰弦振插动方娃程而刺言，刘与上雀述定膜解条侮件（凭以第揪一类砖边界斑为例跌）结酿合后汪，其欧定解罚问题万可以侵描述拾为：要在区域上（见右上图）求上述定解问题的解，就是要求这样的连续函数，它在区域中满足波动方程(1.1)；在轴上的区间[0,l]上满足初始条件(1.2)；并在边界和上满足边界条件(1.3)。*阶踢：PD仁E所含愚有的扭未知猪函数唐最高目阶导兆数的晃阶数立。比激如3.偏微优分方泥程的始分类*线夕性与志非线榜性：为二阶PD笑E。（1）线霸性方党程：钓方程敏对于首未知外函数斑及其摔各阶虑导数例总体乒来说涌是线忍性的介。比散如（2）非阁线性甚方程顷：（b）完落全非狸线性公方程慌：方祥程对鼠未知般函数允的最傲高阶膝导数矿不是疼线性压的方下程。谅比如（a）拟页线性词方程橡：方缠程对骄未知法函数伐的最糕高阶妄导数疯总体思来说妄是线塞性的促方程诵。比盟如*齐临次性文：（b）边撕界条贡件和皆初始左条件可也有捡齐次盗和非亮齐次嘱之分小。（a）泛象定方嫂程的嘴齐次肚性：以方狡程为例，函数与未知函数无关（自由项），若该项恒为零，则该方程为齐次方程。反之，为非齐次方程。4.定解残问题商适定谎性概端念*定回解问框题的懂存在执性、啦唯一择性和覆稳定漆性统邀称为渡定解胀问题割的适隐定性骡。如荷果一筐个定揉解问助题的灯解是驶存在膏的，迷唯一岸的，两而且烛是稳茅定的却，我编们就海称这趟个问成题是读适定桂的。*解端的存驾在性仓：定医解问励题的求解是蹦否一孤定存另在？*解字的唯勇一性龙：定坑解问携题的荡解是饲否只洗有一导个？*解分的稳把定性呢：当经定解踩条件史或自见由项帽作很碰小的广变化伏时，察问题瞧的解协是否摆也作另很小现的变兄化？*除镇了研社究定钱解问悔题的验适定扑性外羡，数验理方肆程中肚还经尘