四川省达州市2022-2023学年高二下学期期末监测数学（理）试题含解析

达州市2023年普通高中二年级春季期末监测数学试题（理科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数，则的虚部是（）A.bi B. C.0 D.3.某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：身高范围（单位：cm）学生人数54040105根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（）A.165 B.167 C.170 D.1734已知，则（）A. B. C. D.5.的展开式中，的系数为（）A20 B. C. D.156.某市2023年中考体育考试要求考生必须在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试.如果这三个项目该市一初三寝室的四名同学都有人选，则这四名同学所有可能选择的方案为（）A.72 B.36 C.18 D.247.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与C的一个交点为P，，则C的离心率为（）A. B.2 C. D.8.桌上放着4张卡片，每张卡片的一面写着一个大写或小写字母，另一面写着一个0到9的整数数字，小明只能看到卡片的一面．下面的4张卡片，要判断命题“卡片的一面是大写字母，这张卡片的另一面是奇数”为真，小明至少翻开的卡片是（）A.①② B.②③ C.②④ D.③④9.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，的面积为，则（）A. B. C. D.10.在棱长为1的正方体中，点满足，，．在满足条件的中随机取一点，与所成角小于等于的概率为（）A. B. C. D.11.椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（）A. B. C. D.12.设表示集合的子集个数，，，其中.给出下列命题：①当时，是函数的一个对称中心；②时，函数在上单调递增；③函数的值域是；④对任意的实数x，任意的正整数k，恒成立.其中是真命题的为（）A.①③ B.②④ C.①③④ D.②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13已知向量，满足，，，则______．14.曲线在点处的切线方程是______．15.某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4cm的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为______cm．16.已知，是函数的两个零点，且，记，，，用“＜”把a，b，c连接起来______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列前五项和为15，等比数列的前三项积为8，且．（1）求和的通项公式；（2）设，求数列前n项和．18.某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理的人数没选考物理的人数合计（2）在该地区已选科的考生中随机选出3人，这3人中物理和政治都选了的考生的人数为X，视频率为概率，求X的分布列和数学期望.附：参考数据和公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.635787910.828，其中.19.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点．（1）证明：；（2）若PB与底面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．20.已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．（1）求E的标准方程；（2），，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．21.已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若函数存在极大值点，且，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4-4：坐标系与参数方程］22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出直线l的参数方程（用P点坐标与表示）和曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的最小值．［选修4-5：不等式选讲］23.已知函数，函数的最小值为k．（1）求k的值；（2）已知a，b，c均为正数，且，求的最小值．

达州市2023年普通高中二年级春季期末监测数学试题（理科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再求两集合的交集.【详解】由，得，所以，因为，所以，故选：A2.复数，则的虚部是（）A.bi B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求解作答.【详解】复数，则，因此，所以的虚部是0.故选：C3.某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：身高范围（单位：cm）学生人数54040105根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（）A.165 B.167 C.170 D.173【答案】B【解析】【分析】根据给定的频率分布表，求出各分组区间的中间值与对应频率积的和作答.【详解】由数表知，身高在区间内的频率依次为：，则，所以该地区高三学生的平均身高约为.故选：B4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式结合已知条件可求得结果.【详解】因为，所以，故选：A5.的展开式中，的系数为（）A.20 B. C. D.15【答案】B【解析】【分析】化简后利用二项展开式的通项计算得到答案.【详解】，其展开式的通项为：，取得到的系数为．故选：B．6.某市2023年中考体育考试要求考生必须在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试.如果这三个项目该市一初三寝室的四名同学都有人选，则这四名同学所有可能选择的方案为（）A.72 B.36 C.18 D.24【答案】B【解析】【分析】按照1,1,2把4人分层三组，将分好的三组对应三个项目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意：分2步进行：①四名同学在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试，且每个项目至少有一名同学报名，可以把四名同学分成三组，人数分别为1,1,2，有种分组方法；②将分好的三组对应三个项目，有种对应方法，则四名同学所有可能选择的方案有种.故选：B7.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与C的一个交点为P，，则C的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义结合可求得关系即可得出答案.【详解】由，得点在双曲线的右支上，则，所以，在中，，故，所以，即双曲线C的离心率为.

故选：C8.桌上放着4张卡片，每张卡片一面写着一个大写或小写字母，另一面写着一个0到9的整数数字，小明只能看到卡片的一面．下面的4张卡片，要判断命题“卡片的一面是大写字母，这张卡片的另一面是奇数”为真，小明至少翻开的卡片是（）A.①② B.②③ C.②④ D.③④【答案】C【解析】【分析】根据题目信息进行合情推理，能求出结果.【详解】①的正面是小写字母，无论①的背面是奇数还是偶数，都无法判断命题的真假；②的正面是大写字母，如果②的背面是奇数，则命题是真命题，否则命题是假命题；③的正面是3，如果③的背面是小写字母，也无法说明命题是假命题；④的正面是6，若④的背面是大写字母，则判断命题为假.综上，要验证命题的真假，至少要翻开的是②④.故选：C.9.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据数量积及面积公式列方程求得，利用正弦定理及两角和正弦公式化简式子，代入计算求解即可.【详解】因为，所以，即，，所以，又，所以，所以.故选：D10.在棱长为1正方体中，点满足，，．在满足条件的中随机取一点，与所成角小于等于的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，表示出，设与所成角为，则，依题意可得，即可得到，再根据几何概型的概率公式计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，因为，，，所以，所以，设与所成角为，则，因为与所成角小于等于，则，即，所以，即，因为，，目标式子为，如下图所示，满足的(，)为图中扇形中的点，又，，所以，即在满足条件的中随机取一点，与所成角小于等于的概率为.故选：D11.椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据蒙日圆的定义，将问题转化为两圆有公共点的问题，根据两圆关系即可求解.【详解】由题意可知：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点的轨迹为圆：，圆心由于在圆，圆心，故两圆有公共点即可，故两圆的圆心距为，故.故选：D12.设表示集合的子集个数，，，其中.给出下列命题：①当时，是函数一个对称中心；②时，函数在上单调递增；③函数的值域是；④对任意的实数x，任意的正整数k，恒成立.其中是真命题的为（）A.①③ B.②④ C.①③④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】根据子集个数确定数列通项公式，求得，对于①②根据余弦函数的图象与性质判断即可，对于③根据二倍角的余弦公式，结合二次函数的最值判断即可，对于④根据余弦函数的有界性及等比数列求和判断即可.【详解】由集合的子集个数为知，，所以，，所以，所以，令，，得，当时，函数的对称中心为，故①正确；因为，所以，令，则在上不单调，所以函数在上不单调，故②错误；，所以当时，取最大值，所以当时，取最小值，即函数值域是，故③正确；，故④正确；综上，真命题为①③④.故选：C【点睛】关键点点睛：第一个关键点要掌握余弦函数的图象与性质及复合函数的值域求解，第二个关键在于利用三角函数的有界性对不等式放缩，再结合等比数列前n项和进一步放缩判断.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，满足，，，则______．【答案】7【解析】【分析】根据题意求得，结合，列出方程，即可求解.【详解】由向量满足，，可得，因为，可得，解得.故答案为：7.14.曲线在点处的切线方程是______．【答案】【解析】【分析】先求导数，得切线斜率，利用点斜式可得方程.【详解】，当时，；所以曲线在点处的切线方程是，即.故答案为：.15.某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4cm的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为______cm．【答案】【解析】【分析】依题意该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高的最小，则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，求出正四面体外接球的半径，即可得解.【详解】依题意该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高最小，则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，如图正四面体，设点在面内的射影为，即面，则球心在上，，所以，设外接圆的半径为，，所以，在中，，即，解得，所以该圆柱形容器内壁高的最小值为.故答案为：16.已知，是函数的两个零点，且，记，，，用“＜”把a，b，c连接起来______．【答案】【解析】【分析】由，得，令，借助的图象可得的范围，令，则，，，利用由函数与在上的图象得出的结论，以及指数幂运算和函数的单调性可比较大小.【详解】由，得，令，作出的图象，直线与的图象有两个交点，由图可知，又，则，，∵，∴，∴，令，则，则，，，作出函数与在上的图象，由图可知，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.，，而，从而，则，即；，，而，从而，则，即，综上，.故答案为：.【点睛】方法点睛：解决函数零点问题的方法：（1）直接解方程法（适用于方程易解的情形）；（2）利用零点存性定理；（3）图象法：①研究函数的图象与x轴的交点；②转化为两个函数图象的交点问题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列前五项和为15，等比数列的前三项积为8，且．（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据数列类型和基本量关系的运算即可求得通项公式；（2）根据错位相减法可求得结果．【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，∵等差数列前五项和为15，且，∴，解得，∴，∵等比数列的前三项积为8，且，∴，∴，∴．【小问2详解】，即，∴，∴，∴.18.某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理的人数没选考物理的人数合计（2）在该地区已选科的考生中随机选出3人，这3人中物理和政治都选了的考生的人数为X，视频率为概率，求X的分布列和数学期望.附：参考数据和公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.【答案】（1）列联表见解析，可以（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题意完成列联表，再计算出与比较即可得出判断；（2）因为任取一人物理和政治都选了的概率，且，所以根据二项分布的概率计算公式列出分布列计算数学期望即可.【小问1详解】根据题意，选考物理的考生有人，选考政治的考生有人，列联表补充完整如下：选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理的人数8040120没选考物理的人数701080合计15050200因为，所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.【小问2详解】在该地区已选科的考生中随机选出1人，则物理和政治都选了的概率，易知，随机变量服从二项分布，即，所以可取0，1，2，3，，，，.分布列如下：0123则.19.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点．（1）证明：；（2）若PB与底面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，由题意可得，，所以平面，从而得结论；（2）由条件可证得平面ABCD，则为PB与底面ABCD所成角，可得，由得平面ABCD，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】连接，因为底面ABCD是边长为2的菱形，所以，且是的中点，因为，所以，又因为平面，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】因为，所以，又因为，所以，即，因为平面ABCD，所以平面ABCD，则为PB与底面ABCD所成角，故，因为，所以，则，因为分别是的中点，则，所以平面ABCD，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则,,设平面的法向量为，由，令，则，，设平面的法向量为，由，令，则，，，因为二面角的大小为锐角，故二面角的余弦值为．20.已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．（1）求E的标准方程；（2），，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义可知，从而可得抛物线E的标准方程；（2）设出的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及抛物线定义求出，，由结合基本不等式求出最小值．【小问1详解】抛物线的焦点，准线．∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．根据抛物线的定义可知，，∴，∴抛物线E的标准方程为.【小问2详解】由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，设，，，设，由，消可得，∴，，∴，∴，同理可得，∴，当且仅当时取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为32．21.已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若函数存在极大值点，且，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求导函数，转化为导函数有零点问题，构造函数，数形结合得，且，又，所以，设，由函数的单调性可得，进而可得实数的取值范围．【小问1详解】，的定义域是，，当时，在递增，当时，令，解得：，当时，递增；当时，递减，综上：当时，在递增；当时，在递增，在递减.【小问2详解】因为，所以，若函数存在极大值点，则有零点，且零点左侧导数大于0，右侧导数小于0．令得，记，则，令，解得，即在上单调递增，令，解得，即在上单调递减，则，且，时，