知识讲解-空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用【考纲要求】了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及TOC\o"1-5"\h\z其坐标表示 .掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 .掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系 .能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 .能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用 .【考点梳理】要点一、空间向量空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。要点诠释：⑴空间的一个平移就是一个向量。⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。共线向量（1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 ．a平行于b记作a//b．当我们说向量 a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b2）共线向量定理：空间任意两个向量，使a＝λb。向量的数量积(1)定义：已知向量 a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作 ab，即ab|a||b|cosa,b。(2)空间向量数量积的性质：ae|a|cosa,e；abab0；|a|2aa．(3)空间向量数量积运算律：(a)b(ab)a(b)；abba(交换律) ；a(bc)abac(分配律) 。空间向量基本定理如果三个向量 a,b,c不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x,y,z，使pxaybzc。若三向量 a,b,c不共面，我们把 {a,b,c}叫做空间的一个基底， a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。空间直角坐标系：若空间的一个基底的三个基向量互相垂直， 且长为1，这个基底叫单位正交基底， 用{i,j,k}表示；(2)在空间选定一点 O和一个单位正交基底 {i,j,k}，以点O为原点，分别以 i,j,k的方向为正方向建立三条数轴： x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点 O叫原点，向量 i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 xOy平面， yOz平面， zOx平面；空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系 Oxyz中，对空间任一点 A，存在唯一的有序实数组 (x,y,z)，使OAxiyjzk，有序实数组 (x,y,z)叫作向量 A在空间直角坐标系 Oxyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标， y叫纵坐标， z叫竖坐标．空间向量的直角坐标运算律：(1)若 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 AB(x2x1,y2y1,z2z1)．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐

标。2)若 a(a1,a2,a3)标。2)若 a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3)，a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3)，a(a1,a2,a3)( R)，aba1b1a2b2a3b3，a//b a1 b1,a2b2,a3 b3( R)，ab a1b1 a2b2 a3b3 0；夹角公式： cosabab a1b1a2b2a3b3|a||b| a12a22a32b12b22b32(3)两点间的距离公式：若 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则|AB|AB2 (x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2或dA,B (x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2。要点二、空间向量在立体几何中的应用立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直问题，一般是利用 abab0进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．利用向量求夹角 (线线夹角、线面夹角、面面夹角 )有时也很方便．其一般方法是将所求cos要点诠释：平面的法向量的求法：设 n=(x,y,z)，利用 n与平面内的两个不共线的向 a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元的一个法向量(如图) 。线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为 a、b，则直线AB与CD所成的角为 arccos|ab|。|a||b|[00,900]）线面角的求法：设n是平面 的法向量， AB是直线l的方向向量，则直线 l与平面 所成的角为arcsin|n|（如图）。|AB||n|二面角的求法：设n1，n2分别是二面角 l的两个面 ，的法向量，则 n1,n2 arccosn1n2|n1||n2|就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）3.用向量法求距离的公式设n是平面 的法向量， AB是平面 的一条斜线， 则点B到平面 的距离为 |ABn|（如|n|要点诠释：

⑴点A到平面 的距离：ABnd ，其中B，n是平面 的法向量。|n|⑵直线a与平面 之间的距离：ABnd ，其中Aa,B，n是平面 的法向量。|n|⑶两平行平面 ,之间的距离：ABnd ，其中A,B，n是平面 的法向量。|n|类型一、空间向量的运算【例 1】已知 AB=（ 2， 2， 1） ， AC=（ 4， 5， 3） ，求平面 ABC的单位法向量。TOC\o"1-5"\h\zn 1 22【答案】单位法向量 n0 n=±（ 1 ，－ 2，2） .0 |n| 3 3 3【解析】设 面ABC的法向量n（x,y,z），则n⊥AB且n⊥AC，即nAB0nACnAB0nAC02x2yz04x5y3z02xz,，yz,令x1，则n(1,2,2)22，)3322，)33TOC\o"1-5"\h\zn0 =±( ，－0 |n| 3【总结升华】 一般情况下求法向量用待定系数法。 由于法向量没规定长度， 仅规定了方向，所以有一个自由度，可把 n的某个坐标设为 1，再求另两个坐标。平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解 。举一反三：a＝（1,5,－1），b＝（－2,3,5）1）若 kab//a3b，求实数 k的值；2）若 kaba3b，求实数 k的值；3）若 kab取得最小值，求实数 k的值。【答案】kab//a3b设kaba3b，即(k2,5k3,k5)(7,4,16)k271由5k3 4 ，解得k；3k5 16kaba3b，kaba3b0(k2,5k3,k5)(7,4,16)0，即3k1060，解得 k106；3kab(k2)2(5k3)2(k5)2 27k216k388当k时，kab取得最小值。27类型二：向量法证明平行或垂直【例2】如图，在四棱锥 OABCD中，底面 ABCD四边长为 1的菱形， ABC4,OA底面ABCD,OA2,M为OA的中点， N为BC的中点OBNCMN‖平面OCD；AB与MD所成角的大小；B到平面 OCD的距离。APCD于点P,如图,分别以 AB,AP,AO所在直线为 x,y,z轴建立坐标系

TOC\o"1-5"\h\z2 22 22A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,2,0),D(2,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1 2,2,0),2 22 4422 2 22MN(1 42 , 42, 1),OP(0, 22, 2),OD( 22 , 22 ,2)设平面 OCD的法向量为 n(x,y,z),则nOP0,nOD02y2z02x2y2z02取z2,解得n(0,4,2)22MNn(1 , ,1)(0,4,2)044MN‖平面OCD设AB与MD所成的角为 ,22AB(1,0,0),MD( 22,22,1),AB,AB与MD所成角的大小为33ABMD(3)设点 (3)设点 B到平面 OCD的距离为 d,则d为OB在向量n(0,4,2)上的投影的绝对值 ,OBnOB(1,0,2),得d2所以点 B到平面 OCD的距离为 23

1.用向量证明线面平行的方法有：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．用向量法证垂直问题：证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为 0；证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为 0，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．举一反三：如图，已知直三棱柱 ABC－A1B1C1中， △ABC为等腰直角三角形， ∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为 B1A、C1C、BC的中点．求证：（1）DE∥平面 ABC；（2）B1F⊥平面 AEF.【解析】如图建立空间直角坐标系 A－xyz，令 AB＝AA1＝4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4）．（1）取AB中点为N，则N（2，0，0），C（0，4，0），D（2，0，2），→→∴ DE＝ （－2， 4， 0）， NC＝ （－ 2， 4， 0），DE＝NC.∴DE∥NC，又NC在平面 ABC内， DE不在平面 ABC内，故 DE∥平面 ABC.（2）B1F＝（－2，2，－ 4），EF＝（2，－ 2，－ 2），AF＝（2，2，0），→→B1F·EF＝（－2）×2＋2×（－2）＋（－4）×（－2）＝0，→→则B1F⊥EF，∴ B1F⊥EF，B1F·AF＝（－2）×2＋2×2＋ （－4）×0＝0.

∴B1F⊥AF，即 B1F⊥AF，又∵ AF∩FE∴B1F⊥AF，即 B1F⊥AF，又∵ AF∩FE＝F，∴ B1F⊥平面 AEF.类型三：异面直线所成的角【例 3】正方体 ABCD-EFGH的棱长为 a，点 P在AC上， Q在BG上，且 AP=BQ=a,求直线PQ与AD所成的角【答案】 90°【解析】建立空间直角坐标系如图，则 A(a,0,0)，D(a,a,0)Q(0,2a,2a),P(a2a,2a,0)22 2222QP(aa,0,a),22AD(0,a,0)，QPAD0QP与AD所成的角为 90°。PQAD及|PQ，||AD|，解。举一反三：ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为 1的菱形，侧棱长为 21) B1D1与 A1D能否垂直？请证明你的判断；2)当 A1B1C1在[,]上变化时，求异面直线AC1与 A1B1所成角的取值范围。【答案】∵菱形 A1B1C1D1中， A1C1 B1D1于O1，设 ACBDO，分别以 O1B1,O1C1,O1O所在直线为 x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设B1(a,0,0),C1(0,b,0)(a2b21)，则 D1(a,0,0),A1(0,b,0),D(a,0,2)1)∵ DB1(2a,0,0),A1D(a,b,2)，D1BA1D 2a20，∴ B1D1与A1D不能垂直。3b2)∵ A1B1C1[,]，∴ 1，∵ A(0,b,2)TOC\o"1-5"\h\z32 3aAC1(0,2b,2),A1B1 (a,b,0),AC1A1B12b2，|AC1|2b21,|A|AC1|2b21,|A1B1| a2b21，1 11 1b222ab1，∴设acos,bsin，又又3b1，∴

3atan1,6cosAC1,A1B1b22cosAC1,A1B1b22sin1b2 1sin2142

csccscsin4sin222csc4，∴cosAC1,A1B1[5,6]106AC1AC1与 A1B1所成角的取值范围是4】如图，在棱长为 1的正方体[105,66]。类型四：直线与平面所成的角ABCDA1B1C1D1中， P是侧棱CC1上的一点，CPm。试确定 m，使直线 AP与平面BDD1B1所成角的正切值为 32；则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B 1(1,1,1),D1(0,0,1).所以BD(1,1,0),BB1 (0,0,1),AP(1,1,m),AC(1,1,0).TOC\o"1-5"\h\z又由ACBD0,ACBB10知AC为平面 BB1D1D的一个法向量 .设AP与面BDD1B1所成的角为 ，则sincos() |APAC| 求直线 AB求直线 AB和直线 PC所成角的余弦值；求PC和面 ABC所成角的正弦值；【答案】2 |AP||AC| 2 2m2依题意有 2 32，解得m1.2 2m2 1(32)2 (1)(1)以A为坐标原点， 分别以 AB、AP所在直线为 y轴、z轴,以过 A点且平行于 BC直线为故当m1时，直线 AP与平面 BDD1B1所成的角的正切值为３ 2。3举一反三：P-ABC中，∠ ABC=90，PA=1，AB=3，AC=2，PA⊥面 ABC．

轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系在直角△ ABC中,∵AB=3，AC=2，∴ BC=1A(0,0,0)，B(0, 3,0)，C(1, 3,0)，P(0,0,1).AB(0, 3,0)，PC(1, 3, 1),cos<AB,PCcos<AB,PC>=ABPC|AB||PC|03015030 131 5类型五：二面角【例 5类型五：二面角【例 5】 如图，在三棱柱面AA1B1B，且 C1H＝ 5.15TOC\o"1-5"\h\zAB与直线 PC所成的角余弦为 155取平面 ABC的一个法向量 AP=(0，0，1)，设PC和面 ABC所成的角为 ，则sin=|cos<PC，AP>|=|PCAP|= |001|sin=|cos<PC，|PC||AP| 131 001 5PC和面 ABC所成的角的正弦值为ABC－A1B1C1中， H是正方形 AA1B1B的中心， AA1＝22，C1H⊥平

（1）求异面直线 AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角 A－A1C1－B1的正弦值；BM的长．B（0，0，（3）设N为棱 B1C1的中点， 点M在平面 AA1B1B内， 且MN⊥平面 A1BBM的长．B（0，0，【解析】如图所示， 建立空间直角坐标系，点 B为坐标原点， 依题意得 A（22，0，0）TOC\o"1-5"\h\z0），C（2，－ 2， 5）， A1（2 2， 2 2， 0）， B1（0， 22，0）， C1（ 2， 2， 5）．易得 AC＝ （－ 2，－ 2， 5）， A1B1＝ （－22， 0， 0），→ → AC·A1B1 4 2cos〈AC，A1B1〉＝ ＝ ＝ ，→→ 3×223|AC||A1B1|所以异面直线 AC与A1B1所成角的余弦值为 2.3易知 AA1＝（0，22，0），A1C1＝（－ 2，－ 2， 5）．→m·A1C1＝0，设平面 AA1C1的一个法向量 m＝（x，y，z），则→m·AA1＝0.－ 2x－ 2y＋ 5z＝0，即 不妨令 x＝ 5，可得 m＝（5，0， 2）．22y＝0.→n·A1C1＝0，设平面 A1B1C1的一个法向量 n＝（x，y，z），则n·A1B1＝ 0.

－2x－ 2y＋ 5z＝0，不妨令 y＝ 5，可得 n＝（0， 5， 2）．－22x＝0.则cos〈m，n〉＝m·n|m||n| 7· 7则cos〈m，n〉＝m·n|m||n| 7· 72 357，从而 sin〈 m， n〉＝ 7，所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为 7.(3)由N为棱 B1C1的中点，得322，M（a，b，0），则MN＝（22－a，322－b，MN⊥平面 A1B1C1，(2)知平面 A1B1C1的一个法向量为 n＝(0， 5， 2)，所以 MN∥n，所以 22－a＝0，322－b 2＝ 2，解得＝ 2，a＝2.故b＝ 4242， 0)．因此 BM＝ ( 22， 42， 0)， 所以线段 BM的长 |BM|＝ 410.意二者范围的区别． 同样地，利用向量法求二面角的大小， 就是求两个半平面的法向量的夹角 (或在空间直角坐夹角的补角 )，在具体求解中应适当选取或求解直线的方向向量及平面的法向量．在空间直角坐标系中，常采用待定系数法求平面的法向量．ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直， BE∥CF，∠ BCF=∠CEF=90°，AD3，EF=2。AE∥平面 AE∥平面 DCF；AB的长为何值时，二面角 A—EF—C的大小为 60°？直角坐标系 C设ABa，BEb，CFc，AE（0，b，a），CB（3，0，0）直角坐标系 C设ABa，BEb，CFc，AE（0，b，a），CB（3，0，0），BE（0，b，0），所以CBCE0，CBBE0，从而 CBAE，CBBE，所以CB平面ABE．CB平面DCF，所以平面 ABE∥平面DCF．故AE∥平面DCF．EF（3，cb，0），CE（3，b，0），所以EFCE0，|EF|2，从而3b（cb）0，cb）22，解得b3，c4．所以E（3，3，0），F（0，4，0）．设n（1，y，z）与平面AEF垂直，33则nAE0，nEF0，解得n（1，3，33）．又因为BA平面BEFC，BA（0，0，a），C为坐标原点，以 CB，CF和CD分别作为 x轴，y轴和z轴，建立空间xyz．c，0）．n所以|cosn，BA|33a|BA||n|a4a11，得到2272则 C（0，0，0）， A（ 3， 0， a），B（ 3，0，0）c，0）．n所以|cosn，BA|33a|BA||n|a4a11，得到2272所以当AB为9时，二面角 AEFC的大小为 60．2类型六：空间距离【例 5】如图，△ BCD与△ MCD都是边长为 2的正三角形，平面 MCD⊥平面 BCD，AB⊥平面 BCD，AB＝23.求点 A到平面 MBC的距离．【解析】取CD中点 O，连接 OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.TOC\o"1-5"\h\z又平面 MCD⊥平面 BCD，所以 MO⊥平面 BCD.取O为原点，直线 OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图． OB＝OM＝ 3，则各点坐标分别为 C（1， 0， 0）， M（0， 0， 3），B（0，－ 3， 0）， A（0，－ 3，23）．（1）设n（x，y，z）是平面 MBC的法向量，则BC＝（1， 3，0），BM＝（0， 3， 3）．→→由n⊥BC得n·BC＝0即x＋ 3y＝0；→→由n⊥BM得n·BM＝0即3y＋ 3z＝0.→取n＝（3，－ 1，1），BA＝（0，0，23），|BAn|23215TOC\o"1-5"\h\z则d＝ ＝ ＝ .||n| 5 5215故点 A到平面 MBC的距离为 .5法二：（1）取CD中点 O，连 OB，OM，则OB＝OM＝ 3，OB⊥CD，MO⊥CD，又平面MCD⊥平面 BCD，则MO⊥平面 BCD，所以 MO∥AB，所以 MO∥平面 ABC，故M，O到平面 ABC的距离相等．作OH⊥BC于H，连 MH，则 MH⊥BC.3求得 OH＝OC·sin60°＝，

MH＝ ( 3)2＋(215.设点 A到平面 MBC的距离为 d，VA－MBC＝VM－ABC得11·S△MBC·d＝ ·S△ABC·OH.3311 15 11 3即3×2×2×2d＝3×2×2×23×2，解得 d＝2155求出该平面的一个法向量 n；找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量a；求出该平面的一个法向量 n；找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量a；(3)利用公式 d＝求距离．|n|举一反三：【变式】如图，四面体 ABCD中， O、E分别是 BD、BC的中点， CACBCDBD2，ABAD2,求点E到平面 ACD的距离。O为原点，如图建立空间直角坐标系，则ABAD2,求点E到平面 ACD的距离。O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),D(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,1),E(1,3,0)22BA(1,0,1),CD(1, 3,0)设平面 ACD的法向量为 n(x,y,z),则(x,y,z).(1,0,1)0,n.ADn.AC(x,y,z).(0,3,1)0,xz0,，令y1,得n（ 3,1,3）是平面 ACD的一个法向量。3yz0.13又EC(21,23,0),类型七、利用空间向量解决立体几何中的探索问题点E到平面 ACD的距离 hEC.n 3 21n 776类型七、利用空间向量解决立体几何中的探索问题点E到平面 ACD的距离 hEC.n 3 21n 776】在四棱锥 P-ABCD中， AB//CD，AB^AD，AB=4,AD=22,CD=2，PA^平面ABCD，PA=4.(Ⅰ)设平面PAB平面PCDm，求证：CD//m；（Ⅱ）求证：BD平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点， 且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为 3，求PQ3PB（Ⅰ）因为 AB//CD，CD平面PAB，AB平面PAB，所以CD//平面PAB.CD平面PCD，平面PAB平面PCDm，所以CD//m.AB,AD,AP所在的直：因为AP^平面 ABCD，AB^AD，所以以 AAB,AD,AP所在的直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，P(0,0,4)，D(0,22,0)，C(2,22,0).所以BD(4,22,0)，AC(2,22,0)，AP(0,0,4)，所以BDAC(4)22222000，BDAP(4)0220040.

所以BDAC，BDAP.因为APACA，AC平面 PAC，PA平面PAC，所以BD平面PAC.PQ=(其中0＃ 1)，Qx(,yz,)，直线QC与平面PAC所成角为 .PB所以PQ=PB.所以(x,y,z-4)=(4,0,-4).xì?yíxì?yíz?0,即