湖南省湘潭市湘乡石坝中学高三数学理月考试卷含解析

湖南省湘潭市湘乡石坝中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=loga（1﹣ax）在（1，3）上递增，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．参考答案：D考点：对数函数的单调区间．专题：计算题．分析：先将函数f（x）=loga（1﹣ax）转化为y=logat，t=1﹣ax，两个基本函数，再利用复合函数求解．解答：解：令y=logat，t=1﹣ax，∵a＞0∴t=1﹣ax在（1，3）上单调递减∵f（x）=loga（1﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增∴函y=logat是减函数，且t（x）＞0在（1，3）上成立∴∴0＜a≤．故选D．点评：本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围．本题容易忽视t=1﹣ax≥0的情况导致出错．2.已知，则（

）A．

B．

C．D．

参考答案：C略3.已知平面向量满足:且向量与向量的夹角为,则的最大值是A.2

B.4

C.6

D.8参考答案：C4.把的图象经过某种平移后得到的图象，则平移方式可为（A）按平移

（B）按平移

（C）先向右平移个单位再向上平移个单位（D）先向左平移个单位再向下平移个单位参考答案：B5.设为虚数单位，复数，则复数在复平面上对应的点在（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

参考答案：A略6.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（

）A．

B。

C。

D。参考答案：D略7.若函数在上是增函数，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：C8.设与垂直，则的值等于A．

B．

C．0

D．-l参考答案：B9.若的图像关于直线和对称，则的一个周期为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100 B．150 C．200 D．250参考答案：A考点：分层抽样方法．

专题：概率与统计．分析：计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．解答：解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A．点评：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是__________．参考答案：-1812.若数列满足，，则

；前5项的和

.参考答案：由，得数列是公比为2的等比数列，所以，。13.等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则k=________．参考答案：法1：有题意知,即，所以，又，所以。法2：利用方程组法求解。14.（3分）现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种．参考答案：240考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：利用捆绑法，把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，问题得以解决解答：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有=240种，故答案为：240点评：本题主要考查了排列问题的中的相邻问题，利用捆绑法是关键，属于基础题15.设实数x，y，b满足，若z＝2x＋y的最小值为3，

则实数b的值为

．参考答案：；16.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为

.

参考答案：（,-1）

17.二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于

.参考答案：本题主要考查二项式定理.由题意可得2n=4096,则n=12.则通项,令得r=3，所以常数项为三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

参考答案：

(1)证明：如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC边的中垂线，所以BG＝.设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.19.(本题满分14分)已知函数．（1）设，且，求的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．参考答案：（1）==．

由，得，

于是，因为，所以．

（2）因为，由（1）知．

因为△ABC的面积为，所以，于是.

①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.由余弦定理得，所以．

②由①②可得或于是．

由正弦定理得，所以．20.已知函数，(1）判断函数的奇偶性；(2）求证：在上为增函数；参考答案：（1）函数的定义域为R，且，所以.即，所以是奇函数.(2），有，，，，，.所以，函数在R上是增函数.

21.（本小题满分14分）已知函数为常数）．

（I）若函数f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求p，q的值；

(Ⅱ)在(I)的条件下，求证：方程f(x)=1有三个不同的实数根；

(Ⅲ)若函数f(x)在（一∞，x1）和(x2，+∞)单调递增，在(x1，x2)上单调递减，又x2—x1>l，且x1>a，试比较a2+pa+q与x1的大小．参考答案：22.已知函数f（x）=2ex﹣ax（Ⅰ）求f（x）的单调区间（Ⅱ）若x≥0时，f（x）≥（x﹣a）2﹣ax﹣3恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，令g（x）=2（ex﹣x+a），通过讨论a的范围，根据函数的单调性从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2ex﹣a，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，当a＞0时，由f′（x）＞0，得：x＞lna，由f′（x）＜0，得：x＜lna，f（x）在（lna，+∞）递增，在（﹣∞，lna）递减；（Ⅱ）由f（x）≥（x﹣a）2﹣ax﹣3，得2ex﹣（x﹣a）2+3≥0，令F（x）=2ex﹣（x﹣a）2+3，F′（x）=2（ex﹣x+a），令g（x）=2（ex﹣x+a），则g′（x）=2（ex﹣1）≥0，∴g（x）在[0，+∞）递增，g（0）=2（1+a）；（i）当2（1+a）＜0即a＜﹣1时，F′（x）≥F′（0）≥0，F（x）在[0，+∞）递增，要想F（x）≥0，只需F（0）=5﹣a2≥0，解得：﹣≤a≤，从而﹣1≤a≤；（ii）当2（1+a）＜0即a＜﹣1时，由g（x）在[0，+∞）递增得：存在唯一x0使得g（x0）=2（﹣x0+a）=0，有=x0﹣a，令F′（x）＞0，解得：x＞