2022年山东省临沂市苍山第一中学高三数学理期末试卷含解析

2022年山东省临沂市苍山第一中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x，y满足约束条件，则z=2x－3y的最小值是（

）A

B－6

C

D参考答案：B略2.已知抛物线C：y2＝6x，直线l过点P（2，2），且与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为A．

B．

C．

D．参考答案：C3.若，，，则(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：A略4.已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，B?A，则实数a的取值范围是(

)A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2参考答案：C考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；转化思想；综合法；集合．分析：利用条件B?A，建立a的不等式关系即可求解．解答：解：要使B?A，则满足a≥2，故选：C．点评：本题主要考查集合关系的应用，利用数轴是解决此类问题的基本方法．5.一长方体共顶点的三条棱长分别是,且它的个顶点都在同一个球面上,这个球面的表面积为,则的值为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略6.已知数列为等差数列，为的前项和，，则的值为（

）A．

B．

C．

D．64参考答案：B7.下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()A．(－∞，1

B．－1，C．0，)

D．1,2)参考答案：D8.关于的一元二次不等式的解集为，且，则a=

A、;

B、;

C、;

D、;参考答案：C略9.圆C：（为参数）的普通方程为__________，设O为坐标原点，点M（）在C上运动，点P（x，y）是线段OM的中点，则点P的轨迹方程为________________。参考答案：，10.已知在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为（A）（B）（C）（D）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

…

…根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则

参考答案：1112.设函数，函数的零点个数为

个．参考答案：2个略13.已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为_____．参考答案：略14.已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，那么等于________．参考答案：15略15.四面体中，则四面体外接球的表面积为

．参考答案：16.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_______m3.参考答案：17.△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，则b=

。参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}是公比大于1的等比数列，且a1=1，a3=9．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=log3an+n+2，且b1+b2+…+bn≥80，求n的最小值．参考答案：考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设等比数列{an}的公比q＞1，由a1=1，a3=9．利用等比数列的通项公式即可得出；（2）bn=log3an+n+2=n﹣1+n+2=2n+1，利用等差数列的前n项和公式及其一元二次不等式的解法即可得出．解答： 解：（1）设等比数列{an}的公比q＞1，∵a1=1，a3=9．∴9=q2，解得q=3．∴．（2）bn=log3an+n+2=n﹣1+n+2=2n+1，∴b1+b2+…+bn==n2+2n≥80，解得n≥8，∴n的最小值为8．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）如图所示，四棱锥中，底面是个边长为的正方形，侧棱底面，且，是的中点.（I）证明：平面；（II）求三棱锥的体积.参考答案：（I）证明：连结,交于因为底面为正方形,所以为的中点.又因为是的中点,所,因为平面,平面,所以平面（II）．20.（本小题满分14分）已知函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若f(x)≤kx2对任意x＞0成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）当n＞m＞1（m，n∈N*）时，证明：．参考答案：【知识点】导数的运算；导数的几何意义；导数的应用.B11B12【答案解析】（Ⅰ）a＝1（Ⅱ）k≥1（Ⅲ）见解析解析：（Ⅰ）求导数，得f′(x)＝a＋lnx＋1．

…1分由已知，得f′(e)＝3，即a＋lne＋1＝3∴a＝1．……………2分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x)＝x＋xlnx，∴f(x)≤kx2对任意x＞0成立?k≥对任意x＞0成立，……………4分令g(x)＝，则问题转化为求g(x)的最大值．求导数，得令g′(x)＝0，解得x＝1．…5分当0＜x＜1时，g′(x)＞0，∴g(x)在(0，1)上是增函数；当x＞1时，g′(x)＜0，∴g(x)在(1，＋∞)上是减函数．…6分故g(x)在x＝1处取得最大值g(1)＝1．∴k≥1即为所求．…………………8分∴mnlnn－nlnn＞mnlnm－mlnm，…12分即mnlnn＋mlnm＞mnlnm＋nlnn，即lnnmn＋lnmm＞lnmmn＋lnnn，即ln(mnn)m＞ln(nmm)n，

…13分∴(mnn)m＞(nmm)n，…………14分【思路点拨】（Ⅰ）利用导数的几何意义即可；（Ⅱ）把原不等式转化为求g(x)＝的最大值的问题，再利用导数求之即可；（Ⅲ）先证明出h(x)是(1，＋∞)上的增函数，再证明即可.21.（12分）已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，．求四边形面积的最大值．参考答案：（1）依题意，设椭圆的方程为．构成等差数列，，．又，．椭圆的方程为．…………………4分

(2)将直线的方程代入椭圆的方程中，得．

……5分由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．

设，，

…………8分（法一）当时，设直线的倾斜角为，则，，

，……10分，当时，，，．当时，四边形是矩形，．

所以四边形面积的最大值为．

……………12分（法二），．．四边形的面积，

………10分

．

…………12分当且仅当时，，故．所以