中考数学必会几何模型：半角模型

中考数学必会几何模型：半角模型

半角模型是指存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点的模型。通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系。常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。例如，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N。要求证：BM+DN=MN，以及作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB。证明过程如下：1.延长ND到E，使DE=BM。由四边形ABCD是正方形，得AD=AB。在△ADE和△ABM中，有AD=AB，∠ADE=∠BAM，DE=BM，因此△ADE≌△ABM。得AE=AM，∠DAE=∠BAM。由∠MAN=45°，得∠BAM+∠NAD=45°，因此∠MAN=∠EAN=45°。在△AMN和△AEN中，有MA=EA，∠MAN=∠EAN，AN=AN，因此△AMN≌△AEN。得MN=EN。因此BM+DN=DE+DN=EN=MN。2.由(1)得△AMN≌△AEN。因此S△AMN=S△AEN，即AH×MN=AD×EN。又因为MN=EN，得AH=AD。因此AH=AB。在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC。要探究当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。(1)当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN。(2)猜想：当DM≠DN时，仍有BM+NC=MN。证明如下：延长AC至E，使CE=BM，连接DE。因为BD=CD，且∠BDC=120°，所以△BDC是等边三角形。因此BD=DC=CE=BM，得△BDE是等边三角形，∠BED=60°。因此△DEN和△DME是等腰三角形，得DN=EN，DM=EM。因此BM+NC=CE+ND=DN+DM=MN。已知正方形ABCD，点M在CB延长线上，点N在DC延长线上，且∠MAN=45°。要证明MN=DN-BM。证明：首先在DN上截取DE=MB，连接AE。因为ABCD是正方形，所以AD=AB，∠D=∠ABC=90°。在△ABM和△ADE中，根据SAS相似，得到△ABM≌△ADE。因此AM=AE，∠MAB=∠EAD。因为∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，所以∠DAE+∠BAN=45°。进一步得到∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN。在△AMN和△AEN中，根据SAS相似，得到△AMN≌△AEN。因此MN=EN。又因为DN-DE=EN，所以DN-BM=MN。已知在等边三角形ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°。当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，求AM、CN、MN三者之间的数量关系。解答：如图①所示，连接OM、ON，由于O是边AC、BC的垂直平分线的交点，因此OM=ON，∠OMN=60°，∠OMC=∠ONC=90°，故△OMN为等边三角形。又因为CM=CN，所以MN平分∠MON，即∠MOC=∠NOC=30°。因此，∠OMA=∠ONB=60°-30°=30°，∠OAM=∠OBN=75°，∠AMO=∠BNO=15°。由正弦定理得：$$\frac{AM}{\sin75°}=\frac{AO}{\sin15°},\frac{BN}{\sin75°}=\frac{BO}{\sin15°}$$又因为AO=BO，所以AM=BN。又因为MN=OM+ON=2OM，所以MN=2AM=2BN。因此，AM、CN、MN三者之间的数量关系式为AM=BN，MN=2AM=2BN。图①（1）当四边形ABCD为正方形，且∠EAF=45°时，EF=DF+BE．（2）当AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，且∠EAF=1∠BAD2时，EF=DF+BE．证明：如图②，连接AC、BD，延长EF交AC、BD分别于点M、N，连接MN．∵AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，∴△ABC≌△ADC．∴BC=DC．∵∠EAF=1∠BAD2，∴∠EAC=∠BAD-∠BAC=∠BAD-∠DAC=∠DAC．∴△EAF∽△DCA（相似比为1：2）．∴EF=2DM，DF=2DN，BE=2BM．∴EF=DF+BE＝2DN+2BM＝2MN．∴EF=MN+MN=2MN．∴EF=2DM=2DN+2BM=DF+BE．（3）由（2）可知，EF=DF+BE=4+2=6，CE=BC+BE=4+2=6，CF=2，故△CEF为等腰三角形，周长为12．(1)证明：如图，在DF上截取DM=BE，连接AM。由于∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，且D=ABE，AD=AB，因此在△ADM和△ABE中，有DM=BE，∠D=∠ABE，AD=AB。因此，△ADM≌△ABE，从而AM=AE，∠DAM=∠BAE。又因为∠EAF=∠BAE+∠BAF=1/2∠BAD，∠DAM+∠BAF=1/2∠BAD，因此∠MAF=1/2∠BAD，从而∠EAF=∠MAF。在△EAF和△MAF中，有AE=AM，∠EAF=∠MAF，AF=AF，因此△EAF≌△