质点动力学课件ch5 12011

刚体运动的描述

力矩刚体定轴转动微分方程

定轴转动刚体的动能动能定理刚体的定轴转动

动量矩和动量矩守恒定律1.刚体：在力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）平动:转动:定轴转动和非定轴转动复杂运动：平动+转动2.

平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.刚体的运动形式5.1刚体运动的描述chsling

平动的特点:xyzOABM刚体上各质点的运动轨迹相同；任意时刻刚体上各点的速度、加速度都相同

刚体平动质点运动5.1刚体运动的描述chsling3.刚体的定轴转动定轴转动：刚体的转轴相对参考系固定不动。

转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.1）每一质点均作圆周运动，但半径不一；2）任一质点运动角量相同，但相应的线量不同；3）运动描述仅需一个坐标.定轴转动的特点5.1刚体运动的描述chsling

刚体的平面运动.

注意：图中刚体运动的特点5.1刚体运动的描述chsling

刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+5.1刚体运动的描述chsling4.刚体转动的角速度和角加速度参考平面

角坐标<0q0>q约定沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动参考轴运动学方程角位移角速度矢量5.1刚体运动的描述chsling定轴转动角速度方向沿转轴方向，可视为代数量

.

方向:右手螺旋方向以转速来表示角速度角加速度方向在转轴上，由决定。5.1刚体运动的描述chsling5.匀变速转动公式

当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动5.1刚体运动的描述chsling6角量与线量的关系5.1刚体运动的描述chsling飞轮30s

内转过的角度

例1

一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s

时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s

时，设.飞轮做匀减速运动时，

t=0s

5.1刚体运动的描述chsling（2）时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数5.1刚体运动的描述chsling

例2

在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时，它的角速度，经300s后，其转速达到18000r·min-1.已知转子的角加速度与时间成正比.问在这段时间内，转子转过多少转？得当t=300s

时所以5.1刚体运动的描述chsling解由题意，令，即，积分转子的角速度由角速度的定义得有在300s内转子转过的转数5.1刚体运动的描述chsling

练习一条缆索绕过一定滑论拉动一升降机,滑论半径为0.5m,如果升降机从静止开始以a=0.4m/s2匀加速上升，

(1)滑轮的角加速度;(2)开始上升后,5秒末滑轮的角速度;(3)在这5秒内滑轮转过的圈数;(4)开始上升后,1秒末滑轮边缘上一点的加速度(不打滑)。解:(1)轮缘上一点的切向加速度与物体的加速度相等ar5.1刚体运动的描述chsling(2)(3)(4)合加速度方向与切向夹角圈平动：力改变状态质点转动：力矩改变状态刚体5.2刚体绕定轴转动的转动定律chslingP*O

对转轴Z的力矩

一力矩（1.力对轴的力矩）5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling

力F在垂直于轴的平面内

力F不在垂直于轴的平面内O2.力对点的力矩O.大小：指向：由右螺旋法则确定5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling1.力矩是矢量，方向符合右手螺旋，单位：N·m；

2.定轴转动的力矩可用正负表示（通过转轴的力无力矩，最大值为Fr）；

3.合力矩等于各分力矩的矢量和：

1.刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling讨论2.力与力矩的区别：3.力矩是普遍适用的定义，无论刚体有无转轴、矩心和转轴矩心是否在刚体内部都是适用的。转动平面5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling二刚体绕定轴转动的转动定律O5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling第k个质元：切线方向：两边同乘以rj：对所有质元求和：（）内力矩之和为0转动惯量J

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比.

转动定律定义转动惯量5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling质点牛顿第二定律：刚体定轴转动定律：2.刚体定轴转动定律是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个方向）；3.与牛顿第二定律相当，力矩与角加速度具有瞬时性；4.M为合外力矩，等于各质元所受力矩的总和。1.M、J、是对同一转轴而言的。说明5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling三转动惯量

物理意义：转动惯性的量度.

质量离散分布刚体的转动惯量转动惯量的计算方法

质量连续分布刚体的转动惯量：质量元5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling

对质量线分布的刚体：：质量线密度

对质量面分布的刚体：：质量面密度

对质量体分布的刚体：：质量体密度：质量元

质量连续分布刚体的转动惯量5.2刚体绕定轴转动的转动定律chslingO´O

解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´

为处的质量元

例1一质量为、长为

的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.O´O如转轴过端点垂直于棒5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling练习圆环绕中心轴旋转的转动惯量J.dlOmRORO

例3一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O

并与盘面垂直的轴的转动惯量.

解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环而圆环质量所以圆环对轴的转动惯量5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling四

平行轴定理垂直轴定理P

转动惯量的大小取决于转轴的位置、刚体的质量和质量对轴的分布情况.

质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO注意圆盘对P轴的转动惯量O5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling垂直轴定理x,y轴在薄板内；z轴垂直薄板。zxy

例如求对圆盘的一条直径的转动惯量yxz

圆盘

R

Cm5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling求半径为R、质量为m的球体绕其直径为轴的J。ORrZm解：在球体上沿垂直于转轴OZ取一半径为r、高为dz的小球台，其质量为：其绕OZ轴的转动惯量为：5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling

薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直r2r1圆筒转轴沿几何轴典型的几种刚体的转动惯量P1315.2刚体绕定轴转动的转动定律chslinglr圆柱体转轴沿几何轴lr

圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直5.2刚体绕定轴转动的转动定律chslingl

细棒转轴通过中心与棒垂直l

细棒转轴通过端点与棒垂直5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling竿子长些还是短些较安全？

飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling求

(1)飞轮的角加速度；

(2)如以重量P=98N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度。解

(1)(2)

例一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦不计，5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling两者区别

例一定滑轮的质量为m，半径为r

，不能伸长的轻绳两边分别系m1

和m2

的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）求滑轮转动角速度随时间变化的规律。解：以m1

，

m2，

m为研究对象,受力分析滑轮m：物体m1：物体m2：5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling

例一根长为

l

，质量为m

的均匀细直棒，可绕轴

O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置。求它由此下摆

角时的OlmC解：重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩，dm5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling

练习质量为的物体A

静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B

上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B

从

再求线加速度及绳的张力.静止落下距离

时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为ABC5.2刚体绕定轴转动的转动定律chslingABCOO

解（1）隔离物体分别对物体A、B

及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling如令，可得（2）

B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律结合（1）中其它方程f5.2刚体绕定轴转动的转动定律chslingABC5.2刚体绕定轴转动的转动定律chsling

练习一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O

相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O

转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.

解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得5.2刚体绕定轴转动的转动