2022年北京第115中学高三数学文期末试卷含解析

2022年北京第115中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的取值范围是（）A.

B.或

C.

D.或参考答案：A略2.设，则A.

B.

C.

D.参考答案：C因为,,，因为，所以，所以，选C.3.命题p：“?x0∈R，使得x02﹣3x0+1≥0”，则命题￢p为（）A．?x∈R，都有x2﹣3x+1≤0 B．?x∈R，都有x2﹣3x+1＜0C．?x0∈R，使得x02﹣3x0+1≤0 D．?x0∈R，使得x02﹣3x0+1＜0参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解命题p：“?x0∈R，使得x02﹣3x0+1≥0”，则命题￢p为?x∈R，都有x2﹣3x+1＜0故选：B4.设=

（

）

A．{1，2，3}

B．{2}

C．{1，3，4}

D．{4}参考答案：D略5.某程序框图如下，当E0.96时，则输出的（▲）A.20

B.22C.24

D.25

参考答案：C略6.在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D7.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，L，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(

)A、x1，x2，L，xn的平均数

B、x1，x2，L，xn的标准差

C、x1，x2，L，xn的最大值

D、x1，x2，L，xn的中位数参考答案：D8.已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B依题意，当点M为线段BC的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND1，从而当时，截面为四边形，当时，截面为五边形，故线段BM的取值范围为，故选B.9.下列命题的说法错误的是(

)A．若复合命题为假命题，则都是假命题．B．“”是“”的充分不必要条件．C．对于命题则．D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”．参考答案：A

【知识点】全称命题；复合命题的真假．A2解析：若为假命题，则至少有一个为假命题．故选A．【思路点拨】本题考查的是全称命题、复合命题的真假问题、充要条件等．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想．值得同学们体会反思．10.设函数，对任意，若，则下列式子成立的是(

)A． B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设实数x,y满足，则的取值范围是参考答案：由于表示可行域内的点与原点的连线的斜率，如图2，求出可行域的顶点坐标，，则，可见，令，则在上单调递增，所以．12.设定义在R上的函数f（x）满足，若f（1）=2，则f（107）=__________.参考答案：.试题分析：函数f（x）满足，则，，所以，.考点：函数的周期性.13.若，，，则

.参考答案：14.几何证明选做题）如图所示．A，B是两圆的交点。AC是小圆的直径D，E分别是CA，CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，则AB=

．参考答案：15.已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则

。参考答案：716.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，cosC=，且acosB+bcosA=2，则△ABC面积的最大值为．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：∵acosB+bcosA=2，∴a×+b×=2，∴c=2，…（6分）∴4=a2+b2﹣2ab×≥2ab﹣2ab×=ab，∴ab≤（当且仅当a=b=时等号成立）…（8分）由cosC=，得sinC=，…（10分）∴S△ABC=absinC≤××=，故△ABC的面积最大值为．故答案为：．…（12分）【点评】此题考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．17.已知A，B，C，D四点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，则三棱锥A一BCD的体积是________.参考答案：2【分析】由球的表面积求球的半径，利用直角三角形计算AB长，可得AB恰为球的直径，可得AD长，得到，推证平面,利用三棱锥的体积公式计算可得.【详解】因为球的表面积为，所以球的半径为，又，，，可得，故为球的直径，所以，由勾股定理得，在三角形中，，所以，又，所以平面，又在三角形中，，所以，所以三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积是2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为元.旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过人时，飞机票每张收费元；若旅行团的人数多于人时，则予以优惠，每多人，每个人的机票费减少元，但旅行团的人数最多不超过人.设旅行团的人数为人，飞机票价格为元，旅行社的利润为元.（I）写出飞机票价格元与旅行团人数之间的函数关系式；（II）当旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.参考答案：解：（I）依题意得，当时，；当时，；…………4分（II）设利润为，则…6分当时，，

当时，

，

又当时，，答：当旅游团人数为人时，旅行社可获得最大利润元。……12分略19.（14分）已知函数f（x）=alnx﹣，g（x）=ex（其中e为自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在区间（0，1）内是增函数，求实数a的取值范围；（2）当b＞0时，函数g（x）的图象C上有两点P（b，eb）、Q（﹣b，e﹣b），过点P、Q作图象C的切线分别记为l1、l2，设l1与l2的交点为M（x0，y0），证明：x0＞0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求出函数的导数，得到关于a的不等式，求出a的最小值即可；（2）先求出导函数，求出切线方程，构造出新函数h（b），通过讨论h（b）的单调性，从而证出结论．【解答】解：（1）∵f（x）=alnx+﹣1，∴f′（x）=，若函数f（x）在区间（0，1）内是增函数，则a（x+1）2﹣2x≥0，∴a≥=，∴a≥；（2）∵g′（x）=ex，∴g（b）=g′（b）=eb，∴l1：y=eb（x﹣b）+eb…①，g（﹣b）=g′（﹣b）=e﹣b，∴l2：y=e﹣b（x+b）+e﹣b…②，由①②得：eb（x﹣b）+eb=e﹣b（x+b）+e﹣b，两边同乘以eb得：e2b（x﹣b）+e2b=x+b+1，∴（e2b﹣1）x=b?e2b﹣e2b+b+1，∴x0=，分母e2b﹣1＞0，令h（b）=be2b﹣e2b+b+1，∴h′（b）=2be2b﹣e2b+1，∴h″（b）=4be2b+1＞0，∴h′（b）min→h′（0）→0+，∴h（b）min→h（0）→b＞0，∴x0＞0．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，第一问表示出关于a的不等式是解题的关键，第二问中构造出新函数是解题的关键，本题有一定的难度．20.解关于的不等式．参考答案：解：当a＝0时，不等式的解为x＞1；

当a≠0时，分解因式a(x－)(x－1)＜0’

当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜；’ 当0＜a＜1时，1＜，解得1＜x＜；’ 当a＞1时，＜1，解得＜x＜1；’ 当a＝1时，不等式的解集为’ 综上所述,当时,原不等式的角集为;当时,原不等式的解集为;

当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为＜x＜1略21.在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于两点。（1）写出曲线和直线的普通方程；（2）若成等比数列,求的值．参考答案：解：（Ⅰ）C: