两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习讲义

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

5.5三角恒等变换

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【考点梳理】

考点一两角和与差的余弦公式

名称简记符号公式使用条件

两角差的余弦公式cos(a—jff)=cosacosy?+sinasinpa,0GR

两角和的余弦公式COS(Q+£)=COSacossinasin,a,眸R

考点二两角和与差的正弦公式

名称简记符号公式使用条件

两角和的正弦S(a+/0sin(a+夕)=sinacos夕+cosasin夕a,蚱R

两角差的正弦sin(a­/?)=sinacos/?—cosasin[ia,

考点三：两角和与差的正切公式

名称公式简记符号条件

tana+tan「IT

两角和的正切tan(a+£)—,八T（〃+#）a,[3,a+£WE+/GZ)

'''1—tanatanp

tana-tan]兀

两角差的正切a,0,a—£WE+,ReZ)

tan(a-£)-1+tanatan^T(a-«)

考点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式

S2n：sin2a=2sinacosa

=2cos2a-l

C2a:cos2a=cos2g-sin2a

「=l-2sin2a

ot=pMan2a=包组=必当_

cos2a1Tan2a

【题型归纳】

题型一：两角和与差的余弦公式

用和差余弦公式进行化简求值

1.(2021•全国•高一课时练习)cos20°=()

A.cos30°cos100-sin30°sin10°B.cos30°cos100+sin30°sin10°

C.sin30°cosl00-sin10°cos30°D.cos30°cos10°-sin30°cos10°

2.(2022全国•高一课时练习)已知名尸均为锐角，且8s(a+0=sin(a-0,则tana=()

A.0B.6Jc-2D.1

满足sina=当，sin/?=眄,则a+〃=(

3.（2021•江苏如皋•高一月考）已知a,夕均为锐角，)

10

A713n

A-6B.—c.-D.-

434

-：逆用和差余弦公式进行化简求值

4.（2021•全国•高一课时练习）1cosl5o+且sinl5。的值是（）

22

瓜

A五B五rD.

2222

5.(2022全国.高一课时练习)sin3470cos148°+sin770cos58°=()

D.2

A.V2B.—c"

22

6.(2021・贵州•兴仁市凤凰中学高一期末)sin74,sin46-sin16sin44=()

A.1B,-1C.D.$

题型二：两角和与差的正弦公式

-：用和差正弦公式进行化简求值

7.（2021•北京・中国农业大学附属中学高一期末）丽1122。8$82。-£：0822。5也82。的值是（）

A.；B.--C.正D.巫

2222

8.（2021•河南・郑州四中高一月考）若sin6+石cos6=2,㈤，则sin。为（）

A.--B.；C.也D.

2222

312

9.（2021•云南省玉溪第一中学高一月考）已知a,夕都是锐角，sina=-,cos（a+y?）=,贝ljsin£=（）

-：逆用和差正弦公式进行化简求值

10.（2021・全国•高一课时练习）化简$皿200。8$140。-8$160叼1140。，得（）

A.3B.sin20°C.cos20°D.；

22

11.(2021•北京市昌平区实验学校高一期中)sin70°-cos250-sin20°-sin25°=()

_V2

Bc-?D.

-T2

12.(2021•江苏•高一月考)sin15cos450+cos15sin135°=()

A.-1

B.-

22

C.一遭D,3

22

题型三：两角和与差的正切公式

-：用和差正切公式进行化简求值

13.（2021•浙江•宁波市北仑中学高一期中）已知tan（a-夕）=g,tan»=T，c,£e（0,m,则2"夕=（

)

3n冗「K〜5

A.——7TB.——C.—D.一乃

4444

14.（2021♦全国•高一课时练习）计算tan82Tan22=（）

1+tan82tan22

A.-1B.1C.y/jD.-73

15.（2021・全国•高一课时练习）若tanQ-a）=3,贝ijtancr的值为（）

A.—2B.—C.!D.2

22

二：逆用和差正切公式进行化简求值

tan100+tan20°

16.（2021•陕西阎良・高一期末）=()

1-tan10°tan20°

B.旦

A.-V3C.D.

33

热器的值等于（）

17.（2021.全国•高一单元测试）

A.tan42°B.tan3°c.1D.tan240

18.(2021・河南商丘・高一月考)73tan48°-tan60°tan18°-tan48°tan18°=()

A.1B.6C.2D.3

题型四：两角和与差的三角函数综合应用

sin15°cos5°-sin20°

19.（2021,全国•高一课时练习）求值:

cos15°cos5°-cos20°

20.（2021・全国•高一课时练习）求下列各式的值:

一、sin20°-sin40°

(1)---------------------；(2)sin20°4-sin400-cosl0°.

cos200-cos40°

21.(2021・全国•高一课时练习)化简：

tan580+tan92°tan20-tan0

(1)----------------------；

1+tan58°tan88°1+tan20tan0'

cos15°-sin15°

(3)tan830+tan370-x/3tan83°tan37°;

cos150+sin15°

题型五：二倍角公式的运用

22.（2021・河南•高一期末）已知角。的终边过点（3,T）,则sin2c-2cos2+l的值为（）

229

A.-2B.一一C.——D.1

525

sin2Z?

23.（2021・河北张家口•高一期末）若tan6=-2,则一寸；的值为（）

cos~^+l

2244

A.—B.-C.—D.一

3333

24.（2021・全国•高一课时练习）8T?-而43的化简结果为（）

22

a

A.cos—B.cosaC.cos"D.cos4a

2

【双基达标】

一、单选题

〜4，当,则sin（a+f）等于（

25.（2022・全国•高三专题练习）已知cosa=­y

24

A"R6_772D.逑

D.--c.

1010~W~10

冗

26.（2022•全国•高三专题练习）已知tan(a+—)=2,则tana=()

4

A一B.-14

C.D.--

3373

27.（2021・全国•高一课时练习）化简sin13。cos17。+cos13。sin17。，得（）

A..

B,c.sin4°D.cos4°

2

28.（2021.甘肃张掖.高一期末（理））如图，在平面直角坐标系xO），中，角a与角4均以Ox为始边，终边分别是射

线。4和射线08,且射线Q4和射线OB关于x轴对称，射线。4与单位圆的交点为则cos(6-0的值是

A24D24.7

A.-----D.—C.—D.--

25252525

29.(2021•全国•高一课时练习)若角a满足cos[?+a)=getan。/、

,则；———=()

l+tana

7八7一7

A.-B.—C.—D.—

9241812

37r7T、孚，则c。吟告=

30.(2021・全国•高一单元测试)已知ae(0,%-),/?€(0,5)，si.n(—不+a)=——6，cos/(a+B—、)=-

432

()

应应「

A4n42&D.一返

9933

31.(2021•江西•九江一中高一月考)如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,

三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、AC,已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面

35

A.4B.2C.-D.一

22

iQ

32.(2021•全国•高一课时练习)已知cos0=-a(-180o<0<-90。)，则cos〉()

A.—显B.巫C.--D.1

4488

33.(2021・四川•仁寿一中高一开学考试)已知a,夕©(。，弓)，且tana=«§2,则(

12Jsmp

A.3a-fi=TiB.3a+/7=7tC.2a+0=itD.2a-P=TI

34.(2021.河北.张家口市第一中学高一月考)设a,夕均为锐角，且sin(a+0+sin(a-£)=把2,则，母吗的

cosa1+sina

最大值是()

A.V2B.孝C.2D.2V2

【高分突破】

一:单选题

35.(2021•江苏•常熟市中学高一月考)已知cosa+sin("Vj=0,则tana=()

A.-正B.昱C._邪>D.6

33

jr27r

36.(2021•江苏•盐城中学高一月考)化简sin(a+")sin(丁+a)可得()

63

1\JI

A.--cos(2a+y)B.--sin(2a-y)

__17T.1.._TC、

C.—cos(2tz——)D.^siriQa+§)

37.(2021•浙江♦乐清市知临中学高一期末)对于任意的。，BeR,则有()

A.sin2a-sin2/?=sin(a4-/?)sin(«-/7)

B.cos2a-cos2/?=cos(a+/?)cos(a-/?)

C.sin2a+sin2/?=sin(<74-/7)sin(6z-/?)

D.cos2a+cos2P=cos(a+/7)cos(a-

38.（2021♦江苏♦金陵中学高一月考）6tan120+Gtan180+tan120•tan18°的值是（）

A.芈)B-TC-°D.1

2

39.（2021•云南・罗平县第二中学高一月考）已知/（X）=2COS2|+sinx,则/（x）的最大值为（）

9D.2

A.3B.-C.2

43

3,cosB=g,则tan(2A+2B)=()

40.（2021•江苏省外国语学校高一期中）中，tanA=-

4

AH8-44

A.三B.——C.—D.-11

7117

二、多选题

41.（2021•江苏・吴江汾湖高级中学高一月考）下列式子结果为G的是（）

①tan25。+tan35°+Gtan25°tan35°;

(2)2(sin35°cos25°4-cos35°cos65°)；

③蜉

④---------

1+tan15°

A.①B.②C.③D.④

42.（2021•江苏淮安•高一月考）下列各式中，值为g的是（)

tan22.5

A.B.tan15-cos215

I-tan222.5°

也2万石.2乃

C.——cos2————sin2—D.cos76°cos160+cos14°sin16°

312312

（2021.江苏江宁•高一期中）下列格式中，值等于也的是（

43.)

2

tan15°

A.

1-tan215°

B.cos47°sin730+cos73°sin133°

27C.24

C.cos----sin—

1212

D.cos66°cos360-sin66°sin36°

44.(2021・江苏鼓楼•高一期中)在下列选项中，正确的是()

h

A.sinl70cos130+cos17°sinl3°=

2

B.cos75°cos150+sin75°sin150=—

2

C.存在角a,使得sin(a+£)vsina+si印成立

D.对于任意角a,B，式子cos(a+y?)vcosa+cos/?都成立

45.（2021.重庆市第二十九中学校高一期中）下列各式中，值为/的是（)

tan22.5。

A.B.tan15°-cos2150

1-tan222.5°

V3，n.2万D.——?——+—B—

C.——cos-------sin一

31231216sin50°16cos50°

三、填空题

46.（2021•河北衡水中学高一期末）已知/），且3cos2a+8sina+5=0,则tana=

47.（2021•全国•高一课时练习）化简sin（a+6（r）+2sin（a—60。）一⑺cos（120。一a）的结果是.

48.（2021•全国•高一课时练习）化简：sin'"8S'a=

cos2a

49.（2021・四川・成都外国语学校高一月考（文））已知ad（0,三），的（-n,-£）,sina=还，cos少=一2叵,

22105

则a+2£的值为

50.（2021・全国•高一课时练习）已知-=则si而+-

四、解答题

51.（2021•广东•揭阳第一中学高一期末）（1）已知tana=3,求（sina+coscr）?；

（2）计算：sin40（tanlO-6）.

.（兀）

5sina+—

52.（2021•全国•高一课时练习）已知。是第一象限角，且cosa=n，求（4）的值.

〜cos（2a+4兀）

53.（2021.全国•高一课时练习）求下列各式的值：

（1）cos400+cos600+cos140°；（2）sin20°sin40°sin60°sin80°.

54.（2021・全国•高一课时练习）把下列各式化为和或差的形式：

（1）sin2xsinx；（2）cos（a+夕）cos（a-/）；

（3）sin（1350-3x）cos（45°+x）；（4）2sin（（一+.

4

55.（2021・全国•高一课时练习）（1）已知cosa=g,求sir/a+cos’a的值；

（2）已知sina+cosa=',求sin2a的值.

2

（3）已知a£，2兀｝化简Jl-sina+Jl+sina；

（4）已知1211卜，）=；,1211（夕-9=-3，求tan（a+Q）的直

【答案详解】

1.B

解：cos20°=cos(30-10)=cos30cos10+sin30sin10

故选：B

2.D

【详解】

,/cos(a+P)=sin(a-P),

/.cosacos-sinasin£=sinacosp-coscrsinp,

即cos/7(sin«-cosa)+sin/?(sin(7-cosa)=0,

所以(cos/?+sinm(sina-cosa)=0,

因为a,尸均为锐角，所以cos/J+sin”。，

所以sina-8sa=0,

所以tana=1,

故选：D

3.D

【详解】

依题意a,夕均为锐角，

.不一r.——2石

sina=——=>cosa=Vl-sina=---,

55

。业aFt~3710

sinp==>cosp=-sin-p=,

所以c°s(a+0=2x通-旦巫=g

',5105102

而。<o+/v兀，所以。+夕=工.

4

故选：D

4.A

【详解】

原式=cos60°cos150+sin60°sin15°=cos(60°-15°)=cos45°=

故选：A

5.B

解：sin347ocosl48o+sin77ocos58o=(-sinl3o)(-sin58o)+cosl30cos58o

=cosl3°cos580+sin13°sin58°=cos(58°-13°)=cos45°=

故选：B.

6.A

【详解】

由题意，sin74sin46-sin16sin44=cos16cos44-sin16sin44=cos60=—

2

故选：A

7.D

【详解】

由题意，sin22°cos820-cos22°sin82°=sin(22°-82°)=sin(-60°)=-

故选：D

8.B

解：♦.•sin8+J5cose=2,

2sin(^+—)=2,gpsin(^+—)=1,

33

・・・。£(0㈤,

：,0=-,

6

・八1

sin6/=—.

2

故选：B.

9.D

【详解】

TTTT

由于0＜。＜一，所以。＜。+〃＜兀，

22

I------------4I-------------------5

2

所以cosa=A/l-sin2a=—,sin(a+^)=^1-cos(or+y?)=—

所以sin/?=sin[(a+/7)—a]=sin(a+£)cosa-cos(a+/7)sina

5412316

=—x—i----x—=—

13513565

故选:D

10.A

【详解】

由cos160°=cos(360°-160°)=cos200°,sin40°=sin(l80°-40°)=sin140°,

Jsin2000cosl400-cosl600sin400=sin2000cosl400-cos2000sinl400=sin(2000-1400)=sin600=—

2

故选：A

11.A

【详解】

sin70°-cos250-sin20°•sin25°=sin70°-cos250-cos70°-sin25°=sin45°=—

2

故选：A

12.D

【详解】

sin15cos45+cosl5sin135°

=sinl5cos45°+cosl5sin45

二sin(15。+45。)=sin60。=》

故选：D.

13.A

【详解】

因为tan(a_/)=2，tan£=_g,

1」

所以tana=tan[(a-/7)+/7]=：皿(:

l-tan(a-p)-tanp[+1x3

27

则。£(0卷)，

因为tanP=T<0,

则尸£惇乃)，

所以一;r<a—/7<一],一万<2a一6<0,

2Z-

八2tana33

tan2a=--------z—=——=-

1-tan"01］第4

31

-+-

小c、tan2a-tanB

tan(2a-/3)=......................-47t

।31一，

1+tan2atan01—X—

47

34

所以2"p=一彳

故选：A

14.C

【详解】

tan82-tan22”n

由题意,--------------------r=tan(82-22)=tan60=J3

1+tan82tan22

故选：C

15.B

【详解】

TC

1-tan-a

1-31

由题意,tana=-----=—

1+32

14-tan

故选：B.

16.B

【详解】

tan100+tan20°6

----------------------=tan(10°+20°)=tan30°=—

1-tan10°tan200-------'73

故选：B

17.A

【详解】

*/tan60°=y/3,原式=矽——⑦"二=tan(60°—18°)=tan42°.

1+tan60°tan18°

故选：A.

18.A

【详解】

Gtan48°-tan60°tan18°-tan48°tan18°

=6(tan48。-tan18。)Tan48。tan18。

=A/3[tan(48°-18°)(1+tan48°tan18°)]-tan48°tan18°

=6[tan30。(1+tan48°tan18°)]-tan48°tan18°

=14-tan48°tanl8o-tan48otanl8°=l.

故选：A

19.8+2

sinl5°cos5°-sin20°

解：-------------------

*cos15°cos5°-cos20°

sin15°cos5O-sin(15°+5°)

cos15°cos5°-cos(l50+5°)

sin15°cos50-sin15°cos5°-cos15°sin5°

cos15°cos5°-cos15°cos5°+sin15°sin5°

-cos15°sin5°

sin15°sin5°

tan15°，

•••15。=血(45。-3。。)=^^=点=6-2,

二原式=一高=6+2,

20.(1)

sin20-sin40sin(60-40)-sin40

cos20-cos40cos(60-40)-cos40

八1

^cos40-sin40-sin40

sin60cos40-cos60sin40-sin4022

cos60cos400+sin60sin400-cos401,八G一八彳八

—cos40'十二一sin40-cos40

22

3

2cos40sin406sin(30-40)^sin(-10)

=-6.

一4加40」8$4。-sin(40_3。。)sin10

22

(2)

sin20+sin400-cos100=sin(30-10)+sin(304-10j-cosl0'

iFiiFi

=—coslO------sin10+—coslO+——sinl00-cosl0

2222

=cos10-cos100=0.

21.

5tan580+tan92°tan58°-tan88°

解：--------------=---------------

1+tan58°tan8801+tan58°tan88°

=tan(58°-88°)=-^-

(2)

tan20-tan0

解:=tan(2^-0)=tan；

1+tan20tan0

(3)

解：因为tan120。=tan(83。+37。)=：受3：：,3：；6,

1-tan83°tan37°

所以tan83°+tan37°=-^(1-tan83°tan37°),

所以原式=-6(1-tan83。tan370)-75tan83°tan37°=-后；

(4)

cos15°-sin15°1-tan15°_tan450-tan15°6

解:tan(45°-15o)=tan30°=

cos15°十sin15°1+tan1501+tan45°tan15°T

22.C

因为角。的终边过点（3,T）,

一43

所以sina=-《,coscr=—,

329

所以sin2a_2cosa+l=2coscr(sincr-1)+1=2x—x+1

25'

故选：C

23.A

【详解】

sin2。2singcos6_2tan。_2

由题知tan夕=-2,

cos20+1sin?。+2cos2。tan?8+23

故选：A.

24.B

【详解】

a.a(2a.Y2a.2。)

cos4-----sin4—=cos—+sirr2—cos------sin—=cosa

22122人22)

故选：B.

25.C

【详解】

・・u/k3万4

.(肛—),且cosa=------,

25

・.3

--sinot=-----,

••SID\QH—)=一一X----+(-----)X-----------------.

4525210

故选：C

26.A

【详解】

/)、1+tana-〃”口1

tan(〃+—)=----------=2,解得tana=-.

41-tana3

故选：A

27.B

【详解】

sin13°cos17°+cos13°sin17°=sin(l30+17°)=sin30°=g.

故选：B

28.D

【详解】

34

由任意角的三角函数的定义可得，cosa=--,sina=

因且射线。和射线关于轴对称，则射线与单位圆的交点为

408x088,|,-4I1,于是得cos〃=—13,

sin^=-1,

_9__267

因此,cos(/-a)=cospcosa+sinsina=——x

25~2525

7

所以cos（Z7—a）的值是-

故选：D

29.C

【详解】

因为cos((+a=-^-(cosa-sina)=^,可得cosa-sina=

两边平方,可得2sinacosa=—,

sina

tanacosa

所以——-z-=sinacosa=—

1+tan2a,fsina?18

cosa

故选：C.

30.C

【详解】

•.•£€(0年),匹(0,9，

—+ae(—,^),a+—e(0,.

442

・・./、y/3y/2

•sin(—+a)=——<——,

432

.几/।/兀

・・一+。£(—,乃)，pMlljC0S(—+«)=~-,

4443

；cos(a+2)=-述，

29

..,邛、A/6

..Sin((24-y.

,冗。、一冗、/B、、/瓦、/尸、♦/兀、./。、

cos(----)=cos[(—+a)—(a+—)]=cos(—+a)cos(a+—)+sm(—+a)sin(a+—)

424,2422

=_逅/一述〕+逅西=空

39933

故选：C.

31.A

【详解】

由题意,以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为:,则半径比为,,所以器=；

不妨设AC=1,AB=2,易知ABJ.AC,所以8C二百,

一一AC1AB24

所以sma=——■=-r=,coscr=--=-=,则sin2a=2sinacosa=一,

BC，5BC\j55

o44

于是，4cos-a+sin2cr=4x—+—=4.

55

故选：A.

32.B

【详解】

由cose=2cos2,-l得2cos28-1=-1,cos—=+—

2242-4