湖南省长沙市长征中学2021年高三数学文月考试题含解析

湖南省长沙市长征中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数k的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.已知，则()A.

B.

C.

D.参考答案：C3.若已知极限，则的值为（

）．（A） （B） （C） （D）参考答案：D4.如图，椭圆的中心在坐标原点，顶点分别是，焦点为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C5.若集合，，则A∩B=（▲）A．

B.

C.

D.参考答案：C化简集合

6.若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A．充分非必要条件．B．必要非充分条件．C．充要条件．D．既非充分又非必要条件．参考答案：B

考点：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：一方面由a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，得到△=a2﹣4＜0，解得a的取值范围，即可判断出“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”，可得，解出a的取值范围，即可判断出△＜0是否成立即可．解答：解：①∵a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2．∴﹣3＜2a﹣1＜3，﹣3＜a﹣1＜1，因此z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点不一定位于第四象限；②若“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”正确，则，解得．∴△＜0，∴关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确．综上①②可知：若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件．故选B．点评：熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键．7.已知等差数列{an}满足：a2=2，Sn﹣Sn﹣3=54（n＞3），Sn=100，则n=（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质得an﹣1=18．（n≥2），由此利用等差数列的通项公式能求出n．【解答】解：∵等差数列{an}满足：a2=2，Sn﹣Sn﹣3=54（n＞3），Sn=100，∴an+an﹣1+an﹣2=54（n＞3），又数列{an}为等差数列，∴3an﹣1=54（n≥2），∴an﹣1=18．（n≥2），又a2=2，Sn=100，∴Sn===100，∴n=10．故选：D．8.已知∈（,），sin=,则tan（）等于A．－7

B．－

C．7

D．参考答案：A略9.若平面区域的面积为3，则实数的值为A. B．

C． D．参考答案：B10.某宣传部门网站为弘扬社会主义思想文化，开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并以“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索．此后，该网站的点击量每月都比上月增长50%，那么4个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的（）A．2倍以上，但不超过3倍 B．3倍以上，但不超过4倍C．4倍以上，但不超过5倍 D．5倍以上，但不超过6倍参考答案：D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】设第一个月的点击量为1．则4个月后点击量y=（1+50%）4，即可得出．【解答】解：设第一个月的点击量为1．则4个月后点击量y=（1+50%）4=∈（5，6）．该网站的点击量和原来相比，增长为原来的5倍以上，但不超过6倍．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为

．参考答案：略12.已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+3=0，直线l：mx+2y﹣4m﹣10=0（m∈R）．当l被C截得的弦长最短时，m=

．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得直线l经过定点A（4，5）．要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，故有KCA?Kl=﹣1，再利用斜率公式求得m的值．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+3=0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2=10的圆心C（2，3）、半径为，直线l：mx+2y﹣4m﹣10=0，即m（x﹣4）+（2y﹣10）=0，由，求得x=4，y=5，故直线l经过定点A（4，5）．要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，故有KCA?Kl=﹣1，即?（﹣）=﹣1，求得m=2，故答案为2．13.在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆M截x轴所得的弦长恒为4．过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2x＋y－10＝0距离的最大值为_____．参考答案：设M(3，t)，P(x0，y0)，因为OP⊥PM，所以，可得x02＋y02－3x0－ty0＝0①又圆M截x轴所得的弦长为4，所以4＋t2＝(x0－3)2＋(y0－t)2，整理得x02＋y02－6x0－2ty0＋5＝0②由①②得x02＋y02＝5，即点P在圆x2＋y2＝5上，于是P到直线2x＋y－10＝0距离的最大值为【说明】本题应该是通过①，②联立方程组，把P的坐标用t表示出来，从而可以建立P到直线2x＋y－10＝0距离关于t的函数，再求函数的最大值即可．但是实际操作时，要注意观察，把①，②联立方程组后很容易消去t，得到x0，y0之间的关系，也即得到点P所在的曲线，进而求出距离的最大值，注意从形到数，再从数到形之间的转换．14.定义平面中没有角度大于180°的四边形为凸四边形，在平面凸四边形ABCD中，，，，，设CD=t，则t的取值范围是______________.参考答案：在△ABD中，∵∠A=45°，∠B=120°，AB=，AD=2，由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AD?ABcosA=2．∴DB=，即△ABD为等腰直角三角形，角ABD为九十度．∴角DBC为三十度，所以点C在射线BT上运动（如图），要使ABCD为平面四边形ABCD，当DC⊥BT时，CD最短，为，当A，D，C共线时，如图，在△ABC2中，由正弦定理可得解得∴设CD=t，则t的取值范围是.

15.设函数，且方程在区间和上各有一解，则的取值范围用区间表示为________________。参考答案：略16.若函数满足，对定义域内的任意恒成立，则称为m函数，现给出下列函数：①；

②； ③； ④其中为m函数的序号是____________。（把你认为所有正确的序号都填上）参考答案：略17.已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集用区间表示为

.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．（Ⅰ）设，试求函数的表达式；（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．参考答案：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，，∴切线的方程为：，又切线过点，有，即，

（1）同理，由切线也过点，得．（2）由（1）、（2），可得是方程的两根，

（*），把（*）式代入,得,因此，函数的表达式为．（Ⅱ）当点、与共线时，，＝，即＝，化简，得，，．

（3）把（*）式代入（3），解得．存在，使得点、与三点共线，且．（Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，，则．依题意，不等式对一切的正整数恒成立，，即对一切的正整数恒成立．，，．由于为正整数，．又当时，存在，，对所有的满足条件．因此，的最大值为．解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．，长度最小的区间为当时，与解法相同分析，得，解得．后面解题步骤与解法相同（略）．略19.某品牌汽车的店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元.付款方式分3期分6期分9期分12期频数2020

（1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3为顾客，求事件：“至多有1位采用分6期付款“的概率；（2）按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量，求的分布列和数学期望.参考答案：（1）依据题设运用二项分布公式求解；（2）借助题设求出随机变量的分布列，再依据数学期望公式解答：（1）由题意，，，则表中分6期付款购车的顾客频率，所以.（2）按分层抽样的方式抽取的5人中，有1位分3期付款，有3位分6期或9期付款，有1位分12期付款.随机变量可能取的值是5，6，7，则，，，所以随机变量的分布列为5670.30.40.3

∴（万元）即为所求.说明：本题考查事件的独立性，抽样方法以及随机变量的分布列与期望.20.为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果。(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)频数30402010表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)频数1025203015(1)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

(2)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。表3：

疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物Aa＝b＝

注射药物Bc＝d＝

合计

n＝附：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828

参考答案：（1）图1注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图2注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。

（2）表3：

疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物Aa＝70b＝30100注射药物Bc＝35d＝65100合计10595n＝200≈24.56。由于k2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。21.已知椭圆的右焦点为,点P为椭圆C上的动点，若的最大值和最小值分别为和.(I)求椭圆C的方程(Ⅱ)设不过原点的直线l与椭圆C交于P,Q两点,若直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求面积的最大值参考答案：解：（I）由已知得：椭圆方程为

（II）设（易知存在斜率，且），设由条件知：

联立(1)(2)得：

点到直线的距离

且

所以当时：.

22.已知函数．⑴若函数f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点，求此时函数f(x)的单调区间；⑵当时，若函数f(x)在[－1,1]上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值．参考答案：（1）∵，∴由，得到，，……………1分①当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，又因为函数的图象过点，即，所以函数在内没有零点，不合题意，

……3分②当时，由得，即函数在区间上单调递增，由得，即函数在区间在上单调递减，…………4分且过点，则由函数的图象（略）可知，要使函数在内有且只有一个零点，则须，即，解得，综上可得函数在内有且只有一个零点时，

………………6分此时函数的单调递