安徽省蚌埠市许场中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析

安徽省蚌埠市许场中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f′（x）=x2+3x－4，则y=f（x+1）的单调递减区间为

（

）

A．（－4，1）

B．（－5，0）

C．（）

D．（）参考答案：B2.已知复数z满足（1+i）z=2，则复数z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i参考答案：【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：（1+i）z=2，∴z===1﹣i．则复数z的虚部为﹣1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，为导函数，当时，且，则不等式的解集是A．(－3,0)∪(3,＋∞)

B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞,－3)∪(3,＋∞)

(D)(－∞,－3)∪(0,3)参考答案：D4.设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}，

，则实数a的值为(A)2或－8

(B)－2或－8

(C)

－2或8

(D)2或8参考答案：D因为，所以，即或，即或2，选D.5.化简=（）A．1 B．2 C． D．﹣1参考答案：B【考点】二倍角的余弦；三角函数中的恒等变换应用．【分析】用倍角公式化简后，再用诱导公式即可化简求值．【解答】解：===2．故选：B．【点评】本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．6.中，角所对的边分别为，若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过F且垂直于x轴的直线在第一象限内与双曲线、双曲线的渐近线的交点依次为A，B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出渐近线方程，将x=c分别代入双曲线的方程和渐近线方程，求得交点A，B，再由中点坐标公式和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得F（c，0），渐近线方程为y=x，将x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，可得A（c，）；将x=c代入渐近线方程可得y=，可得B（c，），由A为BF的中点，可得=，化简可得c=2b，即c2=4b2=4（c2﹣a2），即有c=a，即e==．故选：A．8.已知集合，集合，则为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C【知识点】集合的运算【试题解析】因为

所以

故答案为：C9.若函数，则该函数在上是（

）A．单调递减无最小值

B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值

D．单调递增有最大值参考答案：A略10.已知向量满足与的夹角为，，则的最大值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线在点处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为

.参考答案：或曲线在点处的切线为，直线和它平行，可设为，根据平行线间的距离公式得到代入化简得到方程为或.

12.设m>1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为_______。参考答案：13.若，则

；参考答案：14.设，则=

参考答案：15.小明和爸爸妈妈一家三口在春节期间玩抢红包游戏，爸爸发了12个红包，红包金额依次为1元、2元、3元、…、12元，每次发一个，三人同时抢，最后每人抢到了4个红包，爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；小明说：我们三人各抢到的金额之和相等，据此可判断小明必定抢到的两个红包金额分别是．参考答案：6元和11元【考点】进行简单的合情推理．【分析】确定三人各抢到的金额之和为26，根据爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；可得爸爸抢到1、3、10、12元，妈妈抢到8、9、2、7元或8、9、4、5元，据此可判断小明必定抢到的金额．【解答】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各抢到的金额之和相等，所以三人各抢到的金额之和为26，根据爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；可得爸爸抢到1、3、10、12元，妈妈抢到8、9、2、7元或8、9、4、5元，据此可判断小明必定抢到的金额为6元和11元．故答案为6元和11元．【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.如图，设抛物线y=﹣x2+1的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点，则点P落在△AOB内的概率是

．参考答案：考点：几何概型；二次函数的性质．专题：概率与统计．分析：首先分别求出区域M和△AOB的面积，利用几何概型公式解答．解答： 解：由已知区域M的面积为=，△AOB的面积为=，由几何概型可得点P落在△AOB内的概率是；故答案为：．点评：本题考查了定积分以及几何概型公式的运用；关键是分别求出两个区域的面积，利用定积分解答．17.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9构成等比数列{bn}的前3项，则=；又若d=2，则数列{bn}的前n项的和Sn=．参考答案：3,3n﹣1.【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质和等差数列的通项公式可得d=a1，再由等比数列的定义和等差数列的通项公式，以及等比数列的求和公式计算可得．【解答】解：由题意可得a32=a1a9，即为（a1+2d）2=a1（a1+8d），即4d2=4a1d，（d≠0），可得d=a1，==3；若d=2，则a1=2，a3=2+4=6，即有等比数列{bn}的公比为q=3，和Sn==3n﹣1．故答案为：3，3n﹣1．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，函数．

(1）若函数在处的切线与直线平行，求的值；

(2）求函数的单调递增区间；

(3）在（1）的条件下，若对任意，恒成立，求实数的取值组成的集合．参考答案：（1），由已知，即，，解得或.

又因为，所以.

(2）函数的定义域为，

,①当，即时，由得或，因此函数的单调增区间是和.②当，即时，由得或，因此函数的单调增区间是和.③当,即时恒成立（只在处等于0），所以函数在定义域上是增函数.综上：①当时，函数的单调增区间是和；②当时，函数的单调增区间是和；③当时，函数的单调增区间是.(3）当时，，由（2）知该函数在上单调递增，因此在区间上的最小值只能在处取到.又，若要保证对任意，恒成立，应该有，即，解得，因此实数的取值组成的集合是.

19.（本题满分15分）如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（1）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（2）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.由y=x2，

①

得y＇=x.∴过点P的切线的斜率k切=x1，∴直线l的斜率kl=－=-，∴直线l的方程为y－x12=－

(x－x1)，……4分联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.

∵M是PQ的中点

∴

x0==-，

y0=x12－(x0－x1).

∴y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).……7分（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则.

y=x2由

消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0.

③

y=kx+b

则y1+y2=2(k2+b)，

y1y2=b2.……12分∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.∵y1、y2可取一切不相等的正数，∴的取值范围是（2，+）.……15分20.如图，，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1.已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：

（Ⅰ）直线AB分别与平面所成角的大小；

（Ⅱ）二面角A1—AB—B1的大小.

参考答案：解法一：（I）如图，连接A1B，AB1.∵⊥，∩=l，AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA-1⊥，BB1⊥a.则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与和所成的角.Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，∴sin∠BAB1=

∴∠BAB1=45°Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，∴sin∠ABA1=

∴∠ABA1=30°.故AB与平面，，所成的角分别是45°，30°.

（II）∵BB1⊥，

∴平面ABB1⊥.在平面内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=.∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1，∴在Rt△AA1B中，由AA1·A1B=A1F·AB得A1F=

∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=，∴二面角A1—AB—B1的大小为arcsin.解法二：（I）同解法一.（II）如图，建立坐标系，则A1（0，0，0），A（0，0，1），B1（0，1，0），B（，1，0）.在AB上取一点F（x,y,z），则存在t∈R，使得，即(x,y,z－1)=t(,1,－1),∴点F的坐标为(t,t,1－t).要使即(t,t,1－t)·(,1,－1)=0,2t+t－(1－t)=0,解得t=,∴点F的坐标为设E为AB1的中点，则点E的坐标为（0，），

∴二面角A1—AB—B1的大小为arccos.

21.已知函,将满足的所有正数从小到大排成数列,记,.（1）证明数列为等比数列;（2）求数列的前项的和;（3）若，求数列的前项的和.参考答案：略22.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为每平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.参考答案：（1）设污水处理池的宽为米，则长为