2022年辽宁省鞍山市新开中学高三数学文期末试题含解析

2022年辽宁省鞍山市新开中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点所在的区间为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．3.已知函数f（x）＝,那么在下列区间中含有函数f（x）零点的是A．（，1）

B．（，）

C．（，）

D．（0，）参考答案：C4.已知

，满足，，则在区间上的最大值与最小值之和为

A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.若函数的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是(

)

参考答案：B略6.复数z=的虚部为(

) A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的乘除运算化简后得答案．解答： 解：∵z==，∴复数z=的虚部为﹣2．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7.已知椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A，B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|：|AB|等于（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】由选项均为具体值，可知本题适合于特值法．不妨取直线的斜率为1．由此推导出|NF|：|AB|的值．【解答】解：不妨取直线的斜率为1，∵右焦点F（2，0），∴直线AB的方程为y=x﹣2．联立方程组，得14x2﹣36x﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴AB中点坐标为（），则AB的中垂线方程为y+=﹣（x﹣），令y=0，得x=，∴点N的坐标（，0）．∴|NF|=，|AB|==，∴|NF|：|AB|=，故选：A．8.设，则“”是“为偶函数”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略9.设复数，，则复数在复平面内对应的点位于（

）

A.第一象限

B.

第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：C10.曲线+的离心率为（

）A．

B．

C．

D．2参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列的前项和为，已知则的最小值为

参考答案：略12.若定义在R上的偶函数满足，且当时，则函数的零点个数是

参考答案：4略13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，那么它的通项公式为an=

．参考答案：2n考点：等差数列的前n项和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意知得，由此可知数列{an}的通项公式an．解答： 解：a1=S1=1+1=2，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+n）﹣=2n．当n=1时，2n=2=a1，∴an=2n．故答案为：2n．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式an=Sn﹣Sn﹣1求解数列的通项公式，属于基础题．14.如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在AB上，且，若，则____________．参考答案：试题分析：如图所示，建立直角坐标系．∵，．∴，即．∵，∴，即．又，．∴，解得．∴，故答案为．考点：向量的线性运算及几何意义.15.已知函数，，若函数有三个不同的零点，，（其中），则的取值范围为

．参考答案：如图：，，作出函数图象如图所示，，作出函数图象如图所示，由有三个不同的零点，如图令得为满足有三个零点，如图可得，

点睛：本题考查了函数零点问题，先由导数求出两个函数的单调性，继而画出函数图像，再由函数的零点个数确定参量取值范围，将问题转化为函数的两根问题来求解，本题需要化归转化，函数的思想，零点问题等较为综合，有很大难度。16.已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为____________．参考答案：略17.在四面体ABCD中，若，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为_______.参考答案：10π【分析】根据四面体对棱长度相等可知其为长方体切割所得，各棱为长方体各个面的对角线，可知四面体外接球即为长方体外接球；根据长方体外接球半径为体对角线长度一半，求得体对角线长度即可得到外接球半径，代入球的表面积公式即可求得结果.【详解】由题意可知，四面体是由下方图形中的长方体切割得到，为长方体的四个顶点，则四面体的外接球即为长方体的外接球设长方体长、宽、高分别为则

即长方体体对角线长度为：长方体外接球半径为体对角线长度一半，即四面体外接球表面积：本题正确结果：【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求解问题，关键是能够根据四面体对棱相等的特征，将其变为长方体的一个部分，从而将问题转化为长方体外接球表面积的求解问题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f(x)＝xex+a(1-ex)+1．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在(0，+∞)上存在零点，证明：a＞2．参考答案：（1）解：函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)，因为f(x)＝xex+a(1-ex)+1，所以f′(x)＝(x+1-a)ex．所以当x＞a-1时，f′(x)＞0，f(x)在(a-1，+∞)上是增函数；当x＜a-1时，f′(x)＜0，f(x)在(-∞，a-1)上是减函数．所以f(x)在(a-1，+∞)上是增函数，在(-∞，a-1)上是减函数．（2）证明：由题意可得，当x＞0时，f(x)＝0有解，即有解．令，则．设函数h(x)＝ex-x-2，h′(x)＝ex-1＞0，所以h(x)在(0，+∞)上单调递增．又h(1)＝e-3＜0，h(2)＝e2-4＞0，所以h(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点．故g′(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点．设此零点为k，则k∈(1，2)．当x∈(0，k)时，g′(x)＜0；当x∈(k，+∞)时，g′(x)＞0．所以g(x)在(0，+∞)的最小值为g(k)．又由g′(k)＝0，可得ek＝k+2，所以，因为a＝g(x)在(0，+∞)上有解，所以a≥g(k)＞2，即a＞2．

19.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.参考答案：曲线上的点到直线的距离，，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.20.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．参考答案：解：（Ⅰ）

.…………………4分

所以．……………………6分（Ⅱ）因为，所以．所以．………10分当时，函数的最小值是，当时，函数的最大值是．…………13分21.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，分别为边，的中点，直线交的外接圆于两点。若，证明：（1）；（2）。参考答案：、证明：（