数学高二-江苏省南师大二附中、大桥中学2022-2023学年高二下学期5月联考数学试题（解析版）

南师大二附中、大桥中学高二联考调研卷数学一､单选题：1.设随机变量服从两点分布，若，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【答案】D【解析】【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出【详解】由题意得，因为，所以解得，所以，故选：D2.若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（）A. B. C.或 D.2【答案】A【解析】【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】因为，所以，，又与夹角的余弦值为，，所以，解得，注意到，即，所以故选：A.3.二项式的展开式中的系数为（）A.-21 B.21 C.36 D.-36【答案】A【解析】【分析】求出二项式的通项公式，然后求展开式中的系数即可.【详解】二项式的通项公式为：.所以令，解得，所以展开式中的系数为.故选：A.4.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】因为在平行六面体中，，所以.故选：A.5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A.12种 B.24种 C.36种 D.48种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B6.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.【详解】，为等腰直角三角形，，则外接圆的半径为，又球的半径为1，设到平面的距离为，则，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.7.某市2016年至2020年新能源汽车年销量y（单位：百台）与年份代号x的数据如下表，若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则表中的值为（）年份20162017201820192020年份代号x01234年销量y10153035A.22 B.20 C.30 D.32.5【答案】B【解析】【分析】先求出、，再利用回归直线过进行求解.【详解】由题意，得，，因为y关于x的回归直线方程为，所以，解得.故选：B.8.已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案.【详解】因为，所以，故，故.故选：B二､多选题：9.下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线的方向向量分别是，则B.直线的方向向量，平面的法向量是，则C.两个不同的平面的法向量分别是，则D.直线的方向向量，平面的法向量是，则【答案】AC【解析】【分析】根据条件，利用方向向量､法向量的定义与性质，结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】解：对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，则，所以，即，故正确；对于，两个不同的平面，的法向量分别是，则，所以，故正确；对于，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即或，故错误；对于，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即，故错误．故选：．10.下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（）A.样本的标准差 B.样本的中位数C.样本的极差 D.样本的平均数【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.11.已知，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】令，可求，可求，利用二项式定理将展开即可求解.【详解】解：因为，所以令，可得，令，可得，所以选项A正确，选项B错误；因为，所以展开式的通项公式为，所以，，所以选项C、D正确.故选：ACD.12.在棱长为1的正方体中，O为正方形的中心，则下列结论正确的是（）A. B.平面C.点B到平面的距离为 D.直线BO与直线的夹角为【答案】ABC【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理证明平面，可判断A;连接BD,交AC于E,连接，证明，根据线面平行的判定定理，可判断B;利用等体积法，求得点B到平面的距离，判断C;采用作平行线的方法，求出直线BO与直线的夹角，可判断D.【详解】对于A，如图，连接,则交于点O,正方体中，平面平面,故,而平面,故平面,故平面，而平面,故，即，故A正确；对于B，连接BD,交AC于E,连接,则,故四边形是平行四边形，故平面不在平面ACD1,故平面，故B正确；对于C，设点B到平面距离为d,因为,故，解得，故C正确；对于D,连接,则即为直线BO与直线的夹角或其补角，在中，,所以,则,故D错误，故选：ABC三､填空题：13.设，且，若能被13整除，则a＝___．【答案】12【解析】【分析】将化为，求出被13整除的余数，再结合已知条件即可求解．【详解】因为，即被13整除的余数为1，而，且，若能被13整除，则，故，故答案：1214.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.故答案为：.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：15.若，则___________，___________.【答案】①.②.【解析】【分析】令即可求出，再写出、展开式通项，即可求出；【详解】解：因为，令，则；因为展开式的通项为，展开式的通项为，所以；故答案为：；16.长方体的底面是边长为1的正方形，若在侧棱上至少存在一点，使得，则侧棱的长的最小值为__________.【答案】2【解析】【分析】根据，利用勾股定理建立方程，则方程有解即可求解.【详解】设又因为，所以即化简得，即关于的方程有解，当时，不符合题意，当时，所以，当且仅当，即时取得等号，所以侧棱的长的最小值为2，故答案为:2.四､解答题：17.已知空间中的三点，，，设，.（1）若与互相垂直，求的值；（2）求点到直线的距离.【答案】(1)或（2）【解析】【分析】(1）写出两个向量的坐标，利用向量的数量积为0，求解k即可．(2）求出直线PM的单位方向向量为，然后利用空间点到直线的距离公式求解即可.【详解】因为，，，所以（1），，因为，所以，整理得，解得或，所以的值为或.(2)设直线的单位方向向量为，则由于，所以，所以点N到直线PM的距离【点睛】关键点点睛：根据空间向量的坐标表示，利用向量垂直的数量积为0，向量表示的点到直线的距离公式是解决本题的关键,考查了运算能力，属于中档题.18.篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为．（1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值；（2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意服从两点分布，写出方差的式子转化为二次函数求最值.（2）由（1）知，投5次蓝得分为，则，再利用二项分布公式求出即可.【详解】解：（1）依题意，的分布列为01当时，取最大值，且最大值为.（2）由（1）可知，投5次蓝得分为，则那么则运动员甲投5次篮得分为4分概率为．19.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号x1234不戴头盔人数y11501000900750（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程；（2）并估算该路口2022年不戴头盔的人数．参考公式：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据表中数据，求得、，进而得到、，求出回归直线方程；（2）令，代入（1）所求的回归直线方程求解．【小问1详解】解：由表中数据知，，，，所以，所以，故所求回归直线方程为，【小问2详解】解：令，则人，则预计该路口2022年不戴头盔的人数为人．20.若的展开式中只有第10项的二项式系数最大，（1）求展开式中系数最大项；（2）设，求．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先求出n=18，利用二项展开式的通项公式求系数最大的项（2）用赋值法求.【详解】（1）∵的展开式中只有第10项的二项式系数最大，∴展开式有19项，∴n=18.设第r+1项的系数最大,则，所以r为偶数,且最大,即r=8或10.即展开式中系数最大的项为第9项和第11项的系数最大所以，.（2）令x=1,则，令x=-1,则∴两式相加得:∴.21.如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（列出过程，用数字作答）（1）由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？（2）由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？（3）求出图中总计有多少个矩形？【答案】（1）20（2）111（3）102【解析】【分析】利用分类加法原理和分步乘法原理即可求解.【小问1详解】由题意得A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次,向右移动3次,向上移动3次,所以A沿着图中的线段到达点E的最近路线有条.【小问2详解】设点G、H、P的位置如图所示：则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：①沿着A→E→C，共有条最近路线；②沿着A→G→C，共有条最近路线；③沿着A→H→C，共有条最近路线；④沿着A→P→C，共有条最近路线；故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条；【小问3详解】由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：①矩形的边不在CD上，共有个矩形；②矩形的一条边在CD上，共有个矩形；故图中共有个矩形.22.如下图，在三棱锥中，分别是的中点，，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先证明出，，利用线面垂直的判定定理直接证明；（2）取的中点，连接.判断出直线OE与EM所