巧用数学思想来解与二次函数有关的问题

巧用数学思想来解与二次函数有关的问题本节主要来介绍下巧用数学思想来解与二次函数有关的问题.一、数形结合思想【例题1】如图，已知二次函数y1=﹣x2+13/4x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．【答案与解析】解：（1）将A（4，0）代入y1，得﹣16+13+c=0．解得c=3，∴二次函数y1的解析式为y=﹣x2+13/4x+3，∴B点坐标为（0，3）；（2）由图象得直线在抛物线上方的部分是x＜0或x＞4，∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；（3）直线AB的解析式为y=﹣3/4x+3，AB的中点为（2，3/2）,AB的垂直平分线为y=4/3x﹣7/6,当x=0时，y=﹣7/6，P1（0，﹣7/6），当y=0时，x=9/4，P2（7/8，0），综上所述：P1（0，﹣7/6），P2（7/8，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．【点评】本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数与不等式的关系求不等式的解集；（3）利用线段垂直平分线的性质，利用直线AB得出AB的垂直平分线是解题关键．二、函数与方程思想【例题2】某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≧60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？【答案与解析】解：（1）销售单价为x元，则销售量减少1/5（x-60）×20，故销售量为y=240﹣1/5（x-60）×20=﹣4x+480（x≥60）；（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得x1=70，x2=50（不合题意舍去），故当销售价为70元时，月销售额为14000元；（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：w=（x﹣40）（﹣4x+480）=﹣4x2+640x﹣19200=﹣4（x﹣80）2+6400．当x=80时，w的最大值为6400．故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了数学建模思想方法，关键是对题意要正确理解.三、分类讨论思想【例题3】若函数则当函数值y＝8时，自变量x的值是()．A．±√6B．4C．±√6或4D．4或-√6【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y＝8时，求x的值时，注意分类讨论.【答案】D；【解析】由题意知，当x2+2=8时，x=±√6．而√6>2，∴x=-√6．x=√6(舍去)．当2x＝8时，x＝4．综合上知，选D．【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．【例题4】已知抛物线C1：y＝ax2＋4x＋c与x轴交于M(－4，0)和N两点，且抛物线过点A(－2，－4)．(1)求抛物线C1的表达式；(2)抛物线C2与抛物线C1关于直线x＝m(m≠－2)对称，点M的对应点为P，若△AMP是等腰三角形，求m的值及抛物线C2的表达式．【参考答案】解：(1)∵抛物线C1：y＝ax2＋4x＋c过点M(－4，0)和点A(－2，－4)，∴抛物线C1的表达式为y＝x2＋4x；(2)令x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－4，∴点N的坐标为(0，0)．易得抛物线C1的对称轴为直线x＝－2，且点A(－2，－4)为抛物线C1的顶点．若△AMP是等腰三角形，分为以下三种情况：如解图，设点P的坐标为(x，0)，①当AM＝AP1时，∵点M与点P1关于直线x＝－2对称，∴直线x＝m与抛物线C1的对称轴x＝－2重合，∵m≠－2，此时不符合题意，故舍去；②当MP2＝AP2时，有(x＋4)2＝(x＋2)2＋16，解得x＝1，∴P2(1，0)，∴m＝1/2(－4＋1)＝－3/2.∴顶点A关于直线x＝－3/2对称的点为A1(－1，－4)，∴抛物线C2的表达式为y＝(x＋1)2－4；③当MP3＝AM，MP4＝AM时，有(x＋4)2＝2^2＋4^2，解得x＝－4±2√5，∴P3(－4－2√5，0)，P4(－4＋2√5，0)，∴m＝－4±√5，∴顶点A关于直线x＝－4＋√5，x＝－4－√5的对称点分别为:A2(－6＋2√5，－4)，A3(－6－2√5，－4)，∴抛物线C2的表达式为y＝(x＋6－2√5)2－4或y