高中数学不等式习题及详细答案

高中数学不等式习题及详细答案

第三章不等式一、选择题1.已知$x\geq\frac{4}{5}$，则$f(x)=\frac{x^2-4x+5}{2x-42}$的取值范围是（）。A.最大值为55B.最小值为44C.最大值为1D.无法确定2.若$x>0$，$y>0$，则$(x+\frac{2}{y})^2+(y+\frac{2}{x})^2$的最小值是（）。A.3B.7C.4D.93.设$a>0$，$b>0$，则下列不等式中不成立的是（）。A.$a+b+\frac{1}{ab}\geq2\sqrt{2}$B.$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2})\geq4$C.$\sqrt{a^2+b^2}\geqa+b$D.$\frac{2}{a+b}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$4.已知奇函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上是增函数，且$f(1)=2$，则不等式$f(x)-f(-x)<0$的解集为（）。A.$(-1,+\infty)$B.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$C.$(-\infty,-1)\cup(1,1)$D.$(-1,1)$5.当$0<x<\frac{\pi}{2}$时，函数$f(x)=\frac{1+\cos^2x+8\sin^2x}{2\sin^2x}$的最小值为（）。A.2B.$\frac{2}{3}$C.4D.$\frac{3}{4}$6.若实数$a,b$满足$a+b=2$，则$3a+3b$的最小值是（）。A.18B.6C.2D.47.若不等式组$\begin{cases}x+3y\geq4\\3x+y\leq3\end{cases}$所表示的平面区域被直线$y=kx+\frac{4}{3}$分为面积相等的两部分，则$k$的值是（）。A.$\frac{7}{3}$B.$\frac{3}{7}$C.$\frac{4}{3}$D.$\frac{3}{4}$8.直线$x+2y+3=0$上的点$P$在直线$x-y=1$的上方，且$P$到直线$2x+y-6=0$的距离为$\sqrt{35}$，则点$P$的坐标是（）。A.$(-5,1)$B.$(-1,5)$C.$(-7,2)$D.$(2,-7)$9.已知平面区域如图所示，$z=mx+y(m>0)$在平面区域内取得最优解（最大值）有无数多个，则$m$的值为（）。A.$\frac{7}{20}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{3}{4}$D.不存在10.当$x>1$时，不等式$x+\frac{1}{x-1}\leq2$的取值范围是（）。A.$(-\infty,2]$B.$[2,+\infty)$C.$[3,+\infty)$D.$(-\infty,3]$二、填空题1.若不等式$\frac{1}{x-1}\geqa$恒成立，则实数$a$的取值范围是$\boxed{a\leq0}$。2.若$(x-y+5)(x+y)\geq\frac{1}{3}$，则$2x+3y\leq\boxed{3}$。3.不等式组$\begin{cases}x+2y-3\leq0\\y-1\leq0\end{cases}$所表示的平面区域的面积是$\boxed{\frac{1}{2}}$。4.设变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+3y-3\geq0\\y-1\leq0\end{cases}$，若目标函数$z=ax+y(a>0)$仅在点$(3,0)$处取得最大值，则$a$的取值范围是$\boxed{a\geq3}$。5.若正数$a,b$满足$ab=a+b+3$，则$ab$的取值范围是$\boxed{4<a+b\leq5}$。14.设a，b均为正的常数且x＞0，y＞0，且a+b=1，则x/a+y/b的最小值为b/(a+b)x+a/(a+b)y。15.函数y=log_a(x+3)-1(a＞0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则log_a(x+3)+1/a的最小值为-1/m。16.某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1，第三年比第二年增长的百分率为p2，若p1+p2为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为(p1+p2)/2。17.求函数y=(x+1)/(x-1)的最小值。当x=0时，y取得最小值-1。18.已知直线l经过点P(3，2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为2x+3y-12=0。19.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨。那么该企业可获得最大利润是27万元，当生产3吨甲产品和5吨乙产品时。20.(1)已知x＜1，求函数y=4x-1/(44x-5)的最大值；当x=1/4时，y取得最大值3。(2)已知x，y∈R(正实数集)，且x+y=1，求x/y+y/x的最小值；当x=y=1/2时，x/y+y/x取得最小值2。(3)已知a＞0，b＞0，且a^2+b^2=1，求a+b^2的最大值。a+b^2的最大值为√2。1.改写：当$x=\frac{y}{2}$时，原式取最小值。因此，只有当$x=\frac{y}{2}$时，前三个不等式的等号同时成立。代入原式得到$4$，因此原式的最小值为$4$。2.删除：无明显问题的段落。3.改写：我们可以使用均值不等式来逐项判断选项的正确性。A.由均值不等式可得：$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，因此$\frac{a+b}{2}+\frac{1}{ab}\geq2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$。又因为$\frac{1}{ab}\geq\frac{2}{a+b}$，所以$\frac{a+b}{2}+\frac{1}{ab}\geq\frac{a+b}{2}+\frac{2}{a+b}=\frac{(a+b)^2+4}{2(a+b)}\geq2$，因此选项A成立。B.由均值不等式可得：$\frac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$，因此$a^2+b^2+\frac{1}{a^2b^2}\geq2\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{1}{a^2b^2}=\frac{(a+b)^2}{2}+\frac{(ab)^2+1}{a^2b^2}\geq2$，因此选项B成立。C.由均值不等式可得：$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，因此$\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\geq\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+b^2}}$。因为$\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq1$，所以$\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\geq1$。又因为$\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq\sqrt{2}$，所以$\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\in[1,\sqrt{2}]$。因此选项C成立。D.由均值不等式可得：$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，因此$2ab\geqa^2+b^2$。又因为$a+b\geq2\sqrt{ab}$，所以$a^2+2ab+b^2\geq4ab$，即$(a+b)^2\geq4ab$。因此$a+b\geq2\sqrt{ab}$，所以选项D不成立。4.删除：无明显问题的段落。5.改写：由于$\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}$，所以$\sinx>\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\cosx>\frac{1}{\sqrt{2}}$。因此$f(x)=\frac{1+\cos^2x+8\sin^2x}{2\cosx\sinx}\geq\frac{1+\frac{1}{2}+8\cdot\frac{1}{2}}{2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=4$。当且仅当$\tanx=1$时取等号，因此$x=\frac{\pi}{4}$时，$f(x)$取最小值$4$。6.改写：由于$\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}$，所以$\tanx>1$。因此$f(x)=\frac{2\cosx\sinx}{\cos^2x-\sin^2x}-\frac{\cosx-\sinx}{\cosx+\sinx}<0$。因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$。因此当$x<-\frac{\pi}{4}$时，$f(x)>0$。因此$x\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$时，$x$与$f(x)$异号。7.改写：我们可以将不等式组表示的平面区域画出来，如图所示。设$x=1$，则$y=1$，因此点$A(1,1)$在阴影部分内。设$y=4$，则$x=-\frac{1}{3}$，因此点$B\left(-\frac{1}{3},4\right)$在阴影部分内。设$x=0$，则$y=\frac{4}{3}$，因此点$C\left(0,\frac{4}{3}\right)$在阴影部分内。因此阴影部分对应的不等式组解为$\begin{cases}x+y\geq4\\3x+y\geq4\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}$。1.由于直线y=kx+44过点C，设它与直线3x+y=4的交点为D，则可以求出点D的坐标为(xD,yD)，其中xD和yD可以通过解方程组得到。然后根据D为AB中点的条件，可以列出等式，解出k的值。2.设点P的坐标为(x,y)，代入方程组中解出的两个方程中，得到x=-5，y=1，因此点P的坐标为(-5,1)。3.当直线mx+y=z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解。根据直线的平行条件，可以列出等式，解出m的值。4.根据题目中给出的不等式，可以将其转化为两个二元一次不等式组，并求出其对应的区域面积。其中，第二个不等式组所对应的区域不存在，因此只需计算第一个不等式组所对应的区域的面积。5.根据题目中给出的条件，可以列出不等式，并通过简单的变形得到答案。6.根据题目中给出的条件，可以构造一个不等式，并通过简单的变形得到答案。7.根据题目中给出的条件，可以列出等式，并通过简单的变形得到答案。8.根据题目中给出的条件，可以列出不等式，并通过简单的变形得到答案。9.根据题目中给出的条件，可以列出等式，并通过简单的变形得到答案。10.根据题目中给出的条件，可以列出等式，并通过简单的变形得到答案。11.根据题目中给出的不等式，可以转化为两个二元一次不等式组，并求出其对应的区域面积。其中，第二个不等式组所对应的区域不存在，因此只需计算第一个不等式组所对应的区域的面积。12.根据题目中给出的条件，可以列出不等式，并通过简单的变形得到答案。13.根据题目中给出的条件，可以构造一个不等式，并通过简单的变形得到答案。14.根据题目中给出的条件，可以展开(a+b)的平方，并通过简单的变形得到答案。20．解：已知函数f(x)在区间[0，1]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝0，证明f(x)在[0，1]上的最小值为．证明：假设f(x)在[0，1]上的最小值为a，则存在c∈[0，1]，使得f(c)＝a．由单调递减可知，对于任意的x∈[0，c)，都有f(x)＞a；对于任意的x∈(c，1]，都有f(x)＞a．因此，对于区间[0，c)，f(x)－a＞0；对于区间(c，1]，f(x)－a＞0．由于f(x)在[0，1]上连续，因此f(x)－a在[0，c]和[c，1]上都不可能为正，即f(x)－a≤0．又因为f(0)＝1＞a，f(1)＝0＜a，所以a不可能是f(x)在[0，1]上的最小值，与假设矛盾．因此，f(x)在[0，1]上的最小值为．给定目标函数$z=5x+3y$和约束条件$3x+y\leq1