课时（四十二）直线平面平行的判定与性质作业

课时作业(四十二)直线、平面平行的判定与性质一、单项选择题1．已知直线a、b和平面α，下面说法正确的是()A．若a∥b，b∥α，则a∥αB．若a∥b，b⊂α，则a∥αC．若a∥b，b⊂α，a⊄α，则a∥αD．若a∥α，b∥α，则a∥b2．[2023·湖北恩施期末]设a是直线，α是平面，则能推出a∥α的条件是()A．存在一条直线b，a∥b，b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b，b⊥αC．存在一个平面β，a⊂β，α∥βD．存在一个平面β，a⊥β，α⊥β3．已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定α∥β的是()A．α，β都平行于直线lB．l，m是两条异面直线，且l∥β，m∥β，l∥α，m∥αC．α内有三个不共线的点到β的距离相等D．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β4．如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥EC1，则四边形AEC1F的形状是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形5.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则()A．EF∥PAB．EF∥PBC．EF∥PCD．以上均有可能6．已知直线l∥平面α，点P∈平面α，那么过点P且平行于直线l的直线()A．有无数条，仅有一条在平面α内B．只有一条，且不在平面α内C．有无数条，均不在平面α内D．只有一条，且在平面α内7．(能力题)[2023·湖南湘潭模拟]已知直三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱和底面边长均为1，M，N分别是棱BC，A1B1上的点，且CM＝2B1N＝λ，当MN∥平面AA1C1C时，λ的值为()A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)8．(能力题)如图，在正四棱锥S­ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE∥平面SBD.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的()二、多项选择题9．已知a，b表示两条不重合的直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题，其中正确的是()A．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥βB．若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥βC.若a∥α，a∥β，则α∥βD．若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b10．(能力题)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是()三、填空题11.[2023·山东广饶一中模拟]如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.12.(能力题)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则eq\f(MN,AC)＝________．四、解答题13．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，P为棱A1D1的中点，平面DA1MN与平面CB1PQ将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，DD1上．(1)求证：MN∥平面CB1PQ；(2)求证：平面MNDA1∥平面CB1PQ.14.(能力题)如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD，CC1＝AA1，CC1∥AA1，且CD＝BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)AA1，E，F分别为A1D，CC1的中点．证明：EF∥平面ABCD.优生选做题15.[2023·安徽蚌埠模拟]如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的一个截面经过顶点A，C及棱A1B1上一点K，截面将正方体分成体积比为2∶1的两部分，则eq\f(A1K,KB1)的值为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(\r(5)＋1,2)C．eq\f(\r(5)－1,2)D．eq\f(3－\r(5),2)16.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．(1)求证：PA∥平面BDE；(2)求证：F为PD的中点；(3)在棱AB上是否存在点N，使得FN∥平面BDE？若存在，求出eq\f(AN,NB)的值；若不存在，说明理由．课时作业（四十二）直线、平面平行的判定与性质1．解析：对于A，若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故A错误；对于B，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故B错误；对于C，若a∥b，b⊂α，a⊄α，则a∥α，故C正确；对于D，若a∥α，b∥α，则a∥b，a与b相交，或a与b异面，故D错误．故选C.答案：C2．解析：对于A，若a⊂α，可满足a∥b，b⊂α，但无法得到a∥α，A错误；对于B，若a⊂α，可满足a⊥b，b⊥α，但无法得到a∥α，B错误；对于C，由面面平行的性质知：若α∥β，a⊂β，则a∥α，C正确；对于D，若a⊂α，可满足a⊥β，α⊥β，但无法得到a∥α，D错误．故选C.答案：C3．解析：对于A，平面ABCD与平面AA1B1B都平行于CD，但相交于AB，故A错误；对于B，由于l，m是异面直线，所以l，m不平行，过m上的一点作l的平行线l′，设m与l′共同确定的平面为γ，则由题意α∥γ，β∥γ，∴α∥β，故B正确；对于C，如图：α∩β＝l，在β平面两侧α平面上分别存在A，B，C三个点到β的距离相等，故C错误；对于D，如果l∥m，则不能判定α∥β，故D错误．故选B.答案：B4．解析：∵AF∥C1E，∴A，F，C1，E四点共面；∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面AFC1E＝AE，平面CDD1C1∩平面AFC1E＝C1F，∴AE∥C1F，∴四边形AEC1F为平行四边形．故选A.答案：A5．解析：因为EF∥平面PBC，且平面PBD∩平面PBC＝PB，EF⊂平面PBD，所以EF∥PB，故B正确．若EF∥PA，则PA∥PB，这与PA∩PB＝P矛盾，∴EF与PA不平行，同理可得EF与PC不平行．故选B.答案：B6．解析：过直线l与点P的平面有且只有一个，记该平面为β.又因直线l∥平面α，点P∈平面α，所以过点P且平行于直线l的直线只有一条，且这条线为平面α与平面β的相交线．故选D.答案：D7．解析：过N作NP∥B1C1交A1C1于P，连接CP，因为MC∥B1C1，∴NP∥MC，故N，P，C，M共面，因为MN∥平面AA1C1C，平面MNPC∩平面AA1C1C＝CP，MN⊂平面MNPC，所以MN∥CP，又NP∥MC，∴四边形MNPC为平行四边形，又CM＝2B1N＝λ，∴NP＝1－eq\f(λ,2)＝λ＝CM，所以λ＝eq\f(2,3).故选B.答案：B8．解析：分别取CD、SC的中点M、N，连接MN，ME，NE，又∵E是BC的中点，∴EM∥BD，EN∥SB，又∵EM，EN⊄平面SBD，BD，SB⊂平面SBD，∴EM∥平面SBD，EN∥平面SBD，又∵EM∩EN＝E，EM，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面SBD，∴当P在MN上移动时，PE⊂平面EMN，此时能够保持PE∥平面SBD，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是选项A.故选A.答案：A9．解析：对于A，当α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b时，α与β有可能平行，也可能相交，所以A错误，对于B，设a，b确定的平面为γ，因为a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，a，b是相交直线，所以γ∥α，γ∥β，故α∥β，所以B正确，对于C，当a∥α，a∥β时，α与β可能平行，也可能相交，所以C错误，对于D，当a⊂α，a∥β，α∩β＝b时，由线面平行的性质定理可知a∥b，所以D正确．故选BD.答案：BD10．解析：对A，如图，易得平面MNQ∥平面ACD，但平面ACD与AB相交，故直线AB与平面MNQ不平行；对B，如图，C为所在棱的中点，根据中位线的性质有NC∥AB，且MN∥CQ，MN＝CQ，故四边形MNCQ是平行四边形，故NC∥MQ，故AB∥MQ，故直线AB与平面MNQ平行；对C，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得AB∥MQ，直线AB与平面MNQ平行；对D，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得AB∥NQ，直线AB与平面MNQ平行．故选BCD.答案：BCD11．解析：连接AC交BD于O，连接OE，∵SC∥平面EBD，SC⊂平面SAC，平面SAC∩平面EBD＝OE，∴SC∥OE.又∵底面ABCD为平行四边形，O为对角线AC与BD的交点，故O为AC的中点，∴E为SA的中点，故当E满足条件：SE＝AE时，SC∥平面EBD.答案：SE＝AE（答案表述不唯一）12．解析：∵平面MNE∥平面ACB1，平面MNE∩平面ABB1A1＝EM，平面ACB1∩平面ABB1A1＝B1A，平面MNE∩平面CBB1C1＝EN，平面ACB1∩平面CBB1C1＝B1C，∴由两个平面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A.∴eq\f(BE,EB1)＝eq\f(BM,AM)，eq\f(BE,EB1)＝eq\f(BN,NC)，又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，∴MN＝eq\f(1,2)AC，即eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．证明：（1）由题意得平面BCC1B1∥平面ADD1A1，又∵平面MNDA1∩平面BCC1B1＝MN，平面MNDA1∩平面ADD1A1＝A1D，∴A1D∥MN，同理PQ∥B1C，又∵A1B1∥AB且A1B1＝AB，AB∥CD且AB＝CD，∴A1B1∥CD且A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1D∥B1C，∴MN∥PQ，又∵MN⊄平面CB1PQ，PQ⊂平面CB1PQ，∴MN∥平面CB1PQ.（2）由（1）MN∥B1C，∵M为BB1中点，∴N为BC中点，同理Q为DD1中点，连接B1Q，MD，∵BB1∥DD1，B1M＝eq\f(1,2)B1B＝eq\f(1,2)DD1＝QD，∴四边形B1QDM为平行四边形，∴B1Q∥MD，又∵B1Q⊂平面CB1PQ，且DM⊄平面CB1PQ，∴DM∥平面CB1PQ，又∵MN∥平面CB1PQ.且DM∩MN＝M，DM，MN⊂平面MNDA1，∴平面MNDA1∥平面CB1PQ.14．证明：取AA1的中点G，连接EG，FG，AC，因为EG∥AD，EG⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以EG∥平面ABCD.因为AG∥CF，AG＝CF，所以四边形AGFC是平行四边形，FG∥AC，又FG⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以FG∥平面ABCD.因为FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面ABCD.因为EF⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.15．解析：设正方体棱长为1，KB1＝x，如图所示，该截面把正方体分为几何体ABC­KB1M和另一几何体，由面面平行的性质可知：KM∥AC，延长AK，CM，相交于点O，则O∈平面ABB1A1，且O∈平面BCC1B1，又平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，所以O在直线BB1上，即AK，CM，BB1三线共点，所以几何体ABC­KB1M为三棱台，其中三棱台ABC­KB1M上底面积是eq\f(1,2)x2，下底面积为eq\f(1,2)，高等于1，所以V＝eq\f(1,3)（eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)x2＋eq\r(\f(1,2)×\f(1,2)x2)）×1＝eq\f(1,3)，解得：x＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以A1K＝1－eq\f(\r(5)－1,2)＝eq\f(3－\r(5),2)，eq\f(A1K,KB1)＝eq\f(3－\r(5),2)×eq\f(2,\r(5)－1)＝eq\f(\r(5)－1,2).故选C.答案：C16．证明：（1）连接AC、BD交于G，连接GE，如图：由ABCD为平行四边形，则G为AC中点，又E为棱PC的中点，所以GE为中位线，则GE∥PA，又GE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，故PA∥平面BDE.（2）由题设知：CD∥AB，AB⊂平面ABEF，CD⊄平面ABEF，所以CD∥平面ABEF，又CD⊂平面PDC，平面PDC∩平面AB