考点36空间直线平面的垂直13种常见考法归类（原卷版）

考点36空间直线、平面的垂直13种常见考法归类考点一线面垂直的判断考点二证线面垂直考点三利用空间向量法证线面垂直考点四线面垂直的探索性问题考点五直线与平面垂直性质的应用（证线线垂直）考点六利用线面垂直求体积考点七面面垂直的判断考点八证面面垂直考点九利用空间向量法证面面垂直考点十面面垂直的探索性问题考点十一面面垂直性质的应用考点十二平行与垂直的综合问题考点十三平行、垂直关系与几何体的度量1.直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.(2)判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.图形语言符号语言l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝A⇒l⊥α.(3)性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.图形语言符号语言a⊥α，b⊥α⇒a∥b.注：证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路.2.证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理（α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α）；三是平行线法（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）：若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面；四是利用面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）：一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直；解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．常见证明线线垂直的常用方法：（1）相交直线①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一”如图：AB=AC,D为BC中点，则②勾股定理的逆定理如图：如果，则③正方形、菱形的对角线互相垂直如图：四边形ABCD是菱形，所以④直径所对的圆周角是如图：AB是圆的直径，⑤相似（全等）转化出直角（需证明）若在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，则有证明如下：易证⑥其他常见垂直关系（1）正方形、矩形、直角梯形（2）数量积为零转化垂直关系（3）利用直二面角的定义得其平面角为直角（2）异面直线①通过证线面垂直证线线垂直注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。注：直棱柱的侧棱垂直于底面，圆柱的母线垂直于底面②平移法通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移4.平面与平面垂直(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的大小可以用它的平面角度量.二面角的范围是[0°，180°].(2)判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β.(3)性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.图形语言符号语言α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，b⊥a⇒b⊥α.三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.6.判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．7．证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑．(2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理．8．常用结论（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.（4）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.9.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.（4）垂直、平行关系的相互转化10.垂直与平行的综合问题求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.11.与探索性问题有关的解题策略(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．12．证明折叠问题中的平行与垂直关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化．对于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml⊥αn∥m⇔n＝km（k∈R）平面α，β的法向量分别为n，mα⊥βn⊥m⇔n·m＝0考点一线面垂直的判断1．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．其中正确的命题共有__________个．2．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则3．【多选】（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）已知是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（

）A．若是异面直线，，则.B．若，则C．若，则D．若，则4．（2023·全国·高三对口高考）给定空间中的直线l及平面，条件：“直线l与平面内无数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的（

）A．充分条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件5．【多选】（2023·河北·校联考一模）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点P，Q，M分别为，，的中点，下列结论正确的有（

）

A．平面B．该四棱柱有外接球，则四边形为正方形C．与平面不可能垂直 D．6．（2023·上海·统考模拟预测）在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（

）

A． B．C．平面 D．平面平面考点二证线面垂直7．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且.

(1)求证平面.；(2)求与平面所成角的大小．8．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，OE，使得.

(1)证明：平面ABC；(2)求点到平面的距离.9．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，在平面ABC的射影恰为等边三角形ABC的中心，且，.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.10．（2023·河南开封·校考模拟预测）如图1所示，在长方形中，，是的中点，将沿折起，使得，如图2所示，在图2中．

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．11．（2023·全国·高三对口高考）如图，四棱锥中，底面，，E是的中点．

(1)求证：；(2)求证：面；(3)若，求三棱锥体积．12．【多选】（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，AC⊥BC，且．下列说法正确的是（

）A．四棱锥为“阳马”B．四面体的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为C．四棱锥体积最大值为D．四面体为“鳖臑”13．（2023·河南·襄城高中校联考三模）如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．

(1)求；(2)当正四棱台的体积最大时，证明：平面．考点三利用空间向量法证线面垂直14．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（

）A． B． C． D．15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．

(1)求证：BE⊥平面；(2)求二面角的大小．16．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32．

(1)过点作，垂足为点，求证：平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．17．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）如图，正三棱柱中，，点为线段上一点（含端点）.

(1)当为的中点时，求证：平面；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为.若存在，求出的位置：若不存在，说明理由.考点四线面垂直的探索性问题18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，．(1)试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；(2)若平面与底面所成的锐二面角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19．（2023·全国·高三专题练习）若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）如图，四边形是菱形，，平面，，，设，连接，交于点，连接，.(1)试问是否存在实数，使得平面?若存在，请求出的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由.(2)当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.22．（2023春·云南曲靖·高三曲靖市麒麟区第一中学校考阶段练习）在三棱柱中，已知，点在底面的射影是线段的中点.（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（2）求二面角的平面角的正切值.考点五直线与平面垂直性质的应用（证线线垂直）23．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为．(1)求证：；(2)求二面角的平面角的正弦值．24．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）如图所示，在直角三角形中，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足.(1)证明：；(2)求点到平面的距离.25．（2023·江西抚州·统考模拟预测）在四面体ABCD中，，E为CD的中点，△ACE为等边三角形，则异面直线AC与BE所成角为（

）A． B． C． D．26．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，，为线段上的点（不包括端点），则（

）

A． B．平面C．二面角的大小为定值 D．的最小值为27．（2023春·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习）在正方体中，点分别是线段上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有则（

）

A．①②均正确 B．①②均不正确C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确28．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）在三棱锥中，已知为正三角形，.

(1)求证：；(2)若，求二面角的正弦值.29．（2023·全国·高三对口高考）如图，已知矩形，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（

）

A．对任意位置，三组直线“与”，“与”，“与”均不垂直B．存在某个位置，使得直线与直线垂直C．存在某个位置，使得直线与直线垂直D．存在某个位置，使得直线与直线垂直30．（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧上一动点（点P与点B，C不重合），E为弧的中点，.

(1)证明：；(2)若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点D到平面的距离.考点六利用线面垂直求体积31．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．(1)求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．32．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（

）A． B． C． D．33．（2023·全国·高三对口高考）三棱锥的侧棱、、两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是（

）A．4 B．6 C．8 D．1034．（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（

）A．1 B． C．2 D．3考点七面面垂直的判断35．（2023·全国·高三专题练习）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下四个命题：①若，，则

②若，，则③若，，则

④若，，，则其中正确的命题是（

）A．②③ B．②④ C．①③ D．①②36．【多选】（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（

）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则37．（2023·四川成都·校考模拟预测）如图，在已知直四棱柱中，四边形为平行四边形，分别是的中点，以下说法错误的是（

）A．若，，则B．C．平面D．若，则平面平面38．【多选】（2023·广东·高三专题练习）已知直线与平面有公共点，则下列结论一定正确的是（

）A．平面内存在直线与直线平行B．平面内存在直线与直线垂直C．存在平面与直线和平面都平行D．存在过直线的平面与平面垂直39．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形中，对角线交于点，将沿折到位置，使平面平面.以下命题:

①；

②平面平面；③平面平面；④三棱锥体积为.其中正确命题序号为（

）A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④考点八证面面垂直40．（2023·河南·校联考模拟预测）在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．(1)证明：平面平面PBC；(2)求点C到平面PAB的距离．41．（2023·贵州·校联考模拟预测）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，.(1)证明：平面平面.(2)求四棱锥的体积.42．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在直角梯形中（如图一），，，.将沿折起，使（如图二）.

(1)求证：平面平面；(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.43．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）如图，已知三棱柱，，，为线段上的动点，．

(1)求证：平面平面；(2)若，为线段的中点，，求与平面所成角的正弦值．44．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，四边形ABCD为菱形，平面ABCD，，.

(1)求证：平面平面AFC；(2)记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，求的值.45．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，在上且满足.

(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.46．（2023·云南·校联考三模）如图，在三棱台中，，分别为，的中点，侧面为等腰梯形.

(1)证明：平面平面；(2)记二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.47．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．48．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）在三棱柱中，侧面，为棱的中点，三角形为等边三角形，，．

(1)求证：面面；(2)求二面角的平面角的余弦值．49．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，半径为2，母线SA､SB的长为，且M为线段AB的中点．

(1)证明：平面SOM平面SAB；(2)求直线SM与平面SOA所成角的大小．考点九利用空间向量法证面面垂直50．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.

(1)证明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.51．（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，在四棱雉中，底面为正方形，底面为的中点．

(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值．52．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值；(3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离.考点十面面垂直的探索性问题53．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上的一点，且，为线段上的动点.(1)当为何值时，平面平面，并说明理由；(2)若，，平面平面，，求出点到平面的距离.54．（2023春·安徽滁州·高三校考开学考试）如图，在三棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且．(1)在线段上求一点，使得平面平面，并证明；(2)求二面角的余弦值．55．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．(1)求的值；(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．56．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．(1)求证：面面ABCD；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．考点十一面面垂直性质的应用57．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，且，平面平面．(1)求证：；(2)若点E是线段上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥的体积为?58．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图，三棱台，，，平面平面，，，与相交于点，，且∥平面．

(1)求三棱锥的体积；(2)求直线与平面所成角的正弦值．59．（2023·北京·人大附中校考三模）已知四棱锥的底面为梯形，且，又，，，平面平面，平面平面．

(1)判断直线和的位置关系，并说明理由；(2)若点到平面的距离为，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角余弦值大小．①；②为二面角的平面角．60．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，为正三角形，平面平面，．

(1)证明：；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．61．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，.

(1)证明：