浙江省嘉兴市魏中学校2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析

浙江省嘉兴市魏中学校2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“对任意的，都有”的否定为A.存在，使 B.对任意的，都有

C.存在,使

D.存在,使参考答案：C2.若复数z满足，则|z|=（

）A．

B．1

C．

D．参考答案：B由题意，易得：，∴.故选：B

3.若是定义在上的函数，且对任意实数，都有≤，

≥，且，，则的值是 A.2014

B.2015

C.2016

D.2017参考答案：C4.已知f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x）与g（x）满足f′（x）=g′（x），则（）A．f（x）=g（x） B．f（x）﹣g（x）为常数函数C．f（x）=g（x）=0 D．f（x）+g（x）为常数函数参考答案：B【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则构造函数即可得到结论．【解答】解：设h（x）=f（x）﹣g（x），则h′（x）=f′（x）﹣g′（x）=0，即h（x）=f（x）﹣g（x）是常数，故选：B5.函数在区间(

)内有零点.

A.

B.(0,1)

C.

D.(1,2)

参考答案：C略6.己知，则平面ABC的—个单位法向量可表示为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C7.若复数(，是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为()A．－2 B．4C．－6 D．6参考答案：C8.已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（）A．（4，+∞） B．（2，+∞） C．[2，+∞） D．R参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据函数的性质得到ab=1，然后利用基本不等式求a+b的取值范围．【解答】解：若b＜1，则函数f（x）=|lgx|，在（0，1）上单调递减，不满足条件f（a）=f（b）．若a＞1，函数f（x）=|lgx|=lgx，在（1，+∞）上单调递增，不满足条件f（a）=f（b）．∴a＜1，b＞1，即f（a）=|lga|=﹣lga，f（b）=|lgb|=lgb，∴由f（a）=f（b），得﹣lga=lgb，即lga+lgb=lgab=0，解得ab=1，∵0＜a＜b，ab=1，∴a+b，∵0＜a＜b，∴a+b＞2．即a+b的取值范围是（2，+∞）．故选：B．【点评】本题主要考查对数的性质，以及基本不等式的应用，对a，b进行讨论是解决本题的关键．9.设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为（

）A．4 B．

C．9 D．16参考答案：D略10.用1、2、3、4这四个数字，组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有（）个A、48

B、24

C、12

D、6参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆与直线相切，则的值是

.参考答案：12.若，则的值为______________参考答案：13.已知直线和平面，试利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系，构造出一个判断⊥的真命题

参考答案：⊥或⊥略14.（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=．参考答案：【考点】：椭圆的定义；正弦定理．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为【点评】：本题主要考查了椭圆的定义和正弦定理的应用．考查了学生对椭圆的定义的灵活运用．15.函数在处的切线方程___________

参考答案：略16.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11、22、33、…99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是

．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果．【解答】解：三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3…B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…共有9×10=90个，其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…其有4×10=40个，∴三位数的回文数中，偶数的概率p=．故答案为：．17.设x，y，z都是正数，则三个数的值说法正确的是．①都小于2②至少有一个不大于2

③至少有一个不小于2

④都大于2．参考答案：③【考点】不等式比较大小．【专题】应用题；转化思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据基本不等式得到x++y++z+≥2+2+2=6，问题得以解决．【解答】解：因为x，y，z都是正数，所以x++y++z+≥2+2+2=6，当且仅当x=y=1时取等号，故至少有一个不小于2，故答案为：③．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（Ⅰ）△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣2），C（5，﹣5），求其外接圆的方程．（Ⅱ）求经过点（﹣5，2），焦点为（，0）的双曲线方程．参考答案：【考点】双曲线的简单性质；圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）法一：利用待定系数法；法二：求出圆心与半径，即可求其外接圆的方程．（Ⅱ）设双曲线方程为﹣=1（a＞0，b＞0），利用经过点（﹣5，2），焦点为（，0），求出a，b，即可求出双曲线方程．【解答】解：（Ⅰ）法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则由题意有解得故所求圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣法二：由题意可求得线段AC的中垂线方程为x=2，线段BC的中垂线方程为x+y﹣3=0，∴圆心是两中垂线的交点（2，1），半径r==5．故所求圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=25．（Ⅱ）∵焦点坐标为（，0），焦点在x轴上，∴可设双曲线方程为﹣=1（a＞0，b＞0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵双曲线过点（﹣5，2），∴﹣=1，得a2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立解得a2=5，b2=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（解对一个2分）故所求双曲线方程为﹣y2=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.在三棱锥中，,.（1）求三棱锥的体积；（2）求二面角的大小；（3）求异面直线SB和AC所成角的余弦值。参考答案：解：（1）∵∴且,

∴平面

在中，,中，∵,∴（2）∵

∴为二面角C-SA-B的平面角在中，∵

∴,∴即所求二面角C-SA-B为（3）分别取AB、SA、BC的中点D、E、F，连结ED、DF、EF、AF，则,∴（或其邻补角）就是异面直线SB和AC所成的角∵在中，∴,在中，在△DEF中，由余弦定理得∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为20.已知数列{an}的前n项和为Sn，.（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和Tn.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（I）由，可得，利用等比数列的求和公式可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，利用裂项相消法可得结果.【详解】（I）①时，，∴.②时，，∴.故是以2为首项，2为公比的等比数列.∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴.【点睛】本题主要考查等比数列的通项与等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.21.在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数优良好轻度污染中度污染重度污染天数5a84b

空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级.若按等级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.（1）求a，b的值；（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为X，求X的分布列及数学期望.参考答案：（1），.（2）61天（3）见解析【分析】（1）由题意知空气质量为Ⅰ级的天数为总天数的，从而可解得a，b的值．（2）由表可知随机抽取的30天中的空气质量类别为优的天数，由此能估计一年中空气质量指数为优的天数．（3）由题意知X的取值为0，1，2，3，4，分别求出相对应的概率，从而能求出X的分布列及数学期望．【详解】（1）由题意知从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天，所以空气质量为Ⅰ级的天数为总天数的，所以5+a=15，8+4+b=15，可得，.（2）依题意可知，一年中每天空气质量指数为优的概率为，则一年中空气质量指数为优的天数约为.（3）由题可知抽取的10天的数据中，Ⅰ级的天数为5，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为5，满足超几何分布，所以的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，的分布列为01234

故.【点睛】本题考查了频率与概率的关系，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．22.（本题满分13分）某校举行运动会，为了搞好场地卫生，组委会招墓了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱。（1）根据以上数据完成以下列联表：（2）根据列联表的独立性检验，有多大的把握认为性别与喜爱运动有关？（3）从不喜爱运动的女志愿者中和喜爱运动的女志愿者中各抽取1人参加场地卫生工作，求其中不喜爱运动的女生甲及喜爱运动的女生乙至少有一人被选取的概率。参考公式：（其中）

是否有关联