向量空间与线性空间习题课课件

第4章

习题课

一、

基本要求

二、典型例题分析

2/45一、

基本要求

1.

理解

n维向量及其线性组合与线性表示的概念,

理解线性表示的判别准则.2.理解向量组线性相关、线性无关的概念,理解线

性相关性的性质及判别准则.3.理解向量组等价的概念,掌握向量组等价的判别

准则.3/454.理解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念,

熟练掌握求向量组的极大线性无关组及秩的方法.5.理解非齐次线性方程组的通解、导出方程组的基

础解系与通解,熟练掌握用初等行变换求线性方程

组通解的方法.6.了解

n

维向量空间、子空间、生成子空间、基、

维数、坐标等概念,知道基变换和坐标变换公式,

会求过渡矩阵.4/457.了解内积、正交向量组和标准正交向量组的概念

与性质,掌握

Schmidt

方法,了解规范正交基、正交

矩阵的概念及其性质.8.知道线性空间、线性子空间、基、维数、坐标和

线性变换的概念,会求线性变换在一组基下的矩阵,

知道线性变换在不同基下的矩阵之间的关系.

5/45(一)线性相关性的判定

二、典型例题分析

方法1

定义

方法2

利用矩阵的秩判别

方法3

利用行列式判别

方法4

转化为齐次线性方程组来判别

方法5

利用向量组之间的线性表示来判别

向量组是否线性相关等价于齐次方程组是否有非零解

6/45例1

已知向量组

TTTT(2,1,1,1),(2,1,,),(3,2,1,),(4,3,2,1)aaa线性相关,求

a

的值.解

由条件得

22341123(1)(21)0,11211aaaaa????所以

a

?

1,12a?.或者7/45rank4,?A且2234112311230111,11200121100021aaaaa?????????????????????????????????A另解

由条件知

a

?

1,12a?.或者于是

a

?1

?

0,或

?2a

?1

?

0,解得

8/45例2设

为

n

维列向量组,

m?2,且

12,,,mααα证

因为

12,m????βααα证明向量组

12,,,m???βαβαβα线性无关当且仅当

线性无关.12,,,mααα1212011101[][],110mm????????????????βαβαβαααα且由

m

?

2

知

9/451011101(1)(1)110mm????0,?12,,,m???βαβαβα向量组线性无关12rank[]mm?????βαβαβα所以,12rank[]mm??ααα12,,,m?ααα.向量组线性无关10/45证

所以存在不全为零的

考虑线性方程

因为

线性相关,12,,,mααα数

k1,k2,?,km,使得

1122mmkkk????ααα0.都线性相关.

例3

设

线性相关,证明存在不全为零的数

12,,,mαααt1,

t2,

?,

tm,对任何向量,向量组

β1122,,,(2)mmtttm????αβαβαβk1

x1?

k2

x2?

???

?

km

xm?0,

11/45由

m

?

2

知该线性方程有非零解,设

(t1,t2,

?

,tm)T

为它

的任一非零解,即

从而向量组

线性相关.

则对任何向量

都有

β11221122(),mmmmkkkktktkt????????αααβ0111222()()(),mmmktktkt???????αβαβαβ01122,,,mmttt???αβαβαβ12/45方法1转化为线性方程组

方法2

利用唯一性定理

方法3

利用向量组的秩

(二)线性表示的判定

一个向量能否被线性表示等价于线性方程组是否有解

一个向量组能否被线性表示等价于矩阵方程是否有解

13/45例4

已知

123415121,3,3,2,0213???????????????????????????????????????????????αααα1223344,,,???AAααAααAααAα.三阶矩阵满足求解

设法将

表示成

的线性组合,4α123,,ααα为此对矩阵

123415121002[]13320101,02130011??????????????????????????αααα做初等行变换化为最简阶梯矩阵:1234[]αααα14/4541232,???αααα则于是

1232???AαAαAα4123(2)???AαAααα2342???ααα5122332213????????????????????????????????????752???????????.15/45例5

设

问

a,b,c满足什么条件时

并求出一般表达式.

1232112,1,1,,1054abc??????????????????????????????????????????????αααβ(1)能由

线性表示,且表达式唯一;β123,,ααα(2)不能由

线性表示;β123,,ααα(3)能由

线性表示,但表达式不唯一,β123,,ααα16/45解

21102112220015baaabcb?????????????????????B.123211[]2111054abc?????????????αααβ(1)

当

a

?

?

4

时,

能由

唯一线性表示.β123,,ααα对矩阵

做初等行变换化为阶梯矩阵:123[]αααβ17/45211001120015bbcb??????????????B当

1?

3b

?

c

?

0

时,

不能由

线性表示.β123,,ααα211001120000bb????????????B(2)

当

a

?

?

4

时,

(3)

当

a

?

?

4,1?

3b

?

c

?

0

时,21100112,00013bbbc??????????????210100112,0000bb??????????????18/45123(12)(12)kbkb??????βααα.此

时,

能由

线性表示,且表达式不唯一.

β123,,ααα取

x1?

k,k

为任意数,则

19/45解

即

线性表示.

由向量组

TTT123(1,1,1),(1,2,3),(3,4,)a???βββTTT123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)???ααα例6

设向量组

不能

(1)

求

a;

(2)

将

用

线性表示.123,,ααα123,,βββ12350a?????βββ5a??.不是向量空间

?3的基,

(1)

因

不能由

线性表示,123,,βββ123,,ααα从而

线性相关,

123,,βββ故

123,,βββ(2)

由于

20/45123123101113[]013124115155???????????αααβββ1002150104210,001102?????????????因此

112324,???βααα2122,??βαα31235102???βααα.21/45(三)求极大线性无关组和秩

方法1

初等行变换

方法2

定义

方法3

定义的等价性

22/45的秩,以及该向量组的极大线性无关组,并将其余向量

用极大线性无关组来线性表示.

例7

求向量组

123456111031221242,,,,,331453111182?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????αααααα解

令

123456[],?Aαααααα对矩阵

A

作初等行变换化为阶梯矩阵:

23/45因此

111031221242331453111182??????????????????????=A110071001042,000131000000????????????????B故向量组的秩为3,且

是一个极大线性无关组.

134,,ααα再对矩阵

B

做初等行变换化为最简阶梯矩阵:

2151346134,743,2????????αααααααααα.111031001220,000393000000???????????????????B24/45例8

设

12341122327[],1013121ab???????????????Aαααα解

对矩阵

A

作初等行变换化为阶梯矩阵:

求

A

的秩及向量组

的极大线性无关组.

1234,,,αααα112211223270111,101300501210005aabb???????????????????????????????A25/45(1)

当

a

?

5,b

?

?5

时,rank

A

?

2,是一极大线性无关组.

12,αα是一极大线性无关组.

124,,ααα是一极大线性无关组.

123,,ααα是一极大线性无关组.1234,,,αααα(2)

当

a

?

5,b?

?5

时,rank

A

?

3,(3)

当

a

?

5,b

?

?5

时,rank

A

?

3,(4)

当

a

?

5,b

?

?5

时,rank

A

?

4,26/45(四)线性方程组解的判定、性质和结构问题

例9设向量组

是方程组

的基础解系,

?Ax0123,,ααα112321233123,23,23,?????????βαααβαααβααα证明向量组

是方程组

的基础解系.?Ax0123,,βββ证

由题设知

都是方程组

的解,

?Ax0123,,βββ123123121[][]132,113??????????????βββααα且

27/45方程组

Ax

?

0

的基础解系含三个线性无关的解向量,因为

1211320,113????所以

123123rank[]rank[]3,??βββααα从而向量组

是方程组

Ax

?

0

的基础解系.123,,βββ28/45例1012341234,,,,,[],?ααααβAαααα设都是四维列向量11110220k????????????????????????????Axβ.且方程组的通解为123,,?βααα(1)问向量能否由向量组线性表示1234,,,,ααααβ(2).求向量组的一个极大线性无关组29/45解

于是

11,02??????????????Axβ因为是的解11,20??????????????Ax0是的基础解系1234,,,,3ααααβ所以向量组的秩为.123,,,βααα(1)假若能由向量组线性表示

则有11223340,kkk????βααααT123(,,,0),kkk?Axβ即是

的解30/45即有

11223311110022kkkkkk??????????????????????????????????????????1231111,220kkkk?????????????????????????????,?Ax0是方程组的解T(1,1,2,0),?它可由线性表示,上式矛盾123,,βααα.因此不能由向量组线性表示31/45T(1,1,2,0)??Ax(2)0由是的解可知1232,???ααα03124,,αααα.即可由线性表示1234,,,,βαααα而能由向量组线性表示124,,βααα.所以能由向量组线性表示12341243rank[]rank[]3,???ααααβααα1241234,,,,,,αααααααβ于是为的一个极大线性无关组.1234124[][],?ααααβαααK从而因此

32/45例11123124115,,0132411??????????????????????????????????????????ηηη已知是方程组11233441122344212234432,43,35axxaxaxdxbxxbxdxcxxcxd?????????????????,.的三个解求方程组的通解解

因为

33/4521311326,1329??????????????????????????????ηηηη,?Ax0是导出方程组的两个线性无关的解rank2?A.所以

而系数矩阵134242424335aaabbcc???????????A430,35?中有二阶子式

34/45rank2,?A故

rank2?A.从而

2131,???ηηηηAx0.于是

是的基础解系方程组的通解为121231112131261()(),130292kkkk??????????????????????????????????????????????ηηηηη12,kk.为任意数35/45例12设线性方程组

12240,(I)0,xxxx???????(1)

分别求方程组

(I)

和

(II)

的基础解系;解

1232340,(II)0xxxxxx?????????.(2)

求方程组

(I)

和

(II)

的公共解.(1)

将方程组(I)和(II)的系数矩阵化为最简阶梯矩阵:11001001,01010101????????????????A11101001,01110111?????????????????B36/45则方程组

(I)

和

(II)

的基础解系分别为

TT12(0,0,1,0),(1,1,0,1);???ξξTT12(0,1,1,0),(1,1,0,1)????ηη.(2)

联立方程组

(I)

和

(II)

,得

,???????AxB01100100101010101,1110001201110000?????????????????????????????????????AB则方程组

(I)

和

(II)

的公共解为

T(1,1,2,1),kk??.37/45求方程组

(I)

和

(II)

公共解的三种方法

(1)若方程组

(I)

和

(II)

都是已知的,则联立方程组

(I)

和

(II)

得到方程组

(III),(III)

的解就是(I)和(II)的公共解.(2)

先求出一个方程组的通解,再将通解代入另一个方

程组,然后确定通解中参数的关系,最后得到公共解.

(3)先分别求出两个方程组的通解,再令两个通解表达

式相等,然后确定通解中参数的关系,最后得到公共解.38/45(五)向量空间

例13

设

求

TTT123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,6)????ααα.的一个基,并将它扩充为

的一个基.123span(,,)ααα4解

求

的一个基,就是求

的一

123span(,,)ααα123,,ααα个极大线性无关组.123112112211013[],101000026000???????????????????????????ααα因为

39/45线性无关.

1245,,,αααα由于

是四维向量空间,因此只需找

使得

4445,,?αα4354,,??αeαe所以

是

的一个基.123span(,,)ααα12,αα由

的阶梯矩阵知,可取

123[]ααα即

是

的一个基.1234,,,ααee440/45例14

设

TTT123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9),???????ααα求

的一个标准正交基.123span(,,)ααα解

求

的标准正交基,就是将

标

123span(,,)ααα123,,ααα标准正交化.1111,23??????????????βα212211142,1,10,36?????????????????αββαβββ狁狁先将

正交化:123,,ααα41/45111111,2153??????????????βγβ31323312112200,,,0,,0????????????????αβαββαββββββ狁狁狁狁