河南省开封市致远中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

河南省开封市致远中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于(

)A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．【解答】解：由题意，（x6）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．2.已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是(

▲

)A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则参考答案：C3.若实数x，y满足|x﹣3|≤y≤1，则z=的最小值为（）A． B．2 C． D．参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：依题意，得实数x，y满足，画出可行域如图所示，其中A（3，0），C（2，1），z===1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点与原点的斜率，则OC的斜率最大为k=，OA的斜率最小为k=0，则0≤k≤，则1≤k+1≤，≤≤1，故≤1+≤2，故z=的最小值为，故选A．4.数列{an}满足an+1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为（

）（A）3690

（B）3660

（C）1845

（D）1830参考答案：D5.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120° B．150° C．180° D．240°参考答案：C【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，可得圆锥的母线是底面半径的2倍，进而得到圆锥侧面展开图的扇形的圆心角．【解答】解：∵圆锥的侧面积为：πrl，圆锥的底面面积为：πr2，∴若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥的母线l是底面半径r的2倍，即l=2r，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为α，则2πl=2πr，即α=180°，故选：C【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥中，侧面展开图的扇形的圆心角α满足：α：360=r：l=S底：S侧是解答的关键．6.函数的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．7.已知函数,则f(x)在(1，3)上不单调的一个充分不必要条件是(

)A. B. C. D.参考答案：C8.设集合A={y|y=cosx，x∈R}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∩B=（）A． B．[1，2] C． D．[0，1]参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={y|y=cosx}={y|﹣1≤y≤1}=[﹣1，1]，B={y|y=2x，x∈A}=[，2]则A∩B=[，1]故选：A．9.若将函数y=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则φ的值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：将函数y=sin（2x+φ）图象向右平移个单位长度后，得到y=sin（2x﹣+φ）的图象，根据所得函数的图象关于y轴对称，可得﹣+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，k∈Z，故可取φ=，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10.已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（

）A.λ＜﹣16 B.λ＝﹣16 C.﹣12＜λ＜0 D.λ＝﹣12参考答案：D【分析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.【详解】设，联立则，因为直线经过C的焦点，所以.同理可得，所以故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(必修4P21例题4改编)已知cos且－π＜α＜－，则cos＝________．参考答案：12.的二项展开式中，的系数是________________（用数字作答）．参考答案：解析：，，所以系数为10．13.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为

．参考答案：14.（5分）（2015?万州区模拟）已知函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关y轴对称的点，则a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，）【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：把函数图象点的对称问题转化为a=﹣x有解即可，利用导数判出最大值，即可得出a的范围．解析：设x＞0，g（x）=x2+ln（x+a）图象上一点P（x，y），则P′（﹣x，y）在函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）的图象上，∴（﹣x）2+e﹣x﹣=x2+ln（x+a），化简得a=﹣x有解即可，令h（x）=﹣x，则h′（x）=）=?（﹣e﹣x）﹣1=﹣﹣1＜0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，即h（x）＜h（0）=要使a=﹣x有解，只需要a＜，即可故a的取值范围是（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）【点评】：本题考察函数的性质在求解方程有解中的应用，知识综合大，属于中档题．15.设sin（+θ）=，则sin2θ=．参考答案：﹣考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用两角和的正弦公式可得+=，平方可得+sin2θ=，由此解得sin2θ的值．解答：解：∵sin（+θ）=，即+=，平方可得+sin2θ=，解得sin2θ=﹣，故答案为﹣．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的正弦的应用，属于基础题．16.已知抛物线的焦点为F，P是的准线上一点，Q是直线PF与的一个交点．若则直线PF的方程为

。参考答案：或

17.将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.则

，数列（）的前100项和为

．参考答案：0，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某校高三（1）班共有名学生，他们每天自主学习的时间全部在分钟到分钟之间，按他们学习时间的长短分个组统计得到如下频率分布表：

分组频数频率[180,210）[210,240）[240,270）[270,300）[300,330）

（1）求分布表中，的值；

（2）某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这名学生中按时间用分层抽样的方法抽取名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？

（3）已知第一组的学生中男、女生均为人．在（2）的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．参考答案：（1），．…………4分（2）设应抽取名第一组的学生，则得．故应抽取名第一组的学生．

……………6分（3）在（II）的条件下应抽取名第一组的学生．记第一组中名男生为，名女生为．按时间用分层抽样的方法抽取名第一组的学生共有种等可能的结果，列举如下：．

………………9分其中既有男生又有女生被抽中的有这种结果，

………………10分所以既有男生又有女生被抽中的概率为

…………12分略19.在平面直角坐标系xOy中，直线L：，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C：.（1）求直线L的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；（2）记射线与直线L和曲线C的交点分别为点M和点N（异于点O），求的最大值.参考答案：（1）..（2）.所以其极坐标方程为：.

由得：，所以，所以曲线的直角坐标方程为：.（2）由题意，，所以，由于，所以当时，取得最大值：20.某公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图(1)，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图(2)(注：利润与投资量的单位均为万元)．(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

参考答案：解：(1)设投资x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．依题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，由图(1)，得f(1)＝0.2，即k1＝0.2＝.由图(2)，得g(4)＝1.6，即k2×＝1.6.∴k2＝，故f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．(2)设B产品投入x万元，则A产品投入10－x万元，设公司利润为y万元，由(1)得y＝f(10－x)＋g(x)＝－x＋＋2(0≤x≤10)．∵y＝－x＋＋2＝－(－2)2＋，0≤≤，∴当＝2，即x＝4时，ymax＝＝2.8，因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该公司获得最大利润，为2.8万元．

21.（本小题满分13分）

在中，，.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）设，求的面积.

参考答案：

（Ⅰ）解：由，，

得，

所以

…3分

6分

且，

故

…7分

（Ⅱ）解：据正弦定理得，…10分