江西省吉安市永丰第一中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析

江西省吉安市永丰第一中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，（单位:百米），则A，B两点的距离为(

)A. B. C.3 D.参考答案：C【分析】由已知易得∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，再由正弦定理求得,再由余弦定理AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB＝9，所以AB＝3.【详解】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，则∠DAC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE，则∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，则有，变形可得BC，在△ABC中，AC＝2，BC，∠ACB＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，则AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB＝9，则AB＝3；故选：C．【点睛】此题考查解三角形的实际应用，通过已知的角和边长通过余弦定理容易求得边长或者角度，属于简单题目。2.已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为

（A）10

（B）8

（C）2

（D）0参考答案：B略3.（5分）已知向量与的夹角为120°，||=3，|+|=，则||=（

）

A．1B．3C．4D．5参考答案：C【考点】：平面向量数量积的运算．平面向量及应用．【分析】：由已知条件对|+|=两边平方，进行数量积的运算即可得到，解该方程即可得出．解：根据条件，=；∴解得，或﹣1（舍去）．故选：C．【点评】：考查数量积的运算及其计算公式，解一元二次方程，知道．4.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为A.200+9π

B.200+18π

C.140+9π

D.140+18π

参考答案：A5.如图所示，程序框图的输出值S=（）A．21 B．15 C．28 D．﹣21参考答案：D【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，可得当i=7时不满足条件i≤6，退出循环，输出S的值为﹣21．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1满足条件i≤6，不满足条件i是偶数，S=1，i=2满足条件i≤6，满足条件i是偶数，S=﹣3，i=3满足条件i≤6，不满足条件i是偶数，S=6，i=4满足条件i≤6，满足条件i是偶数，S=﹣10，i=5满足条件i≤6，不满足条件i是偶数，S=15，i=6满足条件i≤6，满足条件i是偶数，S=﹣21，i=7不满足条件i≤6，退出循环，输出S的值为﹣21．故选：D．6.榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示，则一个该“榫头”的体积为（

）A．10

B．12

C.14

D．16参考答案：C，故选C.

7.在△ABC中，则∠BAC=

A．30°

B．120°

C．150°

D．30°或150

参考答案：C8.函数的定义域为（

）A．［0，1］

B．（）C．［，1］

D．（）（1，+∞）参考答案：B9.下列四个图中,函数的图象可能是

参考答案：C10.i是虚数单位，复数

（

）

A.－1－i

B.1－i

C.－1+i

D.1+i参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中，的系数与的系数之和等于_____________.参考答案：12.设数列{an}满足a1=2，a2=6，且an+2﹣2an+1+an=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则=．参考答案：2016【考点】数列递推式．【分析】构造bn=an+1﹣an，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=bn+1﹣bn=2，利用等差数列的通项公式可得：bn=an+1﹣an=2n+2，再利用“累加求和”方法可得an﹣a1=，解得an=n（n+1），==，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵构造bn=an+1﹣an，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=bn+1﹣bn=2，故数列{bn}是4为首项，2为公差的等差数列，故bn=an+1﹣an=4+2（n﹣1）=2n+2，故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，an﹣an﹣1=2n，以上n﹣1个式子相加可得an﹣a1=4+6+…+2n=，解得an=n（n+1），∴==，∴+…+=++…+=1﹣，∴2017（+…+）=2017﹣=2016+．则=2016．故答案为：2016．13.右图程序运行结果是

；参考答案：3414.抛物线y2=12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为．参考答案：考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设M（﹣3，m），则P（9，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，得到外心Q的坐标，△FPM的外接圆的半径，从而求出其方程．解答：解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，F（3，0）设M（﹣3，m），则P（9，m），等边三角形边长为12，如图．在直角三角形APF中，PF=12，解得外心Q的坐标为（3，±4）．则△FPM的外接圆的半径为4，∴则△FPM的外接圆的方程为．故答案为：．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力15.已知y＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m－1)<f(1－2m)，则m的取值范围是______________．参考答案：16.设函数，则不等式f（x）≤2的解集为

．参考答案：[0，+∞）【考点】指、对数不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，解得x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点，属基本题，难度不大．17.已知等比数列{an}中，公比，，则数列{an}的前5项和____________参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了名学生作为志愿者，参加相关的活动事宜．学生来源人数如下表：学院外语学院生命科学学院化工学院艺术学院人数（Ⅰ）若从这名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一学院的概率；（Ⅱ）现要从这名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题．设其中来自外语学院的人数为，令，求随机变量的分布列及数学期望.

参考答案：解:(Ⅰ)设“两名学生来自同一学院”为事件，则即两名学生来自同一学院的概率为．……………………4分(Ⅱ)的可能取值是，对应的可能的取值为，，,

,

,………10分所以的分布列为

…………………11分所以.……………12分

略19.（本小题满分12分）已知定点G（-3，0）,S是圆C：上的动点,SG的垂直平分线与SC交于点E,设点E的轨迹为M.(1)求M的方程;(2)是否存在斜率为1的直线,使得与曲线M相交于A,B两点,且以AB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.参考答案：(1)由题知,所以又因为,所以点的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆.故动点的轨迹方程为.20..设函数.（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若函数f(x)有两个极值点m,n，求证：.参考答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）求导得到，讨论，，三种情况得到单调区间.（Ⅱ）设，要证，即证，，设，根据函数单调性得到证明.【详解】（Ⅰ），令，，（1）当，即时，，，在上单调递增；

（2）当，即时，设的两根为（），，①若，，时，，所以在和上单调递增，时，，所以在上单调递减，②若，，时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）不妨设，要证，即证，即证，由（Ⅰ）可知，，，可得，，所以有，令，，所以在单调递增，所以，因为，所以，所以.【点睛】本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.21.（14分）如图1，2，已知ABCD是矩形，M，N分别为边AD，BC的中点，MN与AC交于点O，沿MN将矩形MNCD折起，设AB=2，BC=4，二面角B﹣MN﹣C的大小为θ．（1）当θ=90°时，求cos∠AOC的值；（2）点θ=60°时，点P是线段MD上一点，直线AP与平面AOC所成角为α．若sinα=，求线段MP的长．参考答案：【分析】如图，设E为AB的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求出，的坐标，利用向量方法，即可求cos∠AOC的值；（2）求出平面AOC的法向量，，利用直线AP与平面AOC所成角为α，若，求线段MP的长．【解答】解：如图，设E为AB的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）当θ=90°时，A（2，﹣1，0），C（0，1，2），∴，，∴．（2）由θ=60°得，，M（0，﹣1，0），∴，设，则，∴，设平面AOC的法向量为，∵，，∴，取，由题意，得，即3λ2﹣10λ+3=0，∴或λ=3（舍去），∴在线段MD上存在点P，且．【点评】本题考查线线角，线面角，考查向量方法的运用，正确求向量是关键．22.已知函数，为的导函数，证明：（1）在区间[－π，0]上存在唯一极大值点；（2）在区间[－π，0]上有且仅有一个零点.参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，设，再求，由的单调性及零