某大学2022年《1078复变函数》期末考试真题及答案（共2套）

试卷代号:1078

国家开放大学202I年秋季学期期末统一考试

复变函数试题

2022年1月

ー、单项选择题(本题共20分,每小题4分)

L若Z]=(a,b),z2=(c,d)キ〇则zg=().

A.(ac,bd)B.3+bd,bc+ad)

C.(ac-bd,be+ad)D(bd.ac)

2.若集E={z：|z|<l},则点Zo一徳忌为集£的().

A.孤立点B.边界点

C.外点D.内点

A.2万B.1

C.而D.0

4.将函数"J：3z+2在点z=2的去心邻域内展成罗朗级数,即是将/(z)在()展开.

A.|z-2|<1B.l<|z-2|<2

C,〇<|z-2|<2D.0<|z-2|<l

5.Res(z,O)=().

A.0B.3

C.2D.1

二、填空题(本题共20分,每小题4分)

6.设と为点集,若对ド中任意两点,总能用一条れ的连续曲线将它们连接

起来,则称£是连通的.

8.设围线c是单连通区域ク的边界,若f(z)在ク内解析，且在で上连续,则

Jf(z)dz=.

9,若函数w=f(z)在扩充复平面上除有限个奇点%，。2.........................ル,8外是解析的,

则iRes(f,a)+Res(f,oo)=

10.若函数w=f(z)在区域G内解析,则它在导数处是保角的.

三、计算题(本圏共45分,每小题15分)

11.设U=X2-y2+xy,试求解析函数f(z)=u+iv,使得"=x2-y2+xy,且有

f(z)=-1+i.

12.试将函数f(z)=ez在点z=l展成塞级数.

13.计算积分ルれ)再9)皿0:团=2

四、证明题(本题15分)

14.证明:若丁6为复数,则|a+/?『=|a『+|四2+2Re(丽).

试卷代号:1078

国家开放大学2022年春季学期期末统一考试

复变函数试题

2020年7月

ー、单项选择题(本题共20分,每小题4分)

1.Rez=().

Z+Zz-Z

A.2B.2

z-zz+Z

C.2iD.2i

2.Ln(-1)=().

A.(2k+l)"i(k为整数)B.2kmi(k为整数)

C.HiD.-ni

rez+z2+1,/ヽ

3.-*|z|=12z2-102+12dZ~).

A.3B.2

C.0D.1

4.函数f(z)=ex在复平面上可表示为().

ヾ8グ

A.ムれ=2れ!B.厶72=2而

8け8Zn

C.ムれ=1れ!D.Ln=27

r=l矗=

5.Res(z,0)=().

A.0B.3

C2D.1

二、填空题(本题共20分,每小题4分)

6.若存在某个N(a,S),使得f(z)在N(a,6)内(则称点a为函f(z)的

解析点.

7.|e7mi|=,其中m为整数。

8.取)=ez笔在点z=0幕级数的收敛半径等于.

Sz-2

9.Res(z(z-1),0)=.

10.映射w=z-l将直线映射为.

三、计算题(本题共45分,每小题15分)

11.设U=x2-x-y2,试求以V虚部的解析函数f(z)=u+iv,使得f(i)=T-i.

12.试将f(z)=i+zユ在点z=i的去心邻域内展成罗朗级数.

f_______dz

は计算积分J|z|=7z3(z-l)(z+l),

四、证明题(本题15分)

14.证明:若。ア为复数,则|a+例2=|a『+网2+2Re(a1).

试卷代号:1078

国家开放大学2021年秋季学期期末统一考试

复变函数试题答案及评分标准

（供参考）

2022年1月

一、单项选择题（本题共20分,每小题4分）

1.C2.B3.A4.D5.D

二、填空题（本题共20分,每小题ス分）

6.完全属于

7.1

8.0

9.0

10.不为零

三、计算题（本题共45分,每小题!5分）

11.解:由C-R条件有“，=2z+y=%,所以

y2

又因为".尸ーへ,所以中（z）=—J+c............6分

由此得

ハ之）=ザーザ+よッ+i（2ハH---------Fc）.....12分

由イ⑴=—1+i得む=5

经验证

/（2）=才2ーツ2+よメ+i（2.:ry-|........----by）

或/（z）=（l--1-）z2+y

即为所求......15分

12.解:/（z）=イ在丨z—11く+8内可展成塞级数,因

/（2）=e2=e="',e............6分

故

f（z）=e2=タ二（2—1）”,丨2—1丨く+8............15分

"!

（1078号）复变函数答案第1页（共2页）

13.解:设f（z）=,2ハジ,丄c、，因”Z）在C的内部只有两个有限奇点1与一1,且都是パZ）的ー

（N—1）（2:十9）

级极点,由定理7.1得

1

(ア,

22dz=2;ri[Res1)+Res(/,-1)]

C(Z-1)(Z+9)

而

,11

Res(/,l)=lim(.-l)•(ーーD(Z2+9)=?

6

Res(/,-l)=lim(z+l).(ゼーl)L+9)4...........分

故

Jf(メー1)1(メ+9)=一=2*「[テ1ー而1コ=0...........15分八

四、证明题(本题!5分)

14.证:因

限+/3丨2=し+8)G+の

=|a|2+|/?|2+^+^...........8分

而

郎=(侬)

故

aR+a/9=2Re(a§)

从而得

la+/?|2=la|2+|j3|2+2Re(a/3)...........15分

（1078号）复变函数答案第2页（共2页）

试卷代号:1078

国家开放大学2022年春季学期期末统一考试

复变函数试题答案及评分标准

(供参考)

2022年7月

ー、单项选择题(本题共20分,每小题4分)

1.A2.A4.B5.D

二、填空题(本题共2()分,每小题4分)

6.处处可导

7.1

8.+8

9.2

10.直线

三、计算题(本题共45分，每小题15分)

1L解:由C-R条件有

uY=2x-1=

于是

v=2xy-y+

由此得

vx=2x+(P(x)=一ル=2y

从而有

9(x)=c(c为任意常数)

因此

v=2xy-y+c

故得

/(z)=(x2-X-y2)+i(2xy-y+c)......13分

由f(i)=-l-i得c=0.故得

f(z)=(x2-x-y2)+i(2xy-y)

=z2-z.....均分

12.解:,も)在。(卜-リ〈2内可展成罗朗级数,有

，(z)=i+zZ=(z-i)(z+i)........