毕业设计(论文)-论文泰勒级数的收敛域及分析性质

本科毕业论文题目：函数的泰勒级数的收敛域及分析性质学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级6班姓名：指导教师：职称：副教授完成日期：2011年5月18日函数的泰勒级数的收敛域及分析性质摘要：本文主要讨论了二项式级数（）的收敛区间端点的敛散性，和它推广后所得的形如（为正有理数且）的泰勒级数的收敛域及其函数（为正有理数且）的泰勒级数逐项微分、逐项积分后所得级数的收敛域.由于推广后的函数（为正有理数且）的泰勒级数的收敛半径相同，所以本文重点旨在对收敛区间端点的讨论，进而得到有规律的收敛域.这样我们在以后遇到此类形式的函数的泰勒级数时，便能根据具体的，很快写出其收敛域，而不需要再对其收敛区间端点的敛散性进行分析.关键词：泰勒级数；逐项微分；逐项积分；收敛区间；收敛域.目录1 预备理论 11.1 幂级数理论 11.2 函数的幂级数展开理论 21.3 超越几何级数的收敛域 32 函数（为正有理数且）的泰勒级数收敛域 32.1 函数的泰勒级数及其收敛域 32.2 函数（为正整数且）的泰勒级数及其收敛域 52.3 函数（为正有理数且）的泰勒级数及其收敛域 63函数（为正有理数且）的泰勒级数的分析性质 83.1 函数（为正有理数且）的泰勒级数的可微性质 83.1.1 函数的泰勒级数的可微性质 83.1.2 函数（为正整数且）的泰勒级数的可微性质 83.1.3 函数（为正有理数且）的泰勒级数的可微性质 93.2 函数（为正有理数且）的泰勒级数的可积性质 93.2.1 函数的泰勒级数的可积性质 93.2.2 函数（为正整数且）的泰勒级数的可积性质 103.2.3 函数（为正有理数且）的泰勒级数的可积性质 11参考文献 13谢辞 15 -PAGE16-预备理论幂级数理论定义形如的函数级数称为幂级数，其中为常数，称为幂级数的系数.这是一类最简单的函数项级数。本文将着重讨论，即幂级数的情形.以及幂级数在收敛域内逐项求导后得到的幂级数与幂级数在收敛域内逐项积分后得到的幂级数定理(阿贝尔定理)1)若幂级数在收敛,则幂级数在都绝对收敛.2)若幂级数在发散,则幂级数在都发散.由此定理知道：幂级数的收敛域时以原点为中心的区间.若以表示区间的长度，则称为幂级数的收敛半径，其实它就是使得幂级数收敛的那些收敛点的绝对值的上确界.注：当时，幂级数可能收敛也可能发散.我们称为幂级数的收敛区间.定理对于幂级数，即，若，则幂级数的收敛半径定理幂级数与幂级数，具有相同的收敛区间.注：虽然幂级数、、的收敛半径相等，但是它的收敛域不一定相同.定理设幂级数在收敛区间上的和函数为,若为内任意一点，则（i）在可导，且；（ii）在与这个区间上可积，且.此定理说明幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积.函数的幂级数展开理论若函数在处存在任意阶的导数，这时称形式为的级数为函数在的泰勒级数.对于级数能否在附近确切地表达，或说在的泰勒级数在附近的和函数是否就是，有如下定理5定理设在点具有任意阶导数，那么在区间内等于它的泰勒级数的和函数的充要条件是：对一切满足不等式的，有这里是在的泰勒公式余项.如果能在的某领域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数在的这一领域内可以展开成泰勒级数，并称等式的右边为在处得泰勒展开式，或称幂级数展开式.定理（幂级数展开式的惟一性）若函数在的某邻域内可展为幂级数

则其系数这里规定在实际应用在中，主要讨论函数在处的展开式，这时式可写成称之为麦克劳林级数.超越几何级数的收敛域对于超越几何级数的敛散性情况如下表1：绝对收敛发散绝对收敛发散绝对收敛条件收敛发散函数（为正有理数且）的泰勒级数收敛域函数的泰勒级数及其收敛域当为正整数时，由二项式定理直接展开，就得到的展开式.（所以在下面的探讨中都是假定）因为从而有于是，的麦克劳林级数是令则运用比式判别法，可得级数的收敛半径.现在内考察它的柯西余项运用比式判别法，级数当时收敛，故有又由于有，且，从而有.再当时，有.于是当时，是与无关的有界量；当时，也有同样结论.综上所述，当时，所以，在上我们称上式为二项式级数，当a为正整数时，上式即为二项式定理.对于收敛区间端点的情形，它与的取值有关，借鉴超越几何级数的收敛域的结论，容易知道，二项式级数是超越几何级数的特殊情形，并且可从后者当时，以代替而得出，由于这点，再结合表1，容易做出二项式级数在它的收敛区间的端点上的敛散性情况的表2：绝对收敛条件收敛发散绝对收敛发散二项式级数在处敛散性的证明见文献.所以，二项式级数的收敛域为：当时，收敛域为；当时，收敛域为；当时，收敛域为.函数（为正整数且）的泰勒级数及其收敛域由上面对的泰勒级数讨论，我们容易得到令由比式判别法，可得的收敛半径，此处我们重点放在对收敛区间端点的讨论上.当时，当时，当时，或.把看做一个整体作为因变量，由表2知道，在当时都发散，所以，这时级数的收敛域为.当时，同样按照上面的方法得到当即时，级数收敛;当时，当为偶数时，.级数收敛;当为奇数时，.级数发散;所以，这时级数的收敛域为：当为奇数时，收敛域为；当为偶数时，收敛域为.当时，当时，.级数收敛;当时，或.级数收敛;所以，这时级数的收敛域为：.综上所述，级数的收敛域为：当时，收敛域为；为奇数当时，收敛域为为偶数当时，收敛域为.函数（为正有理数且）的泰勒级数及其收敛域设，，.由上面对的泰勒级数讨论，我们容易得到当为偶数时，只能为奇数.（此时收敛域只能是由非负数组成的）.由比式判别法，得到，级数的收敛区间为.下面将重点探讨时的敛散性.当时，.由表2得当时，级数发散；当时，级数收敛；所以，这时级数的收敛域为：当时，收敛域为；当时，收敛域为.当为奇数时，由比式判别法，得到，级数的收敛区间为.下面将重点探讨处的敛散性.①当为奇数时，当时，当时，.结合表2，易得到表3：绝对收敛条件收敛发散绝对收敛发散所以，级数的收敛域为：当时，收敛域为；当时，收敛域为；当时，收敛域为.②当为偶数时，当时，结合表2，易得到表4：绝对收敛条件收敛发散所以，级数的收敛域为：当时，收敛域为；当时，收敛域为；综上所述，级数的收敛域为：当为偶数时，当时，收敛域为；当时，收敛域为.当为奇数时，当为奇数时，当时，收敛域为；当时，收敛域为；当时，收敛域为.当为偶数时，当时，收敛域为；当时，收敛域为；函数（为正有理数且）的泰勒级数的分析性质函数（为正有理数且）的泰勒级数的可微性质函数的泰勒级数的可微性质由级数知利用级数的收敛域的结论得到级数的收敛域为：当即时，收敛域为；当即时，收敛域为；当即时，收敛域为.函数（为正整数且）的泰勒级数的可微性质由级数知又由级数的收敛域的结论得到级数的收敛域为：当即时，收敛域为；为奇数当即时，收敛域为为偶数当即时，收敛域为.函数（为正有理数且）的泰勒级数的可微性质设，，由级数的收敛域的结论得到级数的收敛域为：当为偶数时，当时，收敛域为；当时，收敛域为.当为奇数时，当为奇数时，当时，收敛域为；当时，收敛域为；当时，收敛域为.当为偶数时，当时，收敛域为；当时，收敛域为；函数（为正有理数且）的泰勒级数的可积性质函数的泰勒级数的可积性质由级数知当时，当时，易知，级数的收敛域为.利用级数的收敛域的结论得到级数的收敛域为：当即时，收敛域为；当即时，收敛域为；当即时，收敛域为.所以，函数的泰勒级数的收敛域为：当时，收敛域为；当时，收敛域为；当时，收敛域为.函数（为正整数且）的泰勒级数的可积性质容易知道，级数与级数有相同的收敛域.所以，下面讨论级数的收敛域.对于级数，令，则由比式判别法，可得的收敛半径，下面关键探讨收敛区间端点的敛散性.容易知道，级数是超越几何级数的特殊情形，并且可从后者当时，以代替而得出，所以这时超越几何级数中的，再结合表1，级数在它的收敛区间的端点上的敛散性情况如表5：绝对收敛条件收敛发散绝对收敛条件收敛发散绝对收敛发散所以，级数的收敛域为：当时，收敛域为；为奇数当时，收敛域为为偶数当时，收敛域为.函数（为正有理数且）的泰勒级数的可积性质设，，在上面的讨论中，我们知道当为有理数时，对应于超越几何级数中的与无关，故当为偶数时，只能为奇数.（此时收敛域只能是由非负数组成的）.由比式判别法，得到，级数的收敛区间为.下面将重点探讨时的敛散性.当时，.由表5得当时，级数发散；当时，级数收敛；所以，这时级数的收敛域为：当时，收敛域为；当时，收敛域为.当为奇数时，由比式判别法，得到，级数的收敛区间为.下面将重点探讨处的敛散性.①当为奇数时，当时，当时，.结合表5，易得到表6：绝对收敛条件收敛发散绝对收敛发散所以，级数的收敛域为：当时，收敛域为；当时，收敛域为；当时，收敛域为.②当为偶数时，当时，结合表5，易得到表7：绝对收敛条件收敛发散所以，级数的收敛域为：当时，收敛域为；当时，收敛域为；综上所述，级数的收敛域为：当为偶数时，当时，收敛域为；当时，收敛域为.当为奇数时，当为奇数时，当时，收敛域为；当时，收敛域为；当时，收敛域为.当为偶数时，当时，收敛域为；当时，收敛域为；参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2001：44～56.[2]菲赫金哥尔茨.微积分学教程(第二版第二卷)[M].北京:高等教育出版社,2006：209～300.[3]胡克.AdjacentcoefficientofmeanVnivalentfunctions[J].ofMath，1993，13（4）：413～418.[4]裘敬华.二项式级数在处的敛散性的又一种证法[J].黄河水利职业技术学院学报，1999,11（1）.[5]张鸣.超越几何级数的敛散性再讨论[J].武当学刊（自然科学版），1995，12（5）.[6]刘俊先.级数在敛散性的讨论[J].成都教育学院学报，2002,16（3）.[7]杨静.二项式级数在收敛区间端点处的敛散性[J].高等数学研究，2004,7:21～22[8]张迎秋.幂级数逐项求导、逐项积分后收敛域的讨论[J].安徽农业技术师范学院学报，2000,14（2）:66～67[9]A.Yu.Semusheva.Ontheconvergencedomainsofhypergeometricseriesinseveralvariables[J].SiberianMathematicalJournal.2005,10(4):732～739[10]SubrataChakraborty.OnSomeNewα-ModifiedBinomialandPoissonDistributionsandTheirApplications[J].CommunicationsinStatistics-TheoryandMethods.2008,37(11):1755～1769FunctionofTheTaylorSeriesConvergenceAndAnalysisPropertiesAbstract:thispapermainlydiscussesthebinomialseries（）convergenceintervalendpointconvergence,anditafterthepromotionfromshapedlike(fortherationalnumberand)istheconvergenceTaylorisitsfunction(fortherationalnumberand)differential,itembyitem,Taylorseriesoftheseriesafteritembyitem,integralincomeconvergence.Becausethefunction(forpromotingtherationalnumberand)istheconvergentradii.Taylorseriesissame,sothispaperaimstodiscusstheconvergenceinterval,thengetendpointregularlyconvergence.SowemetSuchformsoffunctionofTaylorseries,canaccordingtospecific,quicklywriteitsconvergence,anddon'tneedtoitsconvergenceintervalendpointtoanalyzethedivergenceofdispersed.Keywords:taylorseries;termbytermdifferentiation;termbytermintegration;intervalofconvergence;domainofconvergence谢辞论文得以完成，要感谢的人实在太多了，首先要感谢我的指导老师何美，因为论文是在何老师的悉心指导下完成的。本论文从选题到完成，每一步都是在何老师的指导下完成的，倾注了她大量的心血。何老师指引我的论文的写作方向和架构，并对本论文进行逐字批阅，指正出其中误谬之处，使我有了思考的方向，她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪，她一丝不苟的作风，将一直是我学习中的榜样。何老师要指导很多同学的论文，加上本来就有的教学任务，工作量之大可想而知，但在一次次的回稿中，精确到每一个字的批改给了我深刻的印象，使我在论文之外明白了做学问所应有的态度。在此，谨向何老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢何老师在我撰写论文的过程中给予我的极大的帮助。

论文的顺利完成，也离不开其他同学和朋友的关心和帮助，在此谢谢他们。在整个论文写作过程中，各位同学和朋友积极地帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见，使论文得以不断地完善，最终帮助我写完了整篇论文。另外，要感谢在大学期间所有传授我知识的老师，是你们的悉心教导使我有了良好的专业知识，这也是论文得以完成的基础。感谢所有给我帮助的老师和同学，谢谢你们！基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究基于单片机的嵌入式Web服务器的研究MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器单片机控制的二级倒立摆系统的研究基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现基于单片机的蓄电池自动监测系统基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制基于单片机的自动找平控制系统研究基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于双单片机冲床数控系统的研究基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制基于单片机的软起动器的研究和设计基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究基于单片机的机电产品控制系统开发基于PIC单片机的智能手机充电器基于单片机的实时内核设计及其应用研究基于单片机的远程抄表系统的设计与研究基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制基于微型光谱仪的单片机系统单片机系统软件构件开发的技术研究基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用基于单片机的光纤光栅解调仪的研制气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制基于单片机的数字磁通门传感器基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪基于单片机的电机运动控制系统设计Pico专用单片机核的可测性设计研究基于MCS-51单片机的热量计基于双单片机的智能遥测微型气象站MCS-51单片机构建机器人的实践研究基于单片机的轮轨力检测基于单片机的GPS定位仪的研究与实现基于单片机的电液伺服控制系统用于单片机系统的MMC卡文件系统研制基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究单片机控制的后备式方波UPS提升高职学生单片机应用能力的探究基于单片机控制的自动低频减载装置研究基于单片机控制的水下焊接电源的研究基于单片机的多通道数据采集系统基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制基于单片机的红外测油仪的研究96系列单片机仿真器研究与设计基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制基于单片机的气体测漏仪的研究基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究基于单片机的膛壁温度报警系统设计基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计基于单片机船舶电力推进电机监测系统基于单片机网络的振动信号的采集系统基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究基于单片机的叠图机研究与教学方法实践基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现基于AT89S52单片机的通用数据采集系统基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究基于单片机系统的网络通信研究与应用基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究基于双单片机冲床数控系统的研究与开发基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现变频调速液压电梯单片机控制器的研究基于单片机γ-免疫计数器自动换样功能的研究与实现基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现单片机嵌入式以太网防盗报警系统基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现单片机监测系统在挤压机上的应用MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用单片机在高楼恒压供水系统中的应用HYPERLINK"/de