江苏省无锡市宜兴汇文中学2021年高三数学理测试题含解析

江苏省无锡市宜兴汇文中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则点的坐标为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略2.复数化简的结果为

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.在中,已知,则角的度数为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A4.下列命题中正确的是（）A．x=1是x2﹣2x+1=0的充分不必要条件B．在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的必要不充分条件C．?n∈N+，2n2+5n+2能被2整除是假命题D．若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，则p，q同真或同假参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；特称命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】逐项判断即可【解答】解：．A、x2﹣2x+1=（x﹣1）2=0，得x=1，易得：x=1是x2﹣2x+1=0的充要条件，故A错误；B、因为A，B∈（0，π），函数f（x）=cosx在（0，π）上是减函数，所以由A＞B，可得cosA＜cosB，反之也成立，故应为充要条件，所以B错误；C、当n=2时，2n2+5n+2=20能被2整除，故C错误；D、∵p∧（￢q）为假，故p，￢q至少一个为假，p∨（￢q）为真，所以p和￢q至少一个为真．所以p，￢q一真一假，由此可得p，q同真或同假，故D正确．故选D．5.在复平面内，复数，（i为虚数单位）对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为(

) A． B．1 C．i D．i参考答案：A考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义进行运算即可．解答： 解：=，则A（，﹣），=，则B（，），则C（，0），即点C对应的复数为，故选：A．点评：本题主要考查复数的几何意义，根据复数的基本运算是解决本题的关键．6.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是 A．

B．

C．

D．参考答案：C7.某几何体的三视图如右图,(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为(A).92+14π

(B).82+14π

(C).92+24π

(D).82+24π参考答案：A由三视图可知，该几何体下方为一个长方体，长宽高分别为，上方接一个沿旋转轴切掉的半圆柱，底面半径为，高为，所以表面积为.故选.8.函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.下列各式中,表示y是x的函数的有（）①y=x-(x-3); ②y=+;③y=

④y=A．4个

B．3个

C．2个

D．1个参考答案：C略10.

设等差数列{an}满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是(

)

(A)S10

(B)S11

(C)S20

(D)S21参考答案：C

解：3(a+7d)=5(a+12d)，Td=－a，令an=a－a(n－1)≥0，an+1=a－an<0，得n=20．选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分12.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________。参考答案：2412.坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）（Ⅰ）判断直线圆的位置关系；（Ⅱ）若椭圆的参数方程为（为参数），过圆的圆心且与直线垂直的直线与椭圆相交于两点，求.参考答案：解：（Ⅰ）将直线极坐标方程为化为直角坐标方程：.将圆的参数方程化为普通方程：，圆心为，∴圆心到直线的距离为，∴直线与圆相离。………………3分（Ⅱ）将椭圆的参数方程化为普通方程为，又∵直线：的斜率，∴直线的斜率为，即倾斜角为，则直线的参数方程为：，即，把直线的参数方程代入得：由于，故可设是上述方程的两个实根，则有又直线过点，故由上式及的几何意义得：.………………7分

略13.已知，则

.参考答案：-4略14.若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是

．参考答案：1015.已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为

.参考答案：16.已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，则A∩Z中元素的个数为

▲

．参考答案：4略17.已知向量与的夹角为120°，且，，则=．参考答案：﹣10【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先求出，从而根据即可求出数量积的值．【解答】解：；又；∴=．故答案为：﹣10．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.平面直角坐标系xOy中，过椭圆：（）右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ABCD的对角线，求四边形ABCD面积的最大值.参考答案：(Ι)（Ⅱ）【分析】(1)把右焦点代入直线方程可求出c，设，线段AB的中点，利用“点差法”即可得出a,b的关系式，再与联立即可求出a,b，进而可得椭圆方程；(2)由，可设直线CD方程为,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长，把直线，利用即可得到关于m的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值.【详解】(Ι)设则，，（1）－（2）得：，因为，设，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，即，即，又因为，所以，所以M的方程为.（Ⅱ）因为，直线AB方程为，所以设直线CD方程为，将代入得：，即、，所以可得；将代入得：，设则=，又因为，即，所以当时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为.【点睛】本小题考查椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.19.某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如下（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）.（Ⅰ）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断能否有的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？

幸福感强幸福感弱合计留守儿童

非留守儿童

合计

（Ⅱ）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率.0.0500.0103.8416.635参考公式：；

附表：参考答案：解：（Ⅰ）

幸福感强幸福感弱合计留守儿童6915非留守儿童18725合计241640………3分

………5分有的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关.

………6分（Ⅱ）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：，；幸福感弱的孩子3人，记作：，，.

………7事件：“抽取2人”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共10个

…9分事件：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有：，，，，，，共6个.

……11

……12略20.已知.（1）当时，求在处的切线方程；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）时，，，，所以在处的切线方程为（2）存在，，即：在时有解；设，令，所以在上单调递增，所以1°当时，，∴在单调增，所以，所以2°当时，设，令，所以在单调递减，在单调递增所以，所以所以设，，令，所以在上单调递增，所以所以在单调递增，∴，所以，所以所以，当时，恒成立，不合题意综上，实数的取值范围为.21.记函数的定义域为集合，